Практикум по теме "Вычисление площадей сечений многогранников"

Научится решать задачи по геометрии значительно сложнее, чем по алгебре. Помимо знаний и техники владения материалом, здесь требуется некоторое геометрическое видение. По данным статистической обработки результатов вступительных экзаменов в различные вузы геометрические задачи вызывают трудности не только у слабых, но и у более подготовленных учащихся. Как правило, это задачи, при решении которых нужно применить небольшое число геометрических фактов из школьного курса в измененной ситуации, а вычисления не содержат длинных выкладок. Решая, такую задачу, ученик должен в первую очередь проанализировать предложенную в задаче конфигурацию и увидеть те ее свойства, которые необходимы при решении. Выходом из создавшегося положения может служить рассмотрение некоторых вопросов, которые довольно часто встречаются в заданиях экзаменов и которые у многих вызывают затруднения в рамках элективного курса для учащихся 10-11-х класса “Практикум решения задач повышенной сложности по стереометрии”. Основная цель такого курса – познакомить учащихся с некоторыми методами и приемами решения геометрических задач и сформировать умение применять полученные знания в “измененных” ситуациях, “нетипичных” задачах. Освоение курса предполагает дальнейшее развитие и формирование учебной, информационной, коммуникативной, ценностно-смысловой компетенций. Модульное построение курса обеспечивает системность и практическую направленность знаний и умений учеников, дает возможность учащимся, пропустившим по каким-либо причинам часть курса, спокойно подключиться к работе во втором или третьем модуле. Для наиболее успешного усвоения данного материала используются различные формы работы с учащимися: лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы, выполнение исследовательских и творческих работ. Продвижение, рост ученика фиксироваться через выполнение проверочных, тестовых работ. Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть – дома самостоятельно и затем проверяется учителем. После изучения каждого модуля учащимися выполняется мини зачёт по теории и практике, либо в виде письменной работы, либо в виде собеседования. Изучение данного курса заканчивается проведением итоговой контрольной работой.

Основной тип занятий — практикум. Основной формой их проведения являются практические и лабораторные работы, на которых учащиеся самостоятельно упражняются в практическом применении усвоенных теоретических знаний и умений. Средством управления учебной деятельностью учащихся при проведении практикума служит инструкция, которая по определенным правилам последовательно устанавливает действия ученика.

Остановлюсь на одном из уроков-практикумов данного курса:

И.Бродский.

Цели и задачи урока: Знакомство учащихся с многовариантными геометрическими задачами, которые являются традиционно сложными для абитуриентов. Способствовать формированию и развитию у учащихся пространственных представлений; закрепить навыки решения задач на вычисление площадей сечений многогранников. Формировать умения анализировать, устанавливать связь между элементами содержания ранее изученного материала, способность к самоанализу, рефлексии. Содействовать развитию интереса к оперированию геометрическими понятиями и образами, личностной активности учащихся; создать условия для творческой самореализации личности.

Оборудование: персональные компьютеры, раздаточный материал в виде готовых чертежей с задачами, листы для отчета о проделанной работе, модели куба и пирамиды. Презентации (обращайтесь к автору) учителя к уроку и учащихся для проверки домашнего задания.

Организационный момент (2мин).

После проверки готовности класса к уроку, учитель сообщает тему, цели и задачи практикума и отмечает, что урок проходит с использованием компьютерной презентации, выполненной в Power Point. Учитель проводит инструктирование учащихся по технике безопасности при работе в компьютерном классе.

1. Актуализация опорных знаний и умений учащихся. Тестирование с самопроверкой (6 мин).

Для диагностики и коррекции основных понятий и формул, необходимых на уроке учитель предлагает учащимся ответить на вопросы теста. С условиями заданий теста учащиеся знакомятся с помощью слайдов презентации. Оценивает ответы учащихся компьютер. Максимальная оценка 3 балла – за три правильных ответа. На каждом слайде необходимо нажать кнопку с номером ответа. Неверно выбранный ответ откроет слайд решение задачи или напомнит теоретический материал.

1.Треугольник DKB – сечение в пирамиде ABCD, две соседние боковые грани которой перпендикулярны основанию, . Вычислите площадь сечения DBK, если , AB=5см, BK=4см.

1) таких значений нет; 2) 3) 4)

2.Площади сечения параллельного основанию пирамиды и площадь основания относятся как:

1) ; 2) 3) 4) где, расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения, до плоскости основания пирамиды.

3. Вычислите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды со стороной 4 см, проходящей через точки A,T,D, если точка T середина ребра BS. Диагонали полученного сечения пересекаются в точке O и.

1) таких значений нет; 2) 3) 4)

Мотивация учебной деятельности учащихся (3мин).

Мотивация учебной деятельности учащихся (3мин).

Учитель в беседе с учащимися отмечает, что отличительной чертой успешного человека является умение прогнозировать, т.е. строить верные предположения о будущем результате. Это умение можно приобрести при решении нестандартных задач. Это многовариантные задачи, у которых формулировка не допускает точного установления взаимного расположения объектов условия или требования. Решить такую задачу значит рассмотреть все возможные варианты расположения объектов. Далее учитель с помощью слайда презентации выясняет у учащихся ответ на вопрос задачи.

• В правильной четырехугольной призме надо вычислить площадь сечения, проходящего через середины смежных ребер основания под углом ? к нему. Какой объект условия приводит к вариативности задачи?

2. Проверка домашнего задания (5 мин).

На прошлом уроке учащиеся класса были разбиты на три группы, каждая их них получила задание: решить многовариантную задачу, рассмотрев один из трех случаев расположения основания равнобедренного треугольника в кубе:

• Через вершину B₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁проведена плоскость, пересекающая ребра ВС и АВ и образующая с гранью ABCD угол ?, причем в сечении получен равнобедренный треугольник. Найти площадь сечения, если ребро куба равно a.

Готовясь к уроку, учащиеся каждой группы повторяли теоретический материал по соответствующей теме, подготовили презентацию с решениями трех случаев расположения основания равнобедренного треугольника. Анимация слайдов сложна, но она позволяет проследить все этапы построения сечения в каждом из трех случаев. В ходе проверки учащиеся отмечают, что решения II и III случая аналогичны.

3. Решение многовариантной задачи (12мин).

Учитель предлагает вниманию учащихся задачу:

• Основанием пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD, диагональ BD которого составляет со стороной BC угол ?. Все боковые ребра пирамиды имеют длину l, а величина угла ASC равна 2?. Пирамида пересечена плоскостью, равноудаленной от всех ее вершин. Определите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Демонстрация слайда презентации помогает учащимся заметить, что если плоскость пересекает отрезок в его середине, то концы отрезка равноудалены от этой плоскости. Следовательно, секущая плоскость пирамиды, о которой говорится в условии задачи, пересекает ребра пирамиды в их серединах.

Далее в ходе обсуждения условия задачи, устанавливаем, что возможны три принципиально различных положения секущей плоскости. Каждая из трех группы рассматривает один из трех случаев расположения секущей плоскости, выбирает того, кто будет оформлять решение задачи на доске. Представители групп выходят к доске с текстами задач, готовят чертёж, записывают кратко условие задачи и приступают к её решению, получив право свободного перемещения по кабинету для консультации с членами группы, каждый член группы тоже может подойти к доске и помочь товарищу. Учитель при необходимости даёт консультацию работающим у доски ученикам.

I случай: Точки M,N,P,Q- середины ребер AS, BS, CS, DS.

Решение: Так как боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проектируется в центр описанной окружности основания, в данном случае в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из , Четырехугольник гомотетичен прямоугольнику c коэффициентом гомотетии и центром Следовательно,

Решения II и III случая аналогичны, в чем учащиеся убеждаются, сравнивая записи на доске.

II случай: Точки M,N,P,Q середины ребер AB, BS, CS, DC III случай: Точки M,N,P,Q середины ребер AB, BS, CS, DC.

Очевидно – трапеция, причем точка принадлежит Показываем, что Проведем точка пересечения прямых Так как то Очевидно тогда

4. Самостоятельная работа в группах по решению задач с использованием готовых чертежей и последующей проверкой или самопроверкой (10 мин).

Учащиеся каждой группы получают тексты задач по вариантам в печатном виде и на слайдах презентации. Учитель контролирует работу групп, определяет степень усвоения изученного материала. Через определенное время краткое решение задач можно проверить, используя слайды презентации.