Урок информатики "Исследование математических моделей"

ЦЕЛЬ:  формирование знаний графического и числового («половинного деления») методов решений уравнений, умений применять их при построении и реализации на компьютере математических моделей для нахождения корней уравнений с разной степенью точности.

ЗАДАЧИ:
обучающие:

• формирование ИКТ – грамотности:
• формирование способностей для идентификации информации (отбор уравнений, которые не решаются стандартными способами),
• формирование умений интегрировать информацию (анализ и сравнение различных методов решения уравнений, обобщение),
• формирование умений оценивать информацию (полезность и эффективность предложенных методов решения уравнений),
• формирование умений адаптировать информацию к конкретным условиям (построение и исследование математических моделей, применение их к конкретным уравнениям);
• отработка умений и навыков работы в электронных таблицах (автозаполнение, построение арифметических выражений, построение графиков функций);

развивающие:

• формирование навыков деятельности, составляющих ИКТ-компетентность:
• управление – выделение нестандартных методов решения уравнений,
• интеграция – освоение предложенных методов,
• оценка – сравнение графического и числового методов,
• создание – умение применять данные методы при решении конкретных уравнений;
• развитие памяти, внимания, самостоятельности при работе на компьютере;

воспитательные:

• формирование познавательного интереса путем описания математических объектов автоматическими средствами представления данных;
• выработка у учащихся способности использовать компьютер при решении задач из различных предметных областей (математика);
• воспитание аккуратности, терпения, усидчивости.

ТИП УРОКА: изучение нового материала.

ФОРМА УРОКА: урок-исследование.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:
объяснительно-иллюстративный с применением презентации; частично поисковый, исследовательский; практический.

ОБОРУДОВАНИЕ:

• компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран или мультимедийная доска;
• на компьютере учителя – презентация «Исследование математических моделей», сопровождающая все этапы урока (Приложение1); флипчарт «Электронные таблицы»для тестирования по данной теме в форме голосования с помощью устройств Activote (Приложение5), файл Мастера вопросов - основа  теста (Приложение6);
• для менее подготовленных учащихся - карточки с алгоритмом практической работы на компьютере (Приложение2);
• на компьютерах учеников - шаблон в электронных таблицах для решения уравнения графическим методом (Приложение3);
• на компьютерах учеников – компьютерный тест «Электронные таблицы» (Приложение4).

ПЛАН УРОКА:

ХОД УРОКА

1. Организационный момент. Сообщение темы урока, цели(Слайды 1, 2, 3).
Тема сегодняшнего урока «Исследование математических моделей». При изучении САПР КОМПАС 3D вы выполняли геометрические построения: биссектриса угла, перпендикуляр к прямой, треугольник по 2 сторонам и углу между ними. Сегодня объектом наших исследований будут уравнения, а инструментами: объектно-ориентированный язык программирования Visual Basic и электронные таблицы MS Exсel. Проверим ваши знания об электронных таблицах.

2. Актуализация знаний. Проверочная работа (Слайды 4-15).
Работа проводится двумя способами: часть учащихся выполняют тест на компьютерах, остальные на местах. Вопросы выводятся на экран в виде презентации PowerPoint (ответы записываются в тетрадях) или флипчарта «Электронная таблица» (проводится голосование с помощью устройств Activote), на обдумывание каждого вопроса и ответ на него даётся 30 секунд. Работа занимает 5 мин. Анализ результатов (самопроверка, обсуждение ошибок).

3. Объяснение нового материала (Слайды 16-27).
Моделирование любых процессов начинается с записи формальной модели на языке определённой области знаний: математики, физики, химии, биологии, экономики.
На языке алгебры формальные модели записываются с помощью уравнений, точное решение которых основывается на поиске равносильных преобразований алгебраических выражений, позволяющих выразить переменную величину с помощью формулы.

Определите виды уравнений и способы их решений.
Учащиеся определяют виды предложенных уравнений и способы их решений. Возможные ответы на поставленные вопросы приведены  в таблице (Приложение7).

Вам известны методы решения уравнений определённого вида (линейные, квадратные, тригонометрические и др.). Всегда ли можно использовать стандартные методы? Рассмотрим несколько уравнений.
Дано: уравнение: x² = 8 - х. Найти: корни уравнения. Можно решить данное уравнение традиционным способом: при помощи нахождения дискриминанта? Как быть? Решить графически.
Графический метод основан на построении графиков функций, содержащихся в левой и правой части уравнения, или обращающих его в ноль. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями данного уравнения. Корень определяется «на глаз», т. е. приближенно.
Дано: уравнение: x³ + 5 = 0. Найти: корни уравнения. Какой способ решения вы можете предложить, чтобы значения корней были более точными? Метод подбора.
Метод подбора требует выполнения большого количества вычислений и значительных затрат времени. Попробуем составить программу, которая позволит компьютеру самостоятельно выполнить операции по подбору корней. Воспользуемся числовым методом половинного деления, который основан на сведении первоначального отрезка [A; B], на котором существует корень уравнения, к отрезку заданной точности. Процесс сводится к последовательному делению отрезков пополам точкой C=(A+B)/2 и отбрасыванию той половины отрезка ([A;C] или [C;B]), на котором корня нет. Выбор нужной половины отрезка основывается на проверке знаков значений функций в его крайних точках. Выбирается та половина, на которой произведение значений функций на краях отрицательно, т. е. функция пересекает ось абсцисс. Процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности. Деление последнего отрезка пополам даёт значение корня x=(A+B)/2  с заданной точностью.
Учащиеся записывают алгоритм метода половинного деления:

1. Вводим данные: А, В, Е
2. Пока (B-A)/2>E делать
3. С=(А+В)/2
4. Если у(A) * у(C) < 0 то
5. B=C
6. Иначе
7. A=C
8. Конец ветвления
9. Конец цикла
10. X=(A+B)/2

4. Первичное закрепление и систематизация знаний. Практическая работа.

Постановка задачи (Слайд 28).
Рассмотрим тригонометрическое уравнение: x³ - cos x = 0.
Решить его традиционным способом не возможно. Определите, каким способом вы сможете решить данное уравнение. Какой способ вы выбрали? Графический и половинного деления (каждый определяет свой способ). Применение и того и другого методов требует большого количества однотипных вычислений. Электронные таблицы, быстро производящие вычисления и позволяющие строить графики, помогут нам справиться с решением данного уравнения. Для реализации метода половинного деления воспользуемся объектно-ориентированным языком программирования Visual Basic.
Определите: как вы будете решать данное уравнение и уровень самостоятельности при выполнении работы.
На «4» оценивается самостоятельное решение при помощи электронных таблиц и в Visual Basic по готовому образцу.
На «5» написание программы самостоятельно по готовому алгоритму.
Учащиеся выбирают способ решения и уровень самостоятельности при его выполнении, садятся за компьютеры и решают уравнения. Для построения графиков они пользуются шаблоном (Приложение3). Ученики, претендующие на «4», которые выбрали для реализации метод половинного деления, получают карточки с алгоритмом составления программы на Visual Basic (Приложение2).  Учащимся, у которых возникнут трудности с выполнением работы в электронных таблицах, могут быть предложены карточки  с алгоритмом практической работы при построении графиков  (Приложение2). В этом случае их оценка уменьшается до «3». Ученики, претендующие на «5», пользуются алгоритмом метода половинного деления из рабочей тетради.
После выполнения работы обсуждаем полученные результаты.

Обсудим результаты, полученные в ходе решения.
Учащиеся записывают решение в тетрадях.

Задача.
Дано: тригонометрическое уравнение x³ - cos x = 0. Найти: корни уравнения.

Формализованная модель.

a. Графическая (Слайды 29 – 32).
Необходимо построить графики функций: y= x³ и y=cos x.
Затем, найти точки пересечения этих графиков, абсциссы которых и будут решениями уравнения.
Заполняем электронную таблицу значениями аргумента х от -2 до 2 с шагом 0,5 и формулами для определения значений функций  y= x3 и y=cos x.

Строим графики функций в одной системе координат.

Результаты:

Вопрос: какие выводы можно сделать по полученным графикам?
Вывод (для записи): Корень уравнения один: x»0,85.
Корень определяется приближённо, «на глаз».

b. Числовая (Слайды 33-36).
Уточним полученный графическим методом корень, используя метод половинного деления. Возьмём отрезок [-2; 2] и с заданной точностью найдём точку пресечения функции y= x³ - cos x с осью абсцисс. Составим проект на VB для решения поставленной задачи. Создадим новый проект, разместим на форме текстовые поля для ввода числовых значений концов отрезка: txtA, txtB, поле для ввода точности вычислений txtE и поле для вывода корня уравнения txtX и кнопку cmd1. В разделе описания переменных определим имена и тип переменных, которые будут использованы в программном коде.
Dim A,B,C,E As Double
К кнопке cmd1 привяжем событийную процедуру:
Private Sub cmd1_Click()
A = Val(txtA.Text)
B = Val(txtB.Text)
E = Val(txtE.Text)
Do
C=(A+B)/2
If (A^3-cos(A))*(C^3-cos(C))<0 Then
B=C
Else
A=C
End If
Loop While (B-A)/2>E
txtX.Text=(A+B)/2
End Sub
Запустим проект и определим корень уравнения на концах отрезка [-2; 2] с точностью до 0,2 и 0,001.
Вопрос: какое значение имеет корень уравнения при точности 0,2 и 0,001?
Вывод: Корень уравнения один: x»0,875, x» 0,8662109375.
Корень определяется с заданной точностью.

5. Подведение итогов урока (Слайд 37).

Мы научились решать нестандартные уравнения с использованием:

• программы «Метод половинного деления», написанной на объектно-ориентированном языке Visual Basic
• возможностей построения графиков при помощи «мастера диаграмм», встроенного в электронные таблицы MS Excel

Оценки за урок.
Домашнее задание: составить формальную модель полёта тела, брошенного под углом к горизонту (формулы дальности полёта, высоты, в зависимости от начальной скорости, угла и времени движения), и алгоритм «Попадание снаряда в цель».