Обратные тригонометрические функции для профильной подготовки учащихся 10—11-х классов

Обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе.

Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у школьников старших классов значительные трудности. Связано это, прежде всего, с тем, что в действующих учебниках и учебных пособиях подобным задачам уделяется не слишком большое внимание, и если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся еще как-то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие эти функции, нередко ставят их в тупик. Последнее не удивительно, поскольку практически ни в одном учебнике (включая учебники для классов с углубленным  изучением математики) не излагается методика решения даже простейших уравнений и неравенств такого рода. Предлагаемая программа посвящена методам решения уравнений и неравенств и преобразованию выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Она окажется полезной для учителей, работающих в старших классах – как общеобразовательных, так и математических, а также  для учащихся, интересующихся математикой.

Данный курс расширяет базовый курс математики,  даёт возможность познакомиться с интересными вопросами математики. Вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного курса математики. Вместе с тем они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию математических знаний и умений учащихся.

При проведении занятий традиционные формы, такие как лекция и семинар, должны применяться, но на первое место необходимо вывести такие организационные формы, как дискуссия, диспут, выступления с докладами, написание рефератов.

Варианты итоговой аттестации могут быть следующие: тестирование, зачёты, написание рефератов на предложенные учителем темы; индивидуальные задания, в которых необходимо провести самостоятельное исследование, тематические контрольные работы.

Цели курса – создание условий для реализации профильного обучения; формирование целостной системы математических знаний и базы для продолжения математического образования в ВУЗах различного профиля.

Задачи курса:

• расширить сферу математических знаний учащихся;
• расширить представления учащихся об обратных тригонометрических функциях;
• обобщить основные методы решения уравнений, неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции;
• рассмотреть методы построения графиков обратных тригонометрических функций.

Требования к уровню подготовки учащихся.

• Учащиеся должны знать:
  – определение обратных тригонометрических функций, их свойства;
  – основные формулы;
  – методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции;
  – способы построения графиков  функций: y=arcsinx, y= arccosx,  y=arctgx, y=arcctgx.
• Учащиеся должны уметь:
  – применять свойства и основные формулы обратных тригонометрических функций;
  – решать простейшие уравнения и неравенства;
  – выполнять преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции;
  – применять различные методы решения уравнений и неравенств;
  – решать уравнения и неравенства с параметрами, содержащие обратные тригонометрические функции;
  – строить графики обратных тригонометрических функции.

Приведенное тематическое планирование курса является примерным. Учитель может варьировать количество часов, отводимых на изучение отдельных тем, с учетом уровня подготовки учащихся.

Тематическое планирование

Содержание курса

Тема 1.

«Обратные тригонометрические функции, их графики. Значения обратных тригонометрических функций».

Определение обратных тригонометрических функций, их свойства. Нахождение значений обратных тригонометрических функций.

Тема 2.

«Графики обратных тригонометрических функций».

Функции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx,их графики.

Тема 3.

«Преобразование выражений содержащих обратные тригонометрические функции».

Вычисление значений тригонометрических функций от значений обратных тригонометрических функций. Проверка справедливости равенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Упрощение выражений, содержащих обратные тригонометрические функции».

Тема 4.

«Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции».

Уравнения: arcsinx=а, arccosx=а,  arctgx=а, arcctgx=а.
Неравенства: arcsinx>а, arccosx>а,  arctgx>а, arcctgx>а, arcsinx<а, arccosx<а,  arctgx<а, arcctgx<а.

Тема 5.

«Методы решений уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции».

Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются одноимёнными обратными тригонометрическими функциями. Уравнения и неравенства  левая и правая части которых являются разноимёнными обратными тригонометрическими функциями. Замена переменной. Использование монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций.

Тема 6.

«Решение уравнений и неравенств, содержащих параметры».

Способы решений уравнений и неравенств, содержащих параметры.

Тема 7.

«Обобщающее повторение».

Решение уравнений и неравенств разных уровней.

Тема 8.

Итоговый контроль по курсу (2 часа).

Контролирующие работы могут быть представлены в виде контрольных работ  в нескольких вариантах и разных уровней сложности. Защита рефератов по заданным темам.

Литература для учащихся:

1. Крамор В.С., Михайлов П.А. Тригонометрические функции. – М.: Просвещение, 1983.
2. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение, 1984.
3. Цыпкин А. Г., Пинский А. И. Справочное пособие по методам решения задач для средней школы. – М.: Наука, 1983.
4. CD диск 1С:Репетитор.Математика. 1 часть.
5. Интернет ресурсы: Коллекция рефератов.

Литература для учителя:

1. Ершов В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций. – М.: Просвещение, 1984.
2. Васильева В. А., Кудрина Т. Д., Молодожникова Р. Н. Методическое пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: МАИ, 1992.
3. Ершова А.П., Голобородько В. В. Алгебра. Начала анализа. – М.: ИЛЕКСА, 2003.
4. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под ред. М. И. Сканави. – М.: Высшая школа, 2003.
5. Журналы «Математика в школе».