Цели:
- Систематизировать и обобщить знания учащихся по теме “Задачи на проценты”;
- Показать выпускникам уровень предлагаемых в КИМах ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы задач по данной теме;
- Выработать навыки решения финансовых задач на проценты с применением формулы сложных процентов.
Ход урока
- Мотивация учебной деятельности.
Каждый из вас планирует учиться дальше в средних - специальных или высших учебных заведениях, поэтому необходимость в умении решать задачи на проценты очевидна, так как любые тексты как выпускных, так и вступительных экзаменационных работ содержат задачи по этой теме различной степени сложности.
Каждый из вас когда-то начнёт трудовую деятельность, а потому элементарные знания по теме “Проценты” вам будут также необходимы: проверить правильность начисления вам заработной платы, правильность вычетов из неё; выгодное вложение заработанных средств; при внесении рационализаторских предложений или научных открытиях придётся обязательно рассчитывать преимущества и выгодность ваших предложений (открытий) и т.д.
Я считаю, и, надеюсь, вы со мной согласитесь, что каждый уважающий себя человек должен иметь хотя бы элементарные знания, умения, навыки по теме “Проценты”.
- Воспроизведение и коррекция знаний.
На прошлом занятии мы вспомнили определение процента, три основные задачи на проценты, понятия прямой и обратной пропорциональных зависимостей.
Напомните, пожалуйста, ещё раз эти три основные задачи и алгоритмы их решения.
На прошлом же уроке при выполнении тестовых заданий были допущены ошибки в решениях следующих задач:
- Каждый студент в группе изучает либо английский, либо французский, либо оба языка. 85% изучают английский, 45% - французский. Сколько студентов изучают только один язык?
- Стоимость изделия сначала возросла на 80%, а потом упала на 60%. Как изменилась стоимость изделия?
(Проводится анализ ошибок, которые привели к неправильному решению; задачи решаются заново, причем задачу 1 решаем несколькими способами, а задачу 2 – одним, который предложат учащиеся, выбрав рациональный).
- Закрепление опорных знаний.
- Устная работа над задачами:
- Найдите 33
%
от числа 33. - Найдите число, если:
а) 3% его равно 9;
б) 33% от
него равно 33.
- От числа А отняли 33%
его, и получили 0,66. Найдите число А.
- Какое из чисел больше: 6% от К или К% от 6?
- Товар подешевел на 10%, а затем подорожал на 10%. Как изменилась его стоимость?
(В процессе решения этих задач повторяются правила нахождения процентов от числа, числа по его процентам и рассматриваются задачи – “ловушки”, в которых учащиеся часто допускают ошибки).
- Решение типовых задач на проценты:
- В бассейн проведена труба. Она засорилась, и приток воды в бассейн уменьшился на 60%. На сколько процентов увеличивается время заполнения бассейна?
- Из двух положительных чисел одно увеличили на 1%, другое – на 4%. Могла ли их сумма увеличиться на 3%?
- В первом бруске, весом 1кг, содержится 50% меди; а во втором, весом 0,5кг – 80% меди. Бруски сплавили. Сколько процентов меди содержится в новом бруске?
- Обобщение и систематизация знаний.
Приоткроем “дверцу” текстов централизованного тестирования и КИМов ЕГЭ. Какие же задачи могут быть предложены вам на выпускных и вступительных экзаменах?
Централизованное тестирование:
- (Устно). Грибы при сушке теряют 80% своей массы. Сколько нужно взять свежих грибов, чтобы получить 1кг сушёных?
- (Устно). Если объём промышленной продукции увеличился в 10 раз, то на сколько процентов произошло повышение?
- Число А больше числа В на 50%. На сколько процентов число В меньше числа А?
- Чему равно число, если 40% его равны
- Если числитель дроби увеличить на 12%, а знаменатель уменьшить на 30%, то на сколько процентов изменится дробь?
- Чему равно число, если его 5% составляют 23% от 15,5?
(Решают эти задачи самостоятельно с последующим объяснением).
Далее рассмотрим задачи, подобные которым встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы:
- Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие содержат 10% воды. Сколько Получится сухих грибов из 18 кг свежих грибов?
- Имеется два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3кг больше массы первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке равно 10%, во втором - 40%. После сплавления этих двух слитков получился слиток, в котором процентное содержание меди равно 30%. Определите массу полученного слитка.
- Денежный вклад, находящийся в банке, по истечении каждого года
возрастает на определённый процент (свой для каждого банка).
некоторого
количества денег положили в первый банк, а оставшуюся часть – во второй
банк. По истечении первого года сумма этих вкладов стала равна 590 рублей, а
по истечении второго года – 701 рубль. Было подсчитано, что, если бы
первоначально
исходного
количества денег положили во второй банк, а оставшуюся часть – в первый
банк, то по истечении первого года сумма вкладов стала бы равна 610 рублям.
Какова была бы в этом случае сумма вкладов по истечении второго года? - Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды надо добавить в 30кг морской, чтобы получить 1,5% концентрацию соли?
- Однозначное, отличное от нуля, число увеличили на 10 единиц. Если полученное число увеличить ещё на столько же процентов, как в первый раз, то получится число 72. Найти первоначальное число.
- На сколько процентов следует за один раз понизить цену товара, чтобы новая цена была равна цене товара после двух понижений на 10%?
- Имеются три слитка. Первый слиток – сплав меди с никелем, второй – сплав никеля с цинком, третий – сплав цинка с медью. Если сплавить первый слиток со вторым, то процент меди в полученном слитке будет в 2 раза меньше, чем в первом. Если сплавить второй слиток с третьим, то процент никеля в полученном слитке будет в три раза меньше, чем во втором слитке. Какой процент цинка будет содержать слиток, полученный при сплаве всех трёх слитков, если во втором слитке 6% цинка, а в третьем 11%.
- В сберегательный банк поместили некоторую сумму денег, и через два года она возросла на 51250 рублей. Сколько денег было положено в банк, если вкладчикам выплачивалось 5% годовых?
- В сообщении о торгах на бирже сказано, что процент числа лиц, участвовавших в торгах. заключен в пределах от 96,8% до 97,2% от числа лиц, подавших заявки на торги. Определите минимально возможное число заявок на эти торги.
- Вклад в 5000 рублей положен в банк под 10% годовых. В конце каждого года вкладчик берёт по 1000 рублей. Найти отношение остатка вклада после изъятия соответствующей ежегодной суммы к первоначальному вкладу через три года.
- Из сосуда с кислотой отлили 1 литр кислоты и добавили 1 литр воды. Затем ещё раз отлили 1 литр смеси и добавили 1 литр воды, после чего отношение объёма кислоты к объёму воды в смеси оказалось 9:16. Сколько литров кислоты было в сосуде?
- На какие группы вы разделили бы эти задачи? (Как правило, учащиеся называют три группы: задачи на смеси, сплавы и растворы; задачи финансовые и просто задачи на проценты с произвольной тематикой).
- Какие задачи вы относите к каждой из названных групп?
Недавно проведенное в вашем классе тестирование по профессиональной ориентации показало, что среди вас есть будущие медики и сварщики, финансисты и экономисты, юристы и инженеры… Какая же группа задач важнее для первых, а какая – для вторых, третьих?
Совместную работу по решению этих задач начнем с выбора самой сложной на ваш взгляд задачи из каждой группы. (Ребята предлагают номера задач, решаем их на доске и в тетрадях).
Рассматриваем оставшиеся финансовые задачи, выстраиваем план их решения и затем используем формулу сложных процентов.
- Подведение итогов урока.
- Домашнее задание: выберите каждый для себя две задачи из оставшихся и решите их.
Дополнительное задание: я разработала программу элективного курса по теме “Применение процентов в жизненных ситуациях”, но привлечь детей на дополнительные занятия математикой непросто, поэтому окажите мне поддержку: подготовьте мини-презентацию или рекламный ролик, который бы привлек внимание учащихся 8–9-х классов к этому курсу.