Задачи с параметрами являются самыми сложными из всех заданий школьного курса математики. Для их решения требуется умение мыслить логически: необходимо в каждый момент проведения решения достаточно отчётливо представлять себе, что уже сделано, что ещё надо сделать, что означают уже полученные результаты. В заданиях ЕГЭ по математике проверяется умение выпускника мыслить сжато, логично и аргументировано.
Имеется несколько способов решения параметрических уравнений и неравенств׃ алгебраический, аналитический, функционально-графический. А в некоторых задачах применяются методы математического анализа.
Суть каждого способа рассмотрена на примерах. (Приложение)
1. Алгебраический способ решения иррациональных уравнений с параметрами
Задача 1. При каких 
уравнение 
имеет единственное решение?
Решение: 1 способ. Обеспечим неотрицательность обеих частей, возведем в квадрат обе части уравнения:
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
1) По условию уравнение должно иметь один корень, значит, 
но надо проверить, удовлетворяет ли это значение 
ОДЗ уравнения:
.
2) Если 
, то только один корень уравнения должен удовлетворять условию 
.
а) 
б) 
Ø
Ответ: 
2 способ. Решим это задание аналитическим способом.
Проведем графический анализ менее трудоемкий, чем построение графика 
- полупараболы с вершиной х=-3; 
– множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2.
Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях а, причем с ростом a прямая у=2х – a перемещается вправо.
Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая проходит через вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке 
Угловой коэффициент равен 2, т. е. 
=2 , 
- абсцисса точки касания
Тогда уравнение касательной 
, a = 
При х=-3, у=0 графики пересекаются в двух точках. При этом 
.
А при 
имеем одну точку пересечения.
Ответ: 
2. Аналитический способ решения тригонометрического уравнения с параметром
Задача 2. При каких значениях параметра a уравнение
имеет на промежутке 
не меньше 3 корней?
Решение:
1 способ. Заменим 
, причем |t| ≤ 1
при любом a.
Рассмотрим 2 случая:
1) 
, тогда уравнения будут иметь не больше 2 корней, но по условию должно быть не меньше 3 корней. Следовательно, этот случай не надо рассматривать.
2) 
, 
Рассмотрим расположение корней уравнения на тригонометрической окружности.
Видим, что при 
уравнение имеет два решения. Чтобы оно имело не меньше трех решений 
и 
.
Ответ: 
2 способ. Пусть 
, 
, тогда 
. Рассмотрим график 
.
В промежутке 
при t= - 1 уравнение 
имеет один корень
При 
- два корня, при 
- один корень.
Поэтому чтобы исходное уравнение имело не меньше 3 корней необходимо выполнение условия:
 |
Первая система имеет 4 решения. |
| Вторая система имеет 3 решения. |
Расположим корни квадратного трехчлена по этим двум условиям:
1) 
2) 
Объединяя 1) и 2) получаем 
3. Два способа решения одного тригонометрического неравенства с параметром
Задача 3. При каких а неравенство 
верно для всех х?
Решение: 1 способ. Преобразуем неравенство и приведем его к виду 
Пусть
. Получим неравенство 
Это значит, что парабола при 0≤t≤1 находится ниже оси ох
Рассмотрим 3 случая:
1) 
Получаем условия для 
2) 
Но если 
.
Ø
3) 
Полученное неравенство верно при любых 0≤t≤1; объединяем 3 случая и получаем ответ: 
.
2 способ. Уединяем параметр
, 
Минимум f(x) достигается при 
; т.к 
- минимум числителя, 
- максимум знаменателя. Значит, 
Максимум f(x) достигается при 
; т.е 
.
Схема:
Заметим, что минимум числителя и максимум знаменателя достигается при одном и том же х.
для всех х при 
Ответ: 
.
4. Графически и аналитический способы решения неравенства с параметром, содержащего знак модуля
Задача 5. При каких a неравенство 
выполняется для всех 
?
Решение: 
. Рассмотрим две функции 
Построим эскизы графиков функций:
Найдем уравнение касательной в точке 
функции y= |x2-4x+3|
Тогда 
. Так как 
Подставим значение точки х0 в производную рассматриваемой функции и получаем, что - -a=-2
-4, a=4+2
.
Следовательно, при a =4+2
y=1-ax – касательная к y=|x2-4x+3|. Значит, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы 
II способ. 
1 случай.
Это значит, что
2 случай.
А это значит, что
Чтобы неравенство выполнялось при всех x:
Ответ: 
.
Решение уравнений и неравенств с параметрами алгебраическим, аналитическим и графическим способами заключается в том, что при одном способе решение может быть громоздким, а при другом - более простым и наглядным. А это говорит о том, что нужно перед началом решения задания оценить его и выбрать тот путь, который проще.
Литература
- Сборник задач по математике для подготовки к вступительным экзаменам УГНТУ, Уфа-2003 г.
- Факультативный курс по математике, 10 класс. Шарыгин.И.Ф. Москва «Просвещение» 1989 г.
- Уравнение с параметрами на факультативных занятиях. С.Я.Постникова. «Математика в школе», №8, 2002 г.
- Математика абитуриенту. В.В.Ткачук, Москва, 2002 г.