Урок по теме "Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений"

Тип урока: урок обобщения, систематизации и углубления знаний.

Цели урока:

• Систематизация, обобщение и контроль знаний полученных при изучении темы “Теорема Виета”
• Обратить внимание учащихся на решение квадратных уравнений ах²+bх+с=0, в которых а+b+с=0
• Способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты.

Оборудование: кадоскоп, таблицы с уравнениями и ответами к ним из домашней работы, карточки – тесты с закодированными ответами, листы самоконтроля, выставка творческих проектов учащихся (домашнее задание предыдущего урока – придумать рекламу теоремы Виета).

Листок самоконтроля учащегося __________________________________

Ход урока

1. Организационный момент. Слово учителя.

Ребята, сегодня вы узнаете новый способ решения некоторых квадратных уравнений (уравнения из домашней работы записаны на доске):

x²+x-2=0,
x²+2x-3=0,
x²-3x+2=0,
x²-x-2=0,
x²-2x-3=0,
x²-3x-4=0.

Конечно, вы можете их решить, но как это сделать быстро, рационально вы узнаете на уроке. Сначала необходимо повторить теорему Виета и теорему ей обратную. (Спросить несколько человек, одного пригласить к доске для краткой записи теоремы Виета).

2. Актуализация знаний учащихся. За рекламу учитель выставляет оценку в листок самоконтроля до урока, когда готовится выставка.

(Рисунок 1)

А теперь реклама! Учащиеся показывают один из творческих проектов.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни - дробь уж готова!
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби ровна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а.

- Ребята, Посмотрите, Ведь реклама сделана не для приведённого квадратного уравнения, а для полного. Как вы считаете, нас не обманывают? Почему?

Пригласить к доске 3 учеников, выполнить следующие задания:

• Один из корней уравнения х²+bх-12=0 равен 2. Найдите второй корень и коэффициент b. {X₂=6; b=8}
• Найти корни квадратного уравнения 6х²-8х+2=0 через дискриминант. {X₁=1/3; X₂=1}
• Найти корни квадратного уравнения 4х²+6х+2=0 через дискриминант. {X₁=-1; X₂=-1,5}

Пока учащиеся решают, с остальным классом работаем устно.

1. Найти подбором корни уравнений:

а) х²-5х+6=0 {2;3}
б) х²+3х+2=0 {-2;-1}
в) х²-7х+10=0 {2;5}
г) х²-9х+20=0 {4;5}

2. Составьте приведённое квадратное уравнение корнями которого являются числа:

а) 3 и 5 {х²-8х+15=0}
б) 3 и -5 {х²+2х-15=0}
в) -3 и 5 {х²-2х-15=0}
г) -3 и -5 {х²+8х+15=0}

Проверить работу учащихся у доски.

3. А теперь давайте посмотрим как вы усвоили и научились применять теорему Виета.

Тест. Ответы на обратной стороне доски. После взаимопроверки оценку учащиеся выставляют в листок самоконтроля. Критерии: 2 задания –“3”, 3 задания – “4”, 4 задания –“5”.

Тест по теме “Теорема Виета”

I вариант

а) х² - 4х + 3 = 0;  Т – {1;3}, Е – {-4;3}, А – {-3;-1};
б) х² - 12х + 11 = 0;  А – {-11;-1}, Е – {1;11}, М – {-3;8};
в) х² + 5х + 4 = 0;  А – {1;4}, М – {-4;-1}, Т – {9;20};
г) При каком значении p один из корней уравнения х² - рх + 9 = 0 равен 1. Найти второй корень. Е – {р=1; х₂=4}, Т – {р=10; х₂=-9}, А – {р=10; х₂=9}.

II вариант

а) х² - 8х + 7 = 0 ; И – {-1;7}, В – {1;7}, Т – {-8;-1};
б) х² + 3х + 2 = 0; И – {-2;-1}, Е – {2;3}, B – {-1;2};
в) х² - 16х + 15+ = 0; Т – {5;10}, Е – {1;15}, B – {-5;20};
г) При каком значении p один из корней уравнения х² - рх + 6 = 0 равен 1. Найти второй корень. В – {р=-2; х₂=4}, Е – {р=1; х₂=10}, Т – {р=7; х₂=6}.

3. Исторические сведения.

А теперь давайте немного передохнём и послушаем вторую часть вашего творческого отчета. (Один ученик сообщает исторические сведения).

 

Француа Виет (рисунок 2)

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт.

Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Обретя покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом "Введение в аналитическое искусство". Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему "видов". В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных - согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: "Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D".

В трактате "Дополнения к геометрии" он стремился создать некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: "...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже. Ему было более шестидесяти лет".

4. Проверка домашнего задания.

Мы ещё не проверили домашней работы. Проверяем с помощью кадоскопа.

• I вариант: x²+x-2=0 (-2;1), x²+2x-3=0 (-3;1), x²-3x+2=0 (1;2).
• II вариант x²-x-2=0 (-1;2), x²-2x-3=0 (-1;3), x²-3x-4=0 (-1;4).

(После проверки оценку в листок самоконтроля: 1 задание –“3”, 2 задания – “4”, 3 задания –“5”).

5. “Открытие” нового знания учащимися.

Давайте обратим внимание на уравнения I варианта.

• Какое число является корнем каждого из них?
• Какова сумма коэффициентов в этих уравнениях?

Записать на доске: 1+1-2=0; 1+2-3=0; 1-3+2=0.

• Какую закономерность вы увидели?

Обратить внимание на уравнение №3 на доске.

• Прийти к заключению, что если в уравнении ах²+bх+с=0, а+b+с=0, то один из его корней равен 1, а другой с/а.
• Отметить, что верно и обратное утверждение: если один из корней квадратного уравнения ах²+bх+с=0, в которых а+b+с=0 ах²+bх+с=0, равен 1 (с/а), то а+b+с=0 и второй корень равен с/а (1).

Решение уравнений для закрепления:

а) 3х²-4х+1=0 {1/3;1} (решает учитель)
б) х²+8х-9=0 {-9;1} (решает ученик на доске)
в) 2х²-6х+4=0 {1;2} (самостоятельно в тетрадях)

Свойство (2). Обратите внимание на уравнения II варианта. Заметили, что один из корней во всех уравнениях -1. Рассмотрим зависимость между коэффициентами:

1-(-1)-2=0,
1-(-2)-3=0,
1-(-3)-4=0.

Рассмотреть уравнение №4 на доске.

Вывод: если в уравнении ах²+bх+с=0, а-b+с=0, то один из его корней равен -1, а другой -с/а.

Решение уравнений для закрепления:

а) 2х²+3х+1=0 {-1;-1/2} (решает ученик на доске)
б) 5х²-4х-9=0 {-1,8;-1} (самостоятельно в тетрадях)
в) 7х²+2х-5=0 {-1;5/7} (самостоятельно в тетрадях)

6. Домашняя работа:

• а) х² - 18х + 17 = 0;
  б) 2х² + 46х – 48 = 0;
  в) 200х² - 194х – 394 = 0;
  г) х² - 12х – 13 = 0.  (на  “3”)
• д) (2х+1)² – 3(2х + 1) – 4 = 0 (на “4”).
• Самостоятельно доказать любое свойство (на  “5”).

- Свойство можно доказывать выразив из условия а+b+с=о коэффициент b, подставить в полное квадратное уравнение записанное в общем виде и решить это уравнение.

7. Рассмотрим уравнение повышенной сложности которое тоже можно решить применяя рассмотренные свойства:

(5х+1)² + 6(5х+1) - 7 = 0,
Введем замену: 5х+1=у,
у² + 6у - 7 = 0,
Так как 1+6-7=0, то 5х+1=1 и х=0 или 5х+1=-7 и х=-8/5.
Ответ: -1,6; 0.

8. Итог урока.

• Что нового узнали сегодня на уроке?
• Повторить свойства.
• Вывести общую оценку за урок, листы самоконтроля сдать учителю.