В последние годы понятие «проценты» все чаще встречается в повседневной жизни. Повышение и снижение тарифов на услуги, инфляция, проценты по кредитам, сезонные распродажи- все эти словосочетания, а главное то, что стоит за ними, должны быть понятны каждому, начиная с детского возраста. Очевидно, отвечая требованиям времени, составители вариантов ГИА и ЕГЭ по математике включили задачи на проценты в основную часть заданий. Между тем тема «Проценты. Задачи на проценты» изучается в 6-м классе, а во всех последующих классах проценты появляются периодически в текстовых задачах, вызывая явно отрицательные эмоции у большинства учеников. Большая часть учащихся помнит, что для нахождения процента от числа нужно составить пропорцию и решить ее. Но как составить пропорцию, если в задаче сказано, что во второй день туристы прошли на 20 % меньший путь, чем в первый день, а сколько прошли в первый тоже неизвестно? Для того чтобы справиться с заданием типа В9 в демоверсии ЕГЭ 2009 года, нужно достаточно глубоко разобраться в теме «Задачи на проценты». Как научить детей решать задачи на проценты различного уровня сложности и когда?
На основании собственной практики работы авторам представляется, что использование метода решения задач на дроби и проценты, предложенного в учебнике Г.В.Дорофеева и Л.Г.Петерсон, при определенном изложении материала дает оптимальный результат. О нашем подходе к изучению темы «Задачи на дроби и проценты» и будет рассказано ниже.
На первом уроке темы «Задачи на дроби» в пятом или шестом классе (в зависимости от программы) говорится, что все задачи на дроби делятся на три типа:
- Задачи на нахождение части от числа, выраженной дробью
- Задачи на нахождение числа по его части, выраженной дробью
- Задачи на нахождение дроби, которую одно число составляет от другого.
Затем каждый тип задач отрабатывается в течение одного-двух уроков по одинаковой схеме. Покажем ее на примере задач первого типа.
Учитель: Мы с вами уже умеем решать задачи, в которых нужно найти какую-то часть от числа. Давайте решим такую: В классе 20 человек. Из них 2\5 девочки. Сколько девочек в классе?
Учeники предлагают 20 разделить на 5 и затем результат умножить на 2 .Такие задачи они решали еще в начальной школе. Учитель соглашается, но предлагает записать решение в виде выражения, а затем преобразовать его следующим образом:
При этом два действия - деление на знаменатель дроби, а затем умножение на ее числитель заменим одним действием – умножением на дробь.
Приходим к правилу: Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, надо это число умножить на дробь.
К задаче составляется схема, по которой ясно видно, какая величина принимается за единицу («целое») и что является ее частью.
Затем каждая следующая задача решается аналогично: составляется схема, вслух проговаривается правило, по нему составляется выражение. Нужно пресекать попытки учащихся решать задачи так, как они решали раньше, т.е. сначала разделить на знаменатель дроби, а затем умножить на числитель. Мы объясняем, что «новый» способ легче для решения более сложных задач. Кроме того, показываем детям аналогию действия по нахождению дробной части числа с действием по нахождению числа в n раз больше данного. Пример: В классе 20 человек. Сколько человек в двух таких классах? 20 умножить на 2. А в трех? 20 умножить на 3. А в 2\5 класса? 20 умножить на 2\5.
Два других типа задач разбираются аналогично. В учебнике Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон «Математика 5,часть 2» даны формулировки соответствующих правил и схем к задачам. Затем проводится обобщающий урок по теме. На нем еще раз разбираются все типы задач на примере одной прямой и двух обратных к ней задач. Учитель просит какого-нибудь ученика придумать несложную задачу на нахождение части от числа, выраженной дробью.
Простой пример: В корзине лежало 16 грибов, Из них 3\4 белые. Сколько белых грибов было в корзине? На доске чертится схема, а затем записывается решение в соответствии с нужным правилом.
Теперь учитель предлагает составить задачу другого типа по тем же данным. В случае затруднения он сам произносит текст этой задачи. В корзине лежало 12 белых, что составляет 3\4 всех грибов, лежащих в корзине. Сколько всего грибов было в корзине? Опять составляется схема и записывается решение.
С составлением задачи третьего типа дети обычно уже справляются самостоятельно. В корзине лежало 16 грибов, из них 12 белых. Какую часть всех грибов составляют белые?
На дом задается творческая работа. Каждому ученику нужно самому придумать, записать и красиво оформить 3 задачи: прямую и 2 обратные. Обязательные условия оформления работы:
- Назван тип и записано правило, по которому решается каждая из задач
- Начерчена схема к каждой задаче
- Записаны решения и ответы
- Числа и дроби выбраны достаточно простые
- Все работы вывешиваются на стенде и дети голосованием выбирают три лучшие, на их взгляд.
О чем только не придумываются задачи: часть красных роз в саду и часть «Мерседесов» на автосалоне, часть гнилых помидоров среди купленных и часть золотых монет среди найденного старинного клада. Детская фантазия безгранична. Но практика показала, что дети на годы запоминают придуманные задачи, а заодно и их решения.
В последующем при решении более сложных комбинированных задач на дроби учитель постоянно акцентирует внимание на том, что нужно найти в каждом промежуточном действии, т.е. какой тип задачи и по какому правилу действуем. Правила каждый раз проговариваются вслух. Вспомогательные схемы уже можно не чертить. Постепенно даже слабые ученики усваивают решение задач на дроби, ошибок становится все меньше.
Когда начинается тема: «Проценты. Задачи на проценты», учащимся достаточно четко разъяснить, что проценты – это те же дроби со знаменателем 100.
Снова вспоминаем три типа задач и теперь формулируем правила, как считать:
- Процент от числа (т.е. часть, зная целое)
- Целое по его проценту (т.е. части)
- Процентное отношение (т.е. какую часть в процентах одно число составляет от другого)
Формулировка правил, формулы и схемы даны в учебнике «Математика 6, часть 1» тех же авторов.
Задачи всех трех типов опять последовательно отрабатываются на уроках. Снова проводится обобщающий урок по теме «Задачи на проценты», на котором дети вспоминают свои задачи на дроби. Те же три задачи формулируем иначе. В корзине лежало 16 грибов. Из них 75% составляли белые. Сколько белых грибов было в корзине? В корзине лежало 12 белых, что составляло 75% всех грибов, лежащих в корзине. Сколько всего грибов в корзине? И наконец: В корзине из 16 грибов было 12 белых. Какой процент составляют белые от всех грибов в корзине? На дом учащимся опять задается творческая работа. Предлагается переделать свои задачи в задачи на проценты, сохранив по возможности не только условия, но и все числа, переведя дроби в соответствующие проценты. Задачи оформляются по прежним правилам, только без красивых картинок.
В качестве заключительного урока хорошо провести устный зачет. На нем каждый ученик должен ответить одно из правил (кому какое достанется), рассказать условие своей задачи, которую нужно решать, действуя по этому правилу, начертить схему и записать решение.
Далее можно переходить к решению более сложных, комбинированных задач.
Следует обратить внимание на задачи типа: «На сколько процентов 72 меньше, чем 18?». Мы советуем, особенно на первых порах, решать их только со схемами. Кроме того, учащиеся должны твердо усвоить и запомнить, что то, с чем сравнивается, принимается за 100%. Поэтому решение любой задачи нужно начинать с вопроса: «Что мы принимаем за 100%?». Далее чертится схема:
По ней ясно видно, что задачу можно решать двумя способами. Первый способ:
- Найти, на сколько 72 больше, чем 18? –на 54
- Сколько % 54 составляет от 18 ?–(54:18)*100% (действуем по правилу- Как найти процентное отношение двух чисел? –Первое число разделить на второе и умножить на 100%)
Второй способ:
- Сколько % 72 составляет от 18?- (та же цепочка рассуждений, что и во 2-м действии предыдущего решения, приводит нас к ответу 400%)
- На сколько % это число больше 100%? -400%-100%=300%
При решении сложных задач на дроби и проценты, на наш взгляд, очень полезно (особенно для сильных учащихся) пытаться решать задачу несколькими способами. Если дети видят эти способы, это значит, что они действуют не автоматически, по заученному правилу, а разбираются в сути задачи.
Большая часть класса, в конце концов, усваивает алгоритмы решения задач различных типов. Поэтому, когда через некоторое время в теме: «Пропорции» начинаем разбирать решение задач на проценты методом пропорции, ученики часто говорят, что им легче «считать по правилам». Но мы объясняем учащимся, что это – еще один способ решения таких задач, который им очень пригодится в будущем на уроках химии.
Практика показала, что благодаря тщательному разбору тем в 5-6 классах: многократному вычерчиванию схем и проговариванию вслух правил, выполнению творческих заданий по составлению прямых и обратных задач разного типа – принципы решения задач на дроби и проценты не только хорошо усваиваются, но и не забываются с годами.
В 7-8 классах при решении текстовых задач достаточно большая часть учащихся может составить математическую модель ситуации, описанной в начале статьи. Если в первый день туристы прошли x км, а во второй на 20% меньше, чем в первый, то x- это 100%- (то с чем сравнивают). А путь во второй день составляет 80% от пути в первый день, т.е. от x, что можно вычислить по правилу нахождения процента от числа и получить 0,8x км.
На факультативных занятиях теми же методами решаются задачи на сплавы и растворы. В 9 классе при подготовке к экзамену по сборнику С.А.Шестакова мы снова вспоминаем три типа задач, схемы и правила их решения, которые теперь записываются в общем виде.
Первая параллель, с которой тема «Задачи на дроби и проценты» разбиралась по описанной выше методике, сейчас - 10 класс. Надеемся, что усвоенные алгоритмы при соответствующем повторении и тренинге помогут им успешно справиться с задачами типа В9 при решении ЕГЭ по математике в следующем году.
В заключение хочется отметить, что выбранная нами методика вовсе не предполагает работу по программе Г.В.Дорофеева и Л.Г.Петерсон, тем более что она теперь исключена из списка рекомендованных программ. Задачи на дроби и на проценты решаются в 5 и 6 классах при работе по любой программе: Н.Я. Виленкина, С.М. Никольского и др. Просто при изучении данной темы можно воспользоваться предложенным выше методом и соответствующим образом разбирать задачи на уроках математики на протяжении всего курса. Такой подход кажется авторам оптимальным для подготовки учащихся по данной теме.