Каждый учитель мечтает иметь учеников, умеющих думать. Логическое мышление – непременное условие успешного овладения знаниями. К сожалению, школьники редко пытаются думать.
Обучение математике – это прежде всего обучение решению задач. Оно начинается в начальных классах, углубляется и совершенствуется в последующих. Нужно ли стремиться, чтобы школьники решили как можно больше задач?
Многие задачи, публикуемые в учебниках, задачниках, методических пособиях часто дублируют друг друга, отличаясь лишь числовыми значениями, физическим содержанием или другими не очень существенными деталями, тогда как их математическая сущность одна и та же. Крупнейший французский математик Анри Пуанкаре (1854–1912) утверждал, что «математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем».
Например, три «различные» задачи, математическая сущность и решение которых совершенно одинакова.
1). Мастер может выполнить некоторую работу за 20 дней, а ученик – за 30 дней. За сколько дней они выполнят эту работу совместно?
2). Кран с холодной водой может наполнить пустой бак за 20 мин., а кран с горячей _ за 30мин. За сколько времени наполнится пустой бак, если открыть оба крана сразу?.
3). Из пункта А в пункт В отправляется поезд, который проходит весь путь за 20 час. Одновременно из пункта В в пункт А отправляется другой поезд, который проходит этот путь за 30 час. Через сколько часов поезда встретятся?
Их решение может быть получено одними и теми же арифметическими действиями:
1\20 + 1\30 = 1\12.
1:1\12+12.
Поэтому необходимо отобрать ключевые задачи и разобрать их решение, а детям дать достаточную тренировку в распознавании, решении и составлении самых разнообразных задач на основе ключевых. Итак, ключевые задачи усвоены, необходимая база фундаментальных знаний, умений, навыков по теме заложена.
Нередко мы «натаскиваем» учащихся путём решения нескольких десятков однотипных задач. Особенно перед контрольной работой, на которой будут предложены аналогичные задачи.
При решении каждой задачи необходимо учить школьников думать, обобщать, анализировать, рассматривать варианты, строить контр-примеры, составлять свои задачи – не только аналогичные разобранным, критически оценивать полученный результат. Гораздо полезнее разобрать несколько способов решения одной задачи, чем наскоро решить три или четыре похожих друг на друга.
Логическое мышление не разовьёшь, если решать одни лишь стандартные задачи, даже если перерешать их очень много. Но опасна и другая крайность – упор только на задачи, требующие сообразительности и нестандартных приёмов решения. Это тоже не может дать желаемого результата обучения: не владея достаточными базовыми знаниями, учащиеся не справятся со многими предлагаемыми им задачами. А это после одного–двух «разочарований» они нередко охладевают к занятиям математикой вообще.
С чего же начинать решение задачи?
1. Внимательно прочитать условие задачи.
2. Построить математическую модель, то есть перевести условие задачи на математический язык.
3. Выбрать гипотезу. Это весьма ответственное дело, так как определяется степень адекватности модели.
Иногда на уроках при решении текстовой задачи стараемся как можно быстрее перейти к математической формулировке, например к уравнению или системе уравнений, сосредотачивая всё внимание на решении. Я считаю, что это неправильно. Пусть задач будет решено меньше, но не следует жалеть времени на обсуждение условия задачи, уяснения смысла, участвующих в ней величин, на выбор и мотивировку гипотез, на адекватность математической модели, на обсуждение выводов из её изучения. Необходимо проанализировать полученный ответ, так как при нахождении расстояния или скорости он может быть отрицательным. Эти моменты вызывают набольшие затруднения, и именно владение ими определяется умение применять математику за её пределами. Наряду с правильными надо разобрать и неправильные гипотезы, а так же неадекватные модели. Далеко не всегда в исходной формулировке задачи имеется столько данных, сколько нужно для её решения, их может быть больше или меньше. Такие задачи тоже должны быть представлены в школьной практике.
Известный советский математик и педагог А.Я. Хинчин писал: «Перед учителем математики стоит нелёгкая задача – преодолеть в сознании учеников со стихийной неизбежностью возникающие представления о “сухости”, формальном характере, оторванности от жизни и практики его науки». Одним из способов решения этой проблемы является использование нестандартных и занимательных задач на уроках математики, но такие задачи должны быть связаны с изучаемым материалом.
Например: 11-й класс. Урок геометрии. Тема «Конус».
Урок начинается с демонстрации картины Шишкина «Корабельная роща».
Вопрос: «Какая связь между картиной и вот этим телом?». Демонстрируется модель конуса. Оказывается – самая непосредственная. На картине изображены сосны, а конус в переводе с греческого означает «сосновая шишка». С этой шутки начинается изучение формулы объёма и поверхности конуса, которое проходит вполне серьёзно.
В конце урока предлагается послушать строки из трагедии А.С. Пушкина «Скупой рыцарь»:
Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу, –
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.
Вопрос: «Какой высоты мог быть тот холм? На сколько км может увеличиться панорама для наблюдателя, поднявшегося с подножья холма к его вершине?». Такой урок будет иметь большое воспитательное и развивающее значение. Он покажет интеграцию математики с другими науками: даже, казалось бы, с такими далёкими, как мировая художественная культура и литература.
Или 5-й класс. Тема «Чтение и запись натуральных чисел».
При знакомстве с римскими цифрами показать репродукцию картины или слайд с изображением скульптуры Медного всадника скульптора Фальконе Демонстрацию сопроводить музыкой Первого концерта для фортепиано с оркестром П.И. Чайковского. Дать небольшую историческую справку о положении России к началу правления Петра Первого. Почитать отрывок из стихотворения А.С. Пушкина:
О мощный властелин судьбы!
Не так ли ты над самой бездной,
На высоте уздой железной
Россию поднял на дыбы?
Рассмотреть внимательно памятник и попросить ребят расшифровать надпись на его гранитном постаменте:
PETRO PRIMO
CATHARINA SECCCUNDA
MDCCL XXXII.
Смысл первых двух строк учитель сообщает сам: ПЕТРУ ПЕРВОМУ – ЕКАТЕРИНА ВТОРАЯ.
А что означает последняя строчка? Рассмотреть таблицу перевода арабских цифр в римские:
I |
|
V |
|
X |
|
L |
|
C |
|
D |
|
M |
1 |
|
5 |
|
10 |
|
50 |
|
100 |
|
500 |
|
1000 |
«Как прочитать число на памятнике?»
1000+500+100+100+50+10+10+10+1+1 = 1782 (год открытия монумента). Показывается взаимосвязь математики, музыки, изобразительного искусства, литературы и истории.
В дальнейшем детям будет проще воспринимать школьные предметы как единую науку и «переносить» полученные знания из предмета в предмет.
Условия шуточных и занимательных задач целесообразно формулировать коротко, просто и сопровождать красочными иллюстрациями, которые вызывают положительные эмоции у учащихся и экономят время. Так как учащийся на уроке полноценно работать может 30 мин., то эти задачи можно предложить за 10–15 мин. до конца урока.
В тоже время существуют стандартные задачи, которые можно решать как стандартным, так и нестандартным способом. Эти задачи всегда органически связаны с изучаемым материалом.
Например.
Кусок полотна в 10,4 м надо разрезать на две части так, чтобы в одной части было на 1,6 м больше, чем в другой. Сколько м полотна будет в каждой части?
Можно решить стандартным способом – уравнением или нестандартным – с пояснением.
Допуская нестандартное решение, школьники приучаются не довольствоваться шаблоном, нацеливаются на вдумчивый подход.
Стандартные задачи с нестандартным решением полезно решать на материале любого класса. Особенно это уместно на уроках повторения.
Большие затруднения вызывает решение задач на составление уравнений. Особенно у учащихся 5–6-х классов. Главная причина – неумение анализировать условие задачи. Они затрудняются выделять из условия задачи величины, связанные какими – либо зависимостями. Это объясняется тем, что у ученика либо не сформировано представление о нужной зависимости, либо он «не видит» её в условии задачи. В результате такие ученики используют лишь часть условия задачи. Они не могут установить, соответствует ли полученное ими уравнение условию решаемой задачи, а если обнаруживают несоответствие, то ищут ошибку только в уравнении. Поэтому учитель должен иметь в запасе упражнения, позволяющие ликвидировать затруднения такого вида и использовать их по мере надобности.
Задачи на движение традиционно вызывают у детей значительные трудности, связанные с отсутствием ясного представления о происходящих при движении изменениях. Работы психологов, исследовавших развитие понятия движения у детей, позволяют понять причины этих трудностей. Например, Ж. Пиаже убедительно показал, что способность УМОЗАКЛЮЧАТЬ о закономерностях изменения расстояния между движущимися телами БЕЗ РЕАЛЬНОГО ПОСТРОЕНИЯ ПУТИ приходит лишь в 11 лет. Поэтому изображение на рисунке-графике образов движения даёт возможность учащимся наглядно представить такие абстрактные понятия как скорости сближения и удаления. При этом развивается умение строить графические модели задач, необходимые для осознанного их решения, умение, которое не возникает само собой, а требует медленного и постепенного формирования.
В результате существующая система задач представляется для учащегося менее оторванной от жизни, а в дидактическом плане реализует прикладную направленность преподавания математики.
Литература.
- Математика 5 кл. Авторы: Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа (разные годы издания).
- Математика 5 кл. Авторы Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург. (разные годы издания).
- «Я иду на урок математики», книга для учителя (разные годы издания).
- Журналы «Математика в школе» (разные годы издания).