Урок-проект "Задача одна — методы решения разные"

“Развитие и образование ни одному человеку
не могут быть даны или сообщены. Всякий,
кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть
этого собственной деятельностью,
собственными силами, собственным напряжением”.
А. Дистервег

Известно, для успешного изучения математики учащиеся должны знать не только основные определения, свойства, формулы, теоремы, но и владеть различными методами решения задач. Научить распознаванию и использованию математических методов помогает рассмотрение различных решений одной и той же задачи. Как правило, различные методы демонстрируются на разных задачах, которые подбираются специально к определенной задачи для эффективного решения. Однако при таком подходе в сознании учащихся метод невольно связывается именно с этой задачей. А если разные методы испробованы на одной задаче, то их отличительные черты, слабые и сильные стороны выступают на первый план. Здесь уместна организация проектной деятельности, как определенная методическая работа преподавателя и учащихся с элементами дополнения, поиска, новизны, синтеза, систематизации, параллельного рассмотрения и изучения программного материала. Имеет смысл работать над фрагментами учебных занятий, представленных одной дидактической единицей.

Цели урока:

Обучающие:

• показать учащимся процесс решения одной задачи различными способами.

Развивающие:

• учить анализировать, выделять главное, обобщать, строить аналогии, систематизировать, доказывать и опровергать.

Воспитательные:

• формировать умение работать в команде,
• уважать мнение другого,
• вырабатывать умение действовать в ситуации, отличной от заданного алгоритма.

Используемые методы обучения: метод проектов

Методы работы с аудиторией: учащиеся работают в группах в диалоговом режиме

Формирование проектных умений и навыков:

1. Учебно-математические: умение формулировать цель задания, подбирать соответствующие определения, теоремы по данной теме, анализировать свои варианты решения, выдвигать идеи по усложнению задания, анализировать результаты.
2. Исследовательские: умение работать с информацией, математическим текстом, анализировать собранные сведения, делать логические выводы.
3. Креативные: нацеливание на творческую деятельность.

Психологические аспекты занятия

1. Побуждение к диалоговой деятельности.
2. Развитие памяти, интуиции.

Фрагмент урока на тему “Задачи на касательную”

Решим ключевую задачу “Составить уравнения общих касательных к параболам, заданным уравнениями” различными способами.

Задача 1. Составить уравнения общих касательных к графикам функций у=х² и у=-3х³-8, проходящих через точку С(0;6).

Найдем уравнение касательной к параболам по формуле , где х₀ – абсцисса точки касания.

Имеем:

Тогда

По условию С(0;-6) принадлежит касательным, значит

Подставляя в уравнение касательной, получим

К о м м е н т а р и й у ч и т е л я: этот тип задач достаточно часто встречается и его можно считать традиционным: дана функция y=f(x) и точка M(a;b), не принадлежащая графику функции. Требуется найти уравнения всех касательных к графику данной функции, проходящих через данную точку. Решение этих задач основывается на том, что координаты точки M(a;b) должны удовлетворять искомому уравнению касательной , т.е. должно быть верным равенство . Решив полученное уравнение, находим значение x_o - координаты абсцисс точек касания, подставляя в уравнение касательной, получаем требуемый результат.

Задачи такого типа можно решать опираясь на понятие геометрического смысла производной, учитывая, что прямая y=kx+b является касательной к графикам функций y=f(x) и y=g(x). Решение сводится к системе: , где (m;f(m)) и (n;g(n)) – точки касания искомой прямой с графиками соответствующих функций.

Задача 2. Составить уравнения всех общих касательных к графикам функций у=х² и у=-3х³-8.

Заметим, что данные функции дифференцируемы на R и их графики имеют невертикальную касательную. Пусть y=kx+b – уравнение искомой касательной, тогда каждое из уравнений х²=kx+b и -3х²-8=kx+b должно иметь единственный корень, и как следствие, дискриминант каждого уравнения должен быть равен нулю:

Параметры k и b должны удовлетворять системе: .

Почленно вычтем из первого уравнения второе, получим: 16b+96=0, b=-6. Тогда , . .

Уравнения общих касательных к графикам данных функций и .

Ответ:

К о м м е н т а р и й у ч и т е л я: даны квадратичные функции y=f(x) и y=g(x). Нужно найти уравнения общих касательных к графикам этих функций. В приведенном методе использован частный случай: если функции y=f(x) и y=g(x) – являются квадратичными (наиболее часто встречающийся вариант в школьном курсе), то прямая y=kx+b будет общей касательной к графикам данных функций в том и только том случае, если каждое из квадратных уравнений f(x)=kx+b и g(x)=kx+b имеет единственный корень при дискриминанте, равном нулю. Решаем систему , затем находим значения k и b.

Задача 3. Найдите уравнения общих касательных к графикам парабол у=х² и у=-3х³-8.

Пусть даны две параболы у=х² и у=-3х³-8. Данные параболы подобны с коэффициентом k=3, где АА₁ и ВВ₁ – общие их касательные. Обозначим С – точку пересечения касательных, причем отрезок, соединяющий вершины парабол делится точкой С в отношении 3:1, т.е. . Прибавим к обеим частям пропорции по 1: , , , откуда СО=6, значит координаты точки С(0; -6).

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку С имеет вид: у= kх-6.

Для нахождения k, решим системы уравнений:

а) ,

б) .

Уравнения касательных к параболам у=х² и у=-3х³-8 имеют вид .

На этапе рефлексии при проверке решения найдем координаты точек касания, также решив соответствующие системы:

К о м м е н т а р и й у ч и т е л я: При решении вышеуказанным методом используется геометрическая составляющая – понятие подобие парабол, для нахождения координат точки принадлежащих пучку прямых. Уравнение касательных находится из решения соответствующих систем уравнений.

Фрагмент урока геометрии на тему “Задачи о треугольнике”

Задача: В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АД перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС.

Применим к данной геометрической задаче различные методы решения.

Способ 1. Аналитический

Имеем систему уравнений: , откуда у²=5, х²=13, значит АВ= и АС=.

Способ 2. Координатный

1) Точка Д – середина отрезка ВС, найдем координаты точки С(х_с;у_с), имеем ; х_с=4; ; у_с=- b. Тогда С(4;- b)

2) Напишем уравнение прямой АС: А(-2;0), С(4; - b). y=kx+l: . Тогда .

3) Имеем: Е(о;y)АС, тогда и Е. Тогда ВЕ==4 (по условию); b=3.

4) Итак, координаты вершин А(-2;0), В(0;3), С(4;-3). Найдем стороны:

АВ=; ВС=; АС=.

Способ 3. Векторный

1) Выразим векторы и через векторы и .

; .

2) Вычислим скалярные квадраты: ; .

Отсюда .

3) Применим теорему косинусов к АВС, используя векторную формулу: ; ; ; ; .

Ответ: .

Задачи, выполняемые различными методами, целесообразно использовать в проектной деятельности учащихся, причем работу следует организовать так, чтобы они могли активно участвовать в поиске решений. Разбор таких задач – увлекательное занятие, требующее знания всех разделов математики. Длительная работа над одной и той же задачей часто полезнее, чем решение нескольких задач.