В методических рекомендациях к изучению раздела"Описательная статистика и случайная изменчивость" сказано: “Представление о больших числовых наборах можно получить с помощью всего нескольких чисел, так называемых средних характеристик. Термин "наборы чисел"… мы считаем правомерным. Обычно применяемые термины математической статистики " числовой ряд" или "выборка" более строгие, но преждевременны для учащихся”. [2]
Однако опыт преподавания этой темы в 7 классе показал, что, подводя итоги изучения раздела, вполне можно познакомить учащихся с понятием генеральной совокупности и выборки, на интересных примерах обсудить понятие “репрезентативность выборки”, рассказать о плане проведения статистического исследования.
Такой урок будет особенно интересным и полезным для тех учащихся, которые планируют самостоятельную исследовательскую или проектную деятельность.
Цель урока: обобщить и систематизировать знания учащихся по темам раздела “Описательная статистика и случайная изменчивость”.
Задачи:
- дать учащимся представление о плане статистического исследования;
- познакомить с такими понятиями, как генеральная совокупность, выборка, репрезентативность выборки;
- закрепить практические навыки по вычислению основных статистических характеристик: моды, медианы, среднего значения;
- закрепить навыки построения круговых и столбиковых диаграмм.
Этапы урока:
- Знакомство с темой урока и обсуждение целей урока.
- Введение новых понятий, знакомство со схемой статистического исследования.
- Закрепление изученных понятий в ходе устной работы.
- Выполнение практической работы и подведение итогов урока.
1. Знакомство учащихся с темой урока целесообразно построить в форме беседы.
Учитель может спросить учащихся, приходилось ли им или их родителям принимать участие в каких-либо статистических исследованиях, социологических опросах. Многие учащиеся наверняка вспомнят опросы, которые не редкость в магазинах, различные рейтинги (музыкальные хит-парады, которые составляются на основание звонков зрителей), телефонные опросы, которые также стали довольно частыми. Также интересно обсудить различные рекламные слоганы, которыми изобилуют журналы и телеэфир (полезно иметь несколько модных журналов с рекламой косметики).
В процессе беседы учащиеся совместно с учителем приходят к выводу: явления, которые носят массовый характер и подвержены случайной изменчивости, необходимо изучать методами статистики.
2. Основные понятия урока:
Статистика – это научное направление, объединяющее принципы и методы работы с числовыми данными, характеризующими массовые явления.
Описательная статистика занимается вопросами:
- сбора и представления первичной статистической информации в табличной и графической форме (таблицы, графики, полигоны, диаграммы);
- вычисления числовых характеристик для наборов чисел (среднее, медиана, мода, размах, дисперсия);
- выдвижения гипотез и отслеживания закономерностей, присущих массовым явлениям.
Статистическая информация – это числовые данные о массовых явлениях.
Источником статистической информации является реальный опыт: эксперимент, наблюдение, измерение, производимые над реальными объектами и явлениями окружающего мира.
Схема статистического исследования
| Постановка цели исследования |
| Выделение совокупности объектов или явлений, которую нужно исследовать в зависимости от целей исследования (генеральная совокупность). |
| Выделение признака, которым обладают явления и объекты, входящие в совокупность (признак выбирается в зависимости от цели исследования). |
| Формирование выборки – выбор некоторого количества элементов для исследования. |
| Проверка репрезентативности выборки – т.е. насколько правильно выборка отражает свойства совокупности. |
| Измерение значений признака для выборки, проведение эксперимента, осуществление наблюдения. |
| Вычисление числовых характеристик, представление данных в табличном и графическом виде. |
| Выводы о закономерностях, присущих выборке, проверка гипотез. Закономерности обычно не носят характер точного закона, а проявляются как некая тенденция. |
| Вывод о закономерностях, присущих генеральной совокупности ( перенос свойств выборки на генеральную совокупность). |
| Вычисление ошибок, возникающих при оценке характеристик генеральной совокупности на основе характеристик выборки. |
3. Вопросы для закрепления изученного материала:
1. Почему необходимо применять статистические методы при следующих исследованиях:
а) определении марки кофе, которую чаще всего
покупают;
б) определении качества петард;
в) определении качества ракетных установок.
2. Является ли выборка репрезентативной, если при изучении времени, которое затрачивают на выполнение уроков семиклассники:
а) спрашивали только девочек;
б) опрос проводили только по четвергам;
в) опрашивали только учащихся гимназий и лицеев?
3. В ходе опроса предстоит определить, строительству каких культурных и спортивных сооружений отдают предпочтение жители района. Какие категории жителей должны быть включены в составляемую выборку? Выделите комплекс критериев.
4. Какую из предложенных выборок можно считать репрезентативной? Почему не являются репрезентативными другие выборки?
| Генеральная совокупность | Цель обследования | Выборка | |
| 1 | Партия одинаковых деталей объемом 10000 штук. | Определение числа бракованных изделий в партии. | 1) 5 рядом лежащих деталей. 2) 5 деталей, выбранных случайным образом из разных частей партии. 3) 100 деталей, выбранных случайным образом из разных частей партии. |
| 2 | Все экзаменационные работы в форме ЕГЭ по математике выпускников школ города. | Предварительное выявление соотношения между отличными, хорошими, удовлетворительными и плохими отметками. | 1) 5 работ, изъятых случайным образом из
числа всех работ. 2) 50 работ, изъятых случайным образом из числа всех работ. 3) 50 работ выпускников одной школы. |
| 3 | Урожай зерна с поля площадью 1000 га. | Определение урожайности зерна на этом поле. | 1) Урожай зерна с северного склона холма
площадью 1 га. 2) Среднее арифметическое урожайностей с двух соседних участков площадью 1 га с северного и восточного склонов холма. 3) Среднее арифметическое урожайностей с 10 участков, каждый из которых площадью 10 соток выбран на поле случайным образом. |
5. Как вы думаете, каковы могут быть причины статистических ошибок при следующих исследованиях:
а) определение рейтинга телепрограммы;
б) исследовании партии товара на наличие брака
Замечание: на примерах двух статистических исследований “выбор марки кофе” и “исследование качества петард” можно подробно обсудить все этапы статистического исследования. Предложите ребятам разделиться на две группы и представить себя в роли экспертов. Особенно интересной может стать беседа о статистических ошибках и о том, как они могут повлиять на жизнь человека. Такая беседа может служить прекрасной пропедевтикой темы “Маловероятные события”.
4. В качестве практической работы можно предложить учащимся следующее задание:
В городе проводится статистическое исследование успеваемости учащихся 7 классов. В ходе исследования учащиеся выполняли контрольную работу, которую оценивали по 10 – балльной системе.
1) Что представляет собой генеральная совокупность данного исследования?
2) Какая из данных выборок будет репрезентативной:
а) все учащиеся гимназии;
б) все учащиеся одной школы;
в) только работы отличников;
г) случайным образом выбранные работы учащихся
общеобразовательных школ;
д) случайным образом выбранные работы учащихся
школ различных типов.
3) Было выбрано 60 работ учащихся. В таблице приведены данные об оценках, полученных учащимися.
| 3 | 9 | 4 | 6 | 10 | 8 | 7 | 8 | 8 | 7 | 6 | 7 |
| 7 | 4 | 6 | 7 | 6 | 3 | 8 | 7 | 4 | 5 | 7 | 8 |
| 8 | 6 | 8 | 3 | 8 | 7 | 5 | 6 | 8 | 6 | 8 | 7 |
| 9 | 8 | 5 | 8 | 8 | 6 | 8 | 8 | 7 | 8 | 7 | 5 |
| 5 | 8 | 7 | 9 | 9 | 10 | 9 | 9 | 9 | 9 | 4 | 6 |
а) Составьте таблицу абсолютных и
относительных частот.
б) Постройте столбиковую диаграмму
распределения отметок по абсолютным частотам.
в) Найдите средний балл.
г) Найдите наиболее часто встречающуюся отметку.
Какую числовую характеристику Вы для этого
использовали?
Следует заметить, что основой для проведения практической работы могут стать реальные данные, собранные самими учениками при подготовке к уроку.
Использованная литература:
- Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В.Теория вероятностей и статистика – М., Просвещение, 2004.
- Ю.Н. Тюрин и другие. Теория вероятностей и статистика. Методическое пособие для учителя. – Издательство МЦНМО МИОО., М., 2005.
- М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений. – М, Просвещение, 2004.
- Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей 7–9 классы. Автор-составитель В.Н. Студенецкая – Волгоград, издательство “Учитель”, 2006