Урок алгебры в 9-м классе по теме "Решение квадратных неравенств"

Разделы: Математика

Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду.

Л. Н. Толстой.

Тип: урок изучения нового материала.

Цели урока:  1. Выработка алгоритма решения квадратных неравенств.
2. Формирование навыков решения квадратных неравенств.
3. Развитие навыков самостоятельной работы.
4. Развитие логического мышления, монологической речи.
5. Воспитание внимания, аккуратности.

Оборудование: «Алгебра 9 учебник» (авторы: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.), памятки с алгоритмом решения неравенств второй степени, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

ХОД УРОКА

I этап. Организационный момент (1 мин.).

II этап. Объяснение нового материала (28 мин). (Приложение 1)

Учитель:  Изучение нового материала мы начнем с понятия неравенства второй степени.

Задание 1. Какие из неравенств вы бы назвали неравенствами второй степени:

1) 6х2 – 13х>0;                          2) x2 – 3x – 14>0;                      3) (5 + x)(x – 4)>7;

4) ;                               5) ;                      6) ;

7) 8x2>0;                                    8) (x – 5)2 – 25>0;                     9) x(x – 9) – x2>0?

– Теперь давайте сформулируем определение неравенства второй степени:

Определение: Неравенство, левая часть которого есть многочлен второй степени, а правая  –  нуль, называется неравенством второй степени.

Все квадратные неравенства могут быть приведены к одному из следующих видов:

1) ах2 + bx + c > 0; 
2) ах2 + bx + c < 0;
3) ах2 + bx + c > 0;
4) ах2 + bx + c < 0.

Задание 2. Какие из чисел являются решениями неравенства ?

1  – 3 0  – 1 5  – 4  – 2 0,5

– К квадратным неравенствам нас приводят следующие задачи.

Задание 3. Планируется разбить прямоугольный цветник, который будет примыкать к дому. Заготовленного штакетника хватит на изгородь длиной 20м. Какими должны быть длина и ширина цветника, чтобы он имел площадь не менее: 1) 48 м2; 2) 50 м2.

– Обсудим выполнение этого задания.

Если  за х м принять   длину стороны цветника, примыкающей к дому, то решение задачи сведется к решению неравенств:

1) (20 – 2х)х > 48;
2) (20 – 2х)х > 50.

Используя преобразования, эти неравенства можно привести к таким неравенствам второй степени:

1) х2 – 10х + 24 < 0; 2) х2 – 10х + 25 < 0.

Попробуем найти способ решения квадратных неравенств, использующий свойства квадратичной функции.

Учащиеся пытаются предложить такой способ. Если идей не возникает, то учитель предлагает выполнить еще одно задание.

Задание 3. На рис. 1 даны графики квадратичных функций. Анализируя эти графики, заполните таблицу. (Приложение 2)

Рис. 1

Учитель: Теперь нам предстоит решить неравенство – х2 +  8x – 12 > 0.Какая информация о квадратичной функции может оказаться при этом полезной:

  • знак коэффициента а;
  • знак дискриминанта D  квадратного трехчлена;
  • направление ветвей параболы;
  • пересечение параболы с осями координат;
  •  координаты вершины параболы;
  • примерное расположение параболы?

Обязательно ли для решения неравенства строить график соответствующе квадратичной функции? Если да, то с какой точностью выполнять построение?

Далее рассматриваются различные варианты неравенств с подробным решением и записью в тетради (или справочники). (Приложение 1, слайды 7-13)

Задания:

1) – х2 + 8х – 12 > 0.

Решение: Пусть у =  – х2 + 8х – 12.

  1. а =  – 1, а<0. Ветви параболы направлены вниз.
  2. – х2 + 8х – 12 = 0; D =  82 – 4(– 1)(– 12) = 16 = 42, D > 0
  3. x1 = 6; x2 = 2.
  4. Схематически строим график функции.

Ответ: х (2; 6).

img03.gif (6768 bytes)

2) – х2 + 8х – 12 ? 0.    Ответ: [2;6].
3) – х2 + 8х – 12 < 0.  Ответ: (– ; 2) (6;  + ).
4) – х2 + 8х – 12 ? 0.   Ответ: (– ; 2] [6;  + ).
5) x2 – 8x + 12 > 0.     Ответ: (– ; 2) (6;  + ).
6) x2 – 8x + 12 ? 0.      Ответ: (– ; 2] [6;  + ).
7) х2 – 4х + 4 > 0.       Ответ: (– ; 2) (2;  + ).
8) х2 – 4х + 4  ? 0.       Ответ: (– ;   + ).
9) х2 – 4х + 4  < 0.      Ответ: нет решений.
10) х2 – 4х + 4  ? 0.      Ответ: 2
11) х2 – 4х + 5> 0.        Ответ: (– ;   + ).
12)  х2 – 4х + 5 < 0.      Ответ: нет решений.

Учитель: Теперь давайте попробуем сформулировать алгоритм решения неравенств второй степени, основанный на свойствах квадратичной функции.

После ответов учащихся учитель предлагает сравнить их с готовым алгоритмом, который лежит у каждого на парте (Приложение 3).

III этап. Усвоение новых знаний. (10 мин.)

На этом этапе учащимся предлагается самостоятельно решить несколько неравенств.

1.
2.
3.
4.

Проверка решения проводится по готовым ответам (слайды 14-17).

Для наиболее подготовленных учеников предлагается следующее задание:

Найти область определения функции .

IV этап. Домашнее задание (1 мин.)

§6, п. 14, № 304, 306.

Литература:

Гельфман Э.Г., Бухтяк М.С. и др. Квадратичная функция: учебное пособие по математике для 9 класса. – Томск: Издательство Томского университета, 2004.