“Развитие и образование ни одному
человеку
не могут быть даны или сообщены. Всякий,
кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть
этого собственной деятельностью,
собственными силами, собственным напряжением”.
А. Дистервег
Известно, для успешного изучения математики учащиеся должны знать не только основные определения, свойства, формулы, теоремы, но и владеть различными методами решения задач. Научить распознаванию и использованию математических методов помогает рассмотрение различных решений одной и той же задачи. Как правило, различные методы демонстрируются на разных задачах, которые подбираются специально к определенной задачи для эффективного решения. Однако при таком подходе в сознании учащихся метод невольно связывается именно с этой задачей. А если разные методы испробованы на одной задаче, то их отличительные черты, слабые и сильные стороны выступают на первый план. Здесь уместна организация проектной деятельности, как определенная методическая работа преподавателя и учащихся с элементами дополнения, поиска, новизны, синтеза, систематизации, параллельного рассмотрения и изучения программного материала. Имеет смысл работать над фрагментами учебных занятий, представленных одной дидактической единицей.
Цели урока:
Обучающие:
- показать учащимся процесс решения одной задачи различными способами.
Развивающие:
- учить анализировать, выделять главное, обобщать, строить аналогии, систематизировать, доказывать и опровергать.
Воспитательные:
- формировать умение работать в команде,
- уважать мнение другого,
- вырабатывать умение действовать в ситуации, отличной от заданного алгоритма.
Используемые методы обучения: метод проектов
Методы работы с аудиторией: учащиеся работают в группах в диалоговом режиме
Формирование проектных умений и навыков:
- Учебно-математические: умение формулировать цель задания, подбирать соответствующие определения, теоремы по данной теме, анализировать свои варианты решения, выдвигать идеи по усложнению задания, анализировать результаты.
- Исследовательские: умение работать с информацией, математическим текстом, анализировать собранные сведения, делать логические выводы.
- Креативные: нацеливание на творческую деятельность.
Психологические аспекты занятия
- Побуждение к диалоговой деятельности.
- Развитие памяти, интуиции.
Фрагмент урока на тему “Задачи на касательную”
Решим ключевую задачу “Составить уравнения общих касательных к параболам, заданным уравнениями” различными способами.
Задача 1. Составить уравнения общих касательных к графикам функций у=х2 и у=-3х3-8, проходящих через точку С(0;6).
Найдем уравнение касательной к параболам по
формуле , где х0
– абсцисса точки касания.
Имеем:
у=х2, у/=2х | у=-3х2-8, у/=-6х |
Тогда
![]() |
![]() |
По условию С(0;-6) принадлежит касательным, значит
![]() |
![]() |
Подставляя в уравнение касательной, получим
![]() |
![]() ![]() |
К о м м е н т а р и й у ч и т е л я: этот тип
задач достаточно часто встречается и его можно
считать традиционным: дана функция y=f(x) и точка
M(a;b), не принадлежащая графику функции. Требуется
найти уравнения всех касательных к графику
данной функции, проходящих через данную точку.
Решение этих задач основывается на том, что
координаты точки M(a;b) должны удовлетворять
искомому уравнению касательной , т.е. должно быть верным
равенство
.
Решив полученное уравнение, находим значение xo
- координаты абсцисс точек касания,
подставляя в уравнение касательной, получаем
требуемый результат.
Задачи такого типа можно решать опираясь на
понятие геометрического смысла производной,
учитывая, что прямая y=kx+b является
касательной к графикам функций y=f(x) и y=g(x).
Решение сводится к системе: , где (m;f(m)) и (n;g(n)) – точки
касания искомой прямой с графиками
соответствующих функций.
Задача 2. Составить уравнения всех общих касательных к графикам функций у=х2 и у=-3х3-8.
Заметим, что данные функции дифференцируемы на R и их графики имеют невертикальную касательную. Пусть y=kx+b – уравнение искомой касательной, тогда каждое из уравнений х2=kx+b и -3х2-8=kx+b должно иметь единственный корень, и как следствие, дискриминант каждого уравнения должен быть равен нулю:
![]() |
![]() |
Параметры k и b должны удовлетворять
системе: .
Почленно вычтем из первого уравнения второе,
получим: 16b+96=0, b=-6. Тогда ,
.
.
Уравнения общих касательных к графикам данных
функций и
.
Ответ:
К о м м е н т а р и й у ч и т е л я: даны
квадратичные функции y=f(x) и y=g(x). Нужно найти
уравнения общих касательных к графикам этих
функций. В приведенном методе использован
частный случай: если функции y=f(x) и y=g(x) – являются
квадратичными (наиболее часто встречающийся
вариант в школьном курсе), то прямая y=kx+b будет
общей касательной к графикам данных функций в
том и только том случае, если каждое из
квадратных уравнений f(x)=kx+b и g(x)=kx+b имеет
единственный корень при дискриминанте, равном
нулю. Решаем систему , затем находим значения k и b.
Задача 3. Найдите уравнения общих касательных к графикам парабол у=х2 и у=-3х3-8.
Пусть даны две параболы у=х2 и у=-3х3-8.
Данные параболы подобны с коэффициентом k=3,
где АА1 и ВВ1 – общие их
касательные. Обозначим С – точку пересечения
касательных, причем отрезок, соединяющий вершины
парабол делится точкой С в отношении 3:1, т.е. . Прибавим к
обеим частям пропорции по 1:
,
,
,
откуда СО=6, значит координаты точки С(0; -6).
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку С имеет вид: у= kх-6.
Для нахождения k, решим системы уравнений:
а) ,
б) .
Уравнения касательных к параболам у=х2
и у=-3х3-8 имеют вид .
На этапе рефлексии при проверке решения найдем координаты точек касания, также решив соответствующие системы:
![]() А Аналогично, для |
![]() А1 Аналогично, для |
К о м м е н т а р и й у ч и т е л я: При решении вышеуказанным методом используется геометрическая составляющая – понятие подобие парабол, для нахождения координат точки принадлежащих пучку прямых. Уравнение касательных находится из решения соответствующих систем уравнений.
Фрагмент урока геометрии на тему “Задачи о треугольнике”
Задача: В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АД перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС.
![]() |
Заметим, что АД![]() ![]() АД=ВЕ=4,
ВД=ДС, Тогда |
Применим к данной геометрической задаче различные методы решения.
Способ 1. Аналитический
![]() |
Если длины сторон ![]() ![]() ![]() |
Имеем систему уравнений: , откуда у2=5, х2=13,
значит АВ=
и АС=
.
Способ 2. Координатный
![]() |
Пусть О – начало прямоугольной системы
координат. Ось ОХ направим по лучу ОД ось ОY – по
лучу ОВ. За единичный отрезок выберем ![]() |
1) Точка Д – середина отрезка ВС, найдем
координаты точки С(хс;ус),
имеем ; хс=4;
; ус=-
b. Тогда С(4;- b)
2) Напишем уравнение прямой АС: А(-2;0), С(4; -
b). y=kx+l: .
Тогда
.
3) Имеем: Е(о;y)АС,
тогда
и Е
. Тогда ВЕ=
=4 (по условию); b=3.
4) Итак, координаты вершин А(-2;0), В(0;3), С(4;-3). Найдем стороны:
АВ=; ВС=
; АС=
.
Способ 3. Векторный
![]() |
Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
1) Выразим векторы и
через векторы
и
.
;
.
2) Вычислим скалярные квадраты: ;
.
Отсюда .
3) Применим теорему косинусов к АВС, используя векторную
формулу:
;
;
;
;
.
Ответ: .
Задачи, выполняемые различными методами, целесообразно использовать в проектной деятельности учащихся, причем работу следует организовать так, чтобы они могли активно участвовать в поиске решений. Разбор таких задач – увлекательное занятие, требующее знания всех разделов математики. Длительная работа над одной и той же задачей часто полезнее, чем решение нескольких задач.