Числовые последовательности. 9-й класс

Цели уроков:

• Формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом.
• Формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность.
• Развитие умений применять ранее изученный материал.
• Развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать.
• Привитие санитарно-гигиенических навыков, пропаганда здорового образа жизни.

Ход уроков

1. Организационный момент.
2. Повторение видов функций.
3. Подготовка к восприятию новых знаний.
4. Изучение нового материала.
5. Закрепление.
6. Знаменитые последовательности.
7. Дополнительные задачи.
8. Домашнее задание.
9. Подведение итогов урока.

Оборудование и материалы.

• Рабочий лист для учащихся с планом уроков и упражнениями. Приложение 1.
• Лист с домашней работой. Приложение 2.
• Мультимедийный проектор.
• Экран.
• Презентация.

Урок 1.

1. Организационный момент.

Последовательность - одно из самых основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д.

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием " числовая последовательность", узнаем, какие могут быть последовательности, познакомимся со знаменитыми последовательностями.

2. Повторение видов функций.

Вам известны функции, определённые на всей числовой прямой или на её непрерывных промежутках:

• линейная функция у = кх+в,
• квадратичная функция у = ах²+вх+с,
• функция у =,
• прямая пропорциональность у = кх,
• обратная пропорциональность у = ,
• кубическая функция у = х³,
• функция у =|х|.

(Графики функций показываются на слайдах презентации).

Для каждой функции указать область определения и способы задания функции.

3. Подготовка к восприятию новых знаний.

Но бывают функции, заданные на других множествах.

Пример. Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в день рождения ребёнка родители подводят его к дверному косяку и торжественно отмечают на нём рост именинника. Ребёнок растёт, и на косяке с годами возникает целая лесенка отметок. Три, пять, два: Такова последовательность приростов от года к году. Но есть и другая последовательность, и именно её члены аккуратно выписывают рядом с засечками. Это - последовательность значений роста. Слайд презентации.

Две последовательности связаны друг с другом.

Вторая получается из первой сложением.

Рост - это сумма приростов за все предыдущие годы.

Рассмотрим ещё несколько задач.

Задача 1. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

(Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620).

Задача 2. В период интенсивного роста человек растёт в среднем на 5 см в год. Сейчас рост у ученика С. - 180 см. Какого роста он будет в 2018 году? (2м 30 см). Но этого быть не может. Почему?

Задача 3. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)? (Через 4 дня).

 Это примеры функций, заданных на множестве натуральных чисел-числовые последовательности.

Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности.

Задачи урока: Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.

Изучение нового материала.

Определение: Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве натуральных чисел (слайд: последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать).

Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1, 2, 3, 4, 5, : - последовательность натуральных чисел;

2, 4, 6, 8, 10, :- последовательность четных чисел;

1, 3, 5, 7, 9, : - последовательность нечетных чисел;

1, 4, 9, 16, 25, : - последовательность квадратов натуральных чисел;

2, 3, 5, 7, 11, : - последовательность простых чисел;

1, , , , :- последовательность чисел, обратных натуральным.

Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей - монотонно возрастающие, последняя - монотонно убывающая.

Обозначение: у₁, у_2, у_3, у_4, у_5,:

1, 2, 3, 4, 5, :п,:-порядковый номер члена последовательности.

(у_п)- последовательность, у_п- п-ый член последовательности.

(а_п)- последовательность, а_п - п-ый член последовательности.

а_п-1 -предыдущий член последовательности,

а_{п+1 -} последующий член последовательности.

№ 332.

Последовательности бывают конечными и бесконечными, возрастающие и убывающие.

Задание. Записать первые 5 членов последовательности:

От первого натурального числа увеличение на 3.

От 10 увеличение в 2 раза и уменьшение на 1.

От числа 6 чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза.

Эти числовые ряды тоже называются числовыми последовательностями.

5. Знаменитые последовательности:

Числа Фибоначчи. Приложение 3.

Треугольник Паскаля. Приложение 3.

Урок 2.

Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.

1. Способы задания последовательностей:

Словесный.

(у_п)- последовательность натуральных чисел, кратных трём.

(у_п): 3, 6, 9, 12, 15, :

Табличный.

Слайд презентации.

Графический.

Слайд презентации.

Аналитический.

Указать формулу п-ого члена последовательности.

(у_п = 3п)

Рекуррентный (от латинского - возвращаться).

Это формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие.

(у_п = у_п-1 + 3).

2. Закрепление.

с_п = . Запишите первые 5 членов последовательности.

(По одному человеку решают у доски, остальные - в тетради).

: 74, 81, 88, 95, 102, : Задайте формулу п-ого члена.

(у_п = у_п-1 + 7).

Рабочая тетрадь: с. 46, № 38.

3. Дополнительные задачи.

Запишите первые пять членов последовательности, заданной таким описанием: каждый член последовательности на 1 больше соответствующего члена ряда Фибоначчи.

Запишите первые пять членов последовательности, заданной формулой а_п = (-3)^п-1.

Запишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:

а_{1 =} 4, а_п+1 = а_п + 2.

Запишите первые пять членов последовательности, заданной графиком:

Домашнее задание. Приложение 2.

Подведение итогов урока.

Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы её задания. Ответьте на вопросы:

1. Что такое последовательность?
2. Какие виды последовательностей вы узнали?
3. Какие способы задания вы узнали?
4. О каких ученых и их трудах вы узнали?

Литература.

1. О.В. Занина , И.Н. Данкова. Поурочные разработки по алгебре. 9 класс.
2. Л.А. Тапилина, Т.Л. Афанасьева. Алгебра. 9 класс. Поурочные планы.
3. Энциклопедический словарь юного математика.
4. Материалы Фестиваля педагогических идей "Открытый урок":
5. А.А.Болбас. Урок алгебры по теме "Числовые последовательности". 9 класс.
6. А.В. Худякова. Урок по алгебре для 9 класса по теме "Последовательности и способы их задания".
7. Е.Е. Журавлёва. Урок-лекция в 9 классе на тему "Последовательности, понятие, определение. Возрастающие и убывающие последовательности. Способы задания последовательности".
8. Г.А. Бархатова. Интегрированный урок математики и валеологии на тему "Прогрессия". Решение прикладных задач.
9. К. Кноп. "Трактат о кроликах, рождающих великие открытия".
10. Г.И. Глейзер. История математики в средней школе.
11. Ю.В. Пухначев, Ю.П. Попов. Математика без формул.

Приложение 1, приложение 2, приложение 3, приложение 4.