Тема урока: «Усеченный конус. Площадь поверхности усеченного конуса».
Цели:
обучающая - рассмотреть виды сечений конуса различными плоскостями, ввести понятие усеченного конуса, его элементов, рассмотреть усеченный конус как тело вращения, вывести формулу для вычисления площади боковой и полной поверхности усеченного конуса, показать связь темы с окружающим миром;
развивающая - развивать логическое мышление и конструктивные навыки, сознательное восприятие учебного материала, зрительную память и грамотную математическую речь, навыки самоконтроля и самооценки;
воспитательная - воспитывать познавательную активность, чувство прекрасного, культуру речи и общения, аккуратность.
Методы: информационно – иллюстративный; проблемный диалог; самостоятельная работа, элементы информационных технологий.
Оборудование: компьютер, проектор, записи на доске, раздаточный материал (карточки с заданиями).
План урока:
1. Организационный момент.(1 мин)
2. Историческая справка.(1 мин)
3. Повторение основных сведений о конусе.(5 мин)
4. Объяснение нового материала. (8 мин)
5. Решение задач по готовым чертежам, на нахождение площади
поверхности усеченного конуса (4 задачи).(25 мин)
6. Дополнительная информация о конусе. (3 мин)
7. Задание на дом .(1 мин)
8. Подведение итогов. (1 мин)
Ход урока
Урок сопровождается презентацией. (Приложение)
1. Организационный момент. (Слайд № 1)
Фотография соснового леса. Какое отношение эта фотография имеет к нашему уроку?
Подсказка: С какой фигурой вращения мы познакомились на прошлом уроке? Конус! Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка».
2. Историческая справка
С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.
Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.
Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.
3. Повторение основных сведений о конусе
На прошлом уроке мы успели познакомиться с понятием конуса и вывести формулы для нахождения площади боковой и полной поверхности конуса.
Два человека вызываются к доске, решать задачи по карточкам.
Карточка № 1
Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Площадь боковой поверхности конуса равна 12
. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Карточка № 2
Через вершину конуса проведено сечение наибольшей площади. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 270°. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Остальные ребята из класса работают устно. (Слайд № 2)
Что называется конусом? Назовите все элементы конуса.
1. Верно ли, что
- образующая конуса больше его высоты?
- существует параллельный перенос, при котором одна из образующих конуса отображается на другую?
Назовите формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса. Что является разверткой конуса? Что называется осевым сечением конуса? (Слайд № 3)
2. Может ли
- площадь боковой поверхности конуса равняться площади его осевого сечения?
- развертка боковой поверхности конуса быть кругом?
- площадь боковой поверхности конуса равняться площади его основания?
Конус является фигурой вращения. Как можно получить конус? (Слайд № 4)
3. Назовите плоскую фигуру, при вращении которой вокруг одной из сторон образуются два равных конуса с общим основанием.
Проверка ответов учеников, работающих по карточкам.
Определение и формулы повторили, а теперь рассмотрим виды сечений конуса различными плоскостями. (Слайд № 5-7)
4. Объяснение нового материала. (Слайд № 8-15)
Объяснение нового материала проводится с помощью постановки проблемных вопросов так, что выводы делают сами дети.
Усеченным конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной к оси конуса.
Основание данного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью а, называются основаниями усеченного конуса.
Отрезок, соединяющий центры оснований усеченного конуса, называется его высотой или осью.
Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими.
Все образующие усеченного конуса равны между собой. Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.
Осевое сечение усеченного конуса – равнобедренная трапеция.
5. Решение задач на нахождение площади поверхности усеченного конуса (3 задачи)
(Слайды № 16-18)
1. Найдите, чему равна площадь осевого сечения и площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований 3 и 6 см, а высота равна 4 см.
2. Найдите, чему равна осевого сечения и полной поверхности усеченного конуса, образующая равна 30 см, а диагональ осевого сечения равная 40 см перпендикулярна с образующей.
3. Радиусы оснований усеченного конуса равны 16 см и 25 см. Найдите площадь полной поверхности конуса, если в его осевое сечение можно вписать окружность.
Самостоятельная работа с последующей самопроверкой. (Слайд № 19, 20)
1. Найдите ошибочную фразу
- усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, плоскость которого параллельна плоскости основания;
- усеченным конусом называется фигура (тело), полученная при вращении равнобедренной трапеции около своей оси;
- усеченным конусом называется фигура, любое осевое сечение которой – равнобедренная трапеция.
2. Длины окружностей оснований усеченного конуса равны 4
см и 10
см, а высота конуса 4 см. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.
3. Образующая усеченного конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол 
. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
6. Дополнительная информация о конусе
(Слайды № 21-24)
1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
3. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи.
Раковины используются как украшения, сувениры.
4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.
5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.
7. Задание на дом
(Слайд № 25)
П. 55,56 повторить, п. 57
№ 569, 571
На пять: Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Площади полных поверхностей частей конуса, которые при этом образовались, относятся как 3:11. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.
8. Подведение итогов
Учитель ещё раз подчёркивает связь математики с окружающим миром и необходимость математических знаний в положительном преобразовании окружающего мира. (Слайды № 26-30)