Организацию исследовательской деятельности обучающихся предлагаю рассмотреть на примере двух уроков: урока алгебры в 8 классе и уроке геометрии в 11 классе
Урок алгебры в 8 классе.
Тема урока: «Сложение алгебраических дробей».
Цель урока: организовать разработку учениками собственных версий сложения алгебраических дробей. Создать условия для формирования:
- навыков прогнозирования результатов своей деятельности;
- рефлексивных способностей по осознанию применяемых способов исследования данной проблемы.
Цели урока содержат направленность на все три основные виды деятельности:
- Креативная деятельность – получение алгоритма сложения.
- Когнитивная деятельность – познание метода сложения.
- Методологическая деятельность – планирование деятельности через создание алгоритма сложения алгебраических дробей, что позволит прогнозировать обучающимся свою деятельность.
1 этап урока – мотивация деятельности:
Мотивация осуществляется через:
- постановку целей деятельности;
- положительные эмоции, создание ситуации успеха;
- сочетание самооценки и оценки своей деятельности.
Мотивация связана с интересом детей. Дети заинтересованы на уровне узнавания (что это?), на уровне объяснения (почему это так?), на исследовательском уровне (как лучше сделать?).
2 этап – категоризация знаний. На уроке осуществляется ориентация на выделение всех случаев сложения алгебраических дробей.
3 этап – обогащение знаний. Идёт накопление опыта сложения алгебраических дробей и осмысление его. Причём рассмотрены вариативные задания, то есть обогащению материала способствуют задания типа: найди ошибку, проверь и обоснуй, сравните и классифицируйте, установите соответствие, установите уровень сложности, поставьте разумные вопросы, соотнесите поставленные цели урока с полученными результатами и т.д.
4 этап – перенос знаний – произойдёт на следующем уроке.
5 этап – свёртывание знаний – создание алгоритма сложения алгебраических дробей.
Методы, используемые на уроке: наглядно-индивидуальный, практически-индуктивный, практически-дедуктивный, практически-традуктивный, частично-поисковые.
На уроке должны быть прослежены:
- путь познания учебного материала: накопление фактов — проверка истинности — аналитическое доказательство — выход в практику.
- путь восприятия учебного материала:
- подготовка к восприятию (актуализация знаний)
- восприятие (формулирование проблемы, гипотез, поиск доказательства)
- осмысление (формулирование алгоритма)
- закрепление (решение задач)
Ход урока см. приложение.
Урок геометрии в 11 классе
Задачи на вписанные, описанные шары (сферы) считаются самыми сложными в курсе стереометрии. При решении этих задах обучающиеся должны показать знание сразу нескольких разделов математики: планиметрии, стереометрии, алгебры, тригонометрии, математического анализа.
Задачи на комбинацию тел вызывают у обучающихся затруднения при построении чертежа и определении зависимости радиуса описанного (вписанного) шара (сферы) от элементов многогранников и круглых тел.
Учитывая сложность этих задач, изучение темы «Вписанные и описанные многогранники» предложено изучить методом проектов группой обучающихся, увлечённых математикой.
Тема проекта: «Комбинация шара с многогранниками и круглыми телами».
Тема исследования: «Выявить зависимость радиуса описанного (вписанного) шара от элементов многогранников и круглых тел».
Одной из задач исследования было: рассмотреть взаимное расположение элементов многогранников и круглых тел, вписанных в шар, построив сечение шара плоскостью большого круга, проведённой перпендикулярно плоскостям оснований вписанных тел.
В ходе рассмотрения возникла необходимость доказательства того, что сечения для пирамиды, призмы, цилиндра, конуса являются частными случаями сечений для усечённого конуса и усечённой пирамиды.
Используя доказанное, что общий вид сечения – это сечение для усечённого конуса и усечённой пирамиды, появилась возможность вывода обобщённой формулы для определения величины радиуса шара, описанного около многогранников и круглых тел.
Так как обобщённая формула радиуса описанного шара облегчает решения многих задач на комбинацию тел, возникла необходимость рассмотрения вывода её на уроке геометрии в 11 классе.
Цель урока: вывести обобщённую формулу радиуса описанного шара около многогранников и круглых тел через организацию исследовательской деятельности обучающихся на уроке.
Ход урока.
I. Актуализация знаний, необходимых для достижения цели урока.
Выяснить:
- Около любого ли многогранника и круглого тела можно описать шар?
- Где расположен центр шара, описанного около призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, усечённого конуса, усечённой пирамиды?
II. Формулирование проблем, гипотезы, доказательства.
- Построить сечения пирамиды, вписанных в шар, плоскостью большого круга, проведённой перпендикулярно плоскостям оснований вписанных тел.
- Сравнить сечения, установить сходства и различия их.
- Распределить сечения по группам, выделяя в них сходственные признаки.
- Показать, что сечения для пирамиды, призмы, цилиндра, конуса являются частными случаями сечений для усечённого конуса и усечённой пирамиды.
Действительно, в сечениях получили большой круг. Хорды этого круга изображают диаметры кругов, описанных около оснований призмы и цилиндра, пирамиды и конуса, усечённого конуса и усечённой пирамиды.
Для конуса и пирамиды
Рисунок 1
Для цилиндра и призмы
Рисунок 2
Для усечённого конуса и усечённой пирамиды
Рисунок 3
На рис.3 NM – высота усечённого конуса или усечённой пирамиды. Изменяясь, NMдостигнет величины отрезка ME, тогда CN = ND станет равной нулю, а сечение для усечённого конуса и усечённой пирамиды примет вид сечения для конуса и пирамиды. (рис.1).
Изменение высоты NM может привести к равенству радиусов AM=MB=CN=ND, высота остаётся больше нуля, но меньше диаметра шара. В этом случае сечение для усечённого конуса и усечённой пирамиды примет вид сечения для цилиндра и призмы. (рис. 2).
5. Гипотеза:
Используя общий вид сечения – сечение для усечённого конуса и усечённой пирамиды, вывести обобщённую формулу для определения величины радиуса шара, описанного около данных тел.
Пусть EN=x, NF=y, MN=H, AM=MB=a, CN=ND=b, радиус шара.
- Рассмотрим ∆EAF- прямоугольный (так как
A опирается на дугу в 180°, то он равен 90°). - Высота, проведённая из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу, то есть
. 
=(x+H) ·(y-H) - Аналогично: из прямоугольного ∆ECF
- Найдём x, y из системы уравнений:
x>0
x=
+
y=
+
h=
, a>b
Чтобы найти радиус шара, описанного около конуса и пирамиды, полагаем в формуле h b=0, тогда h=
или h= 
– образующая конуса или длина бокового ребра пирамиды. Чтобы найти радиус шара, описанного около цилиндра и призмы, полагаем a=b, тогда h=
Предложенный способ решения задач на вычисление величины радиуса шара, описанного около круглых тел, призм и пирамид прост и понятен.
Применение выведенных формул ускоряет процесс решения задач на комбинацию шара с многогранниками и круглыми телами.