Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
Срок реализации: 17 занятий.
Возраст: 9–11-й классы.
Пояснительная записка.
Основная задача обучения математики – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.
В школьном курсе математики очень мало времени и внимания уделяется теме «решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля». Данный курс призван развивать содержание базового курса по этой теме, изучение которого осуществляется на минимальном уровне. Этот курс предусматривает формирование у учащихся интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, подготовку к ЕГЭ.
В результате изучение курса учащиеся должны научиться:
- решать уравнения, содержащие переменную под знаком модуля,
- решать неравенства, содержащие переменную под знаком модуля,
- строить графики функций и уравнений, содержащих переменную под знаком модуля,
- делать преобразования графиков уравнений и функций, содержащих переменную под знаком модуля.
Данный курс рассчитан на учащихся 9–10-х классов общеобразовательной школы.
Учебно-тематический план.
№ |
Название темы |
Количество часов |
||
Всего |
Лекции |
Практика |
||
1 |
Определение модуля. Свойства модуля и их применение. |
1 |
1 |
- |
2 |
Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. |
2 |
- |
2 |
3 |
Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. |
2 |
- |
2 |
4 |
Решение систем уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. |
2 |
- |
2 |
5 |
Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля. Преобразование графиков. |
2 |
1 |
1 |
6 |
Построение графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. |
2 |
- |
2 |
7 |
Обобщение. Решение уравнений, неравенств и их систем, содержащих переменную под знаком модуля. |
3 |
- |
3 |
|
ИТОГО |
17 |
2 |
15 |
Содержание курса.
1. Определение модуля. Свойства модуля и их применение.
Дать определение модуля. Рассмотреть применение основных свойств модуля:
и т.д.
2. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.
Рассмотреть решение уравнений вида:
3. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Рассмотреть решение неравенств вида:
4. Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля. Преобразование графиков.
Рассмотреть построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля:
а) раскрывая модуль по определению модуля,
б) путем преобразований: у=f(х), у=
и т.д.
5. Построение графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.
Рассмотреть построение графиков вида:
литература.
- Крамор В.С. «повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.
- Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8–9-х классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2004.
- Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов. – М.: Дрофа, 1995.
- Система тренировочных задач и упражнений по математике / Симонов А.Я. и др. – М.: Просвещение, 1991.
- Журналы «Математика в школе».
- Материалы ЕГЭ 2000–2005 г.
Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром
Срок реализации: 17 занятий.
Возраст: 9–11-й классы.
Пояснительная записка.
Основная задача обучения математики – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.
В школьном курсе математики очень мало времени и внимания уделяется теме «Решение уравнений и неравенств с параметром». Данный курс призван развивать содержание базового курса по этой теме, изучение которого осуществляется на минимальном уровне. Этот курс предусматривает формирование у учащихся интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, подготовку к ЕГЭ.
В результате изучение курса учащиеся должны научиться:
- решать линейные уравнения с параметром,
- решать квадратные уравнения с параметром разных видов, перечисленных в плане,
- решать квадратные уравнения с параметром,
- решать системы уравнений и неравенств с параметром.
Данный курс рассчитан на учащихся 9–10-х классов общеобразовательной школы.
Учебно-тематический план.
№ |
Название темы |
Количество часов |
||
Всего |
Лекции |
Практика |
||
1 |
Знакомство с параметрическими уравнениями. Линейные уравнения с параметром. |
1 |
1 |
- |
2 |
Квадратный трехчлен. Решение квадратных уравнений, содержащих параметр. |
1 |
- |
1 |
3 |
Знаки корней квадратного трехчлена, содержащего параметр. |
2 |
- |
2 |
4 |
Расположение корней квадратного трехчлена, содержащего параметр. |
3 |
1 |
2 |
5 |
Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов, содержащих параметр. |
2 |
- |
2 |
6 |
Квадратные неравенства, содержащие параметр. |
2 |
- |
2 |
7 |
Системы уравнений и неравенств с параметром. |
2 |
- |
2 |
8 |
Графический способ решения уравнений, неравенств и систем с параметром. |
2 |
- |
2 |
9 |
Решение квадратных уравнений, неравенств и систем с параметром. Обобщение. |
3 |
- |
3 |
|
ИТОГО |
18 |
2 |
16 |
Содержание курса.
1. Знакомство с параметрическими уравнениями. Линейные уравнения с параметром.
Рассмотреть решение уравнений вида ах + b =0 при различных значениях а и b.
2. Квадратный трехчлен. Решение квадратных уравнений, содержащих параметр.
Рассмотреть решение простейших квадратных уравнений с параметром вида: «При каких значениях параметра уравнение имеет 1 корень, 2 корня, не имеет корней».
3. Знаки корней квадратного трехчлена, содержащего параметр.
Рассмотреть уравнения вида, при каких значениях параметра уравнение имеет
а) два отрицательных корня,
б) два положительных корня,
в) один корень равен 0, а другой отрицательный,
г) больший по модулю корень отрицательный и др.
4. Расположение корней квадратного трехчлена, содержащего параметр.
Рассмотреть уравнения вида, при каком значении параметра:
а) оба корня меньше А,
б) один корень меньше А, а другой больше А,
в) оба корня больше А,
г) расположение корней квадратного трехчлена относительно отрезка 
и т.д.
5. Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов, содержащих параметр.
Рассматриваются задачи вида: «Найти все значения параметра , при которых два (или более) уравнении:
а) имеют хотя бы один общий корень,
б) не имеют общих корней,
в) корни одного уравнения (меньше) больше корней другого и т.д.
6. Квадратные неравенства, содержащие параметр.
Рассмотреть разные виды неравенств с параметром вида:
а) для каждого значения параметра решить неравенство,
б) при каких значениях параметра неравенство имеет бесконечно много решений (не имеет решений) и т.д.
7. Системы уравнений и неравенств с параметром.
8. Графический способ решения уравнений, неравенств и систем с параметром.
Рассмотреть графический способ решения уравнений, неравенств и систем с параметром.
9. Решение квадратных уравнений, неравенств и систем с параметром. Обобщение.
Обобщить, систематизировать решение квадратных уравнений, неравенств и систем с параметром.
Литература.
- Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – К.: РИА «Теис»; МП «ОКО», 1992.
- Математическая подготовка и развитие школьников в условиях ЕГЭ. – [Н.м.]: Хазанкин Р.Г. и др.; МО РБ, 2003.
- Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов. – М.: Дрофа, 1995.
- Алгебра: учебное пособие для учащихся 9-х классов с углубленным изучением математики / Под. ред Н.Я.Виленкина. – М.: Просвещение, 2001.
- Журналы «Математика в школе».
- Материалы ЕГЭ 2000–2005 г.
Решение текстовых задач
Срок реализации: 17 занятий.
Возраст: 9–11-й классы.
Пояснительная записка.
В настоящее время на экзаменах предлагаются задачи, решение которых требует составления уравнения (или неравенства), а также их систем на основании условия задачи. Многие ученики испытывают затруднения. Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако прежде всего необходимо научать различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них. Данный курс призван научить решать основные типы текстовых задач, научить составлять уравнения по условию задачи. А также предусматривает формирование у учащихся интереса к предмету.
В результате изучения курса учащиеся должны научиться:
- Составлять план решения текстовой задачи.
- Составлять уравнение (неравенство), систему уравнений для решения задачи.
- Решать основные типы задач, перечисленные в плане.
Учебно-тематический план.
№ |
Название темы |
Количество часов |
||
Всего |
Лекции |
Практика |
||
1 |
Задачи на движение. |
4 |
1 |
3 |
2 |
Задачи на совместную работу. |
2 |
- |
2 |
3 |
Задачи на планирование. |
1 |
- |
1 |
4 |
Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий. |
2 |
- |
2 |
5 |
Задачи на проценты. |
2 |
- |
2 |
6 |
Задачи на смеси (сплавы). |
1 |
- |
1 |
7 |
Задачи на разбавление. |
1 |
- |
1 |
8 |
Задачи на применение арифметической и геометрической прогрессии. |
2 |
- |
2 |
9 |
Текстовые задачи разных типов. Обобщение. |
1 |
- |
1 |
|
ИТОГО |
16 |
1 |
15 |
Содержание курса.
1. Задачи на движение.
Рассмотреть следующие виды задач:
- Движение из одного пункта в другой в одном направлении.
- Движение из одного пункта в другой с остановкой в пути.
- Движение из разных пунктов навстречу друг другу.
- Движение по водному пути.
- Определение скорости при встречном прямолинейном движении.
- Задачи, в которых пройденный путь принимается за 1, а единственной данной величиной является время.
- Задачи, в которых скорость выражена косвенно через время.
- Задачи, в которых тела движется по окружности.
- Задачи на составление неравенств.
2. Задачи на совместную работу.
- Задачи на вычисление неизвестного времени работы.
- Задачи на «бассейн», который одновременно наполняется разными трубами.
- Задачи на вычисление неизвестной производительности работы.
3. Задачи на планирование.
- Задачи на вычисление объема выполняемой работы.
- Задачи на определение времени, затраченного на выполнение предусмотренного объема работ.
- Задачи, в которых вместо времени выполнения некоторой работы дано число рабочих, участвующих в выполнении работы.
4. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий.
- Задачи, в которых требуется найти сумму слагаемых, каждое из которых составляет ту или иную часть искомой сумму.
- Задачи, в которых используется формула двузначного числа.
- Задачи, в которых слагаемые пропорциональны некоторым числам (или дано их отношение).
- Задачи, компонентами которых являются геометрические величины.
5. Задачи на проценты.
- Задачи, решаемые арифметическим способом.
- Задачи, в которых известно, сколько процентов одно число составляет от другого.
- Задачи, в которых известно, на сколько процентов одно число больше (или меньше) другого.
6. Задачи на смеси (сплавы).
7. Задачи на разбавление.
8. Задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий.
Литература.
- Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений: Учебное руководство. 3-е издание. – М.: Наука, 1990.
- Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. – М.: Просвещение, 1990.
- Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре: Учебное пособие для 8–9-х классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 2004.
- Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов. – М.: Дрофа, 1995.
- Алгебра: Учебное пособие для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики / Н.Я.Виленкин, Г.С.Сурвилло и др. – М.: Просвещение, 2001.
- Система тренировочных задач и упражнений по математике / Симонов А.Я. и др. – М.: Просвещение, 1991.
- Задания ЕГЭ 2000–2005.