Комбинаторика - один из разделов современной математики.
Комбинаторные задачи служат средством развития мышления детей, воспитания у них умения применять полученные знания в различных ситуациях, средством выработки навыков и повторения пройденного.
Комбинаторные задачи в младших классах могут с успехом использоваться при изучении всех тем и программных вопросов, внося элемент разнообразия, а иногда и занимательности, и во внеклассной работе.
I-II класс
1 .Записать отдельно все двузначные числа до двадцати включительно, каждое из которых можно представить в виде суммы двух одинаковых слагаемых, и отдельно те, каждое из которых нельзя представить в виде суммы двух одинаковых слагаемых. Сколько получилось чисел тех и других? Ответ: к первой группе относятся числа: 10,12,14,16,18,20:
ко второй -11,13,15,17,19: в первой группе 6 чисел, во второй 5.
2.Все числа до двадцати включительно распределить по двум группам так, чтобы каждое число первой группы можно было представить в виде суммы трёх одинаковых слагаемых, а каждое число второй группы нельзя было бы так представить. Сколько чисел в каждой группе? Ответ:3,6,9,12,15,18,:1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20: в первой группе 6 чисел, во второй -14.
З.Из двузначных чисел выбрать все такие, чтобы сумма чисел десятков и единиц каждого из них была равна 5. Сколько таких чисел? Ответ:14,23,32,41,50: пять чисел.
4.Из двузначных чисел выбрать те, в которых разность между числом десятков и единиц была равна 6. Сколько таких чисел? Ответ:93,82,71,60; четыре числа.
5.Сколькими способами можно разменять монету 20 копеек на две монеты?
Ответ: двумя способами: 10 коп. и 10 коп.; 15 коп. и 5 коп.
6.Сколько треугольников изображено: а) на рис.1? б) на рис.2?
Ответ: а) 4; б) 5.
II-III класс
1 .Записать все двузначные числа, которые можно представить в виде произведения: а) двух одинаковых множителей; б) трёх одинаковых множителей. Сколько таких чисел?
Ответ: а) 16,25,36,49,64,81; шесть чисел, б) 27,64; два числа.
- Найти все пары чисел (х, у) чтобы равенство х ∙ у=18 было верным.
Ответ:1,18; 2,9; 3,6; 6,3; 9,2; 18,1. - Имеется 7 конвертов различных видов и 6 марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?
Ответ: 42; 7 ∙ 6 = 42.
4. Из Радостного в Удачное можно совершить путешествие одним из четырёх видов транспорта: на поезде, автобусе, самолёте или теплоходе, а из Удачного в Счастливое - одним из трёх: на поезде, автобусе или самолёте.
Сколькими способами можно осуществить путешествие из Радостного в Счастливое с остановкой в Удачном.
Решение. Изобразим схематически возможные пути передвижения (рис.3)
Ответ: возможны такие варианты: 1. а, б, в; 2. а, б, в; 3. а, б, в: 4. а, б, в;
т.е. всего: 4 ∙ 3 = 12 способов.
5. Сколько среди чисел от 100 до 1000 включительно таких, в зависимости которых встречаются три одинаковые цифры?
Ответ: 10 чисел (111,222,333,444,555,555,666,777,888,999,1000.)
6.Сколько всего имеется чисел, записанных с помощью двух цифр, у которых число десятков меньше числа единиц?
Ответ: от 10 до 19 – 8; от 20 до 29 – 7; от 30 до 49 – 6; от 40 до 49 - 5; от 50 до 59 – 4; от 60 до 69 – 3; от 70 до 79 – 2; от 80до89 – 1. Всего таких чисел: 8 +7+ 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =9 ∙ 4 = 36.
7. Сколько острых углов изображено на рисунке 4? Ответ: 6 углов.
8. Сколько существует прямоугольников, длины сторон которых выражаются целыми числами сантиметров, а площадь равна 60 кв. см.
Ответ: существуют прямоугольники заданной площади с такими сторонами: 1 см и 60 см; 2 см и 30 см; 3 см и 20 см; 4 см и 15 см; 5 см и 12 см; 6 см и 10 см; всего шесть прямоугольников.
9. Сколько существует прямоугольников с периметром 12 см, длины сторон которых целые числа?
Ответ: 3 прямоугольника, так как 12 : 2 = 6 (см); возможны варианты;
- 6 см = 1см+ 5 см
- 6 см = 2 см+ 4 см
- 6см = 3см + 3см
10. Числа 25, 70, 3, 40, 32, 5 и 7 распределены по группам такими тремя способами; 1)3,5,7 и 25,70,40,32. 2) 3,5,7,70,40, и 25,32 3)3,5,7; 70 и 40; 25 и 32.
Что общего между числами одной группы в каждом случае и чем отличаются числа разных групп?
Ответ:
- Числа первой группы однозначные, второй двузначные.
- Числа первой группы имеют единицы одного разряда (либо только единицы, либо
только десятки), второй - имеют единицы, как первого, так и второго разрядов. - Числа первой группы имеют только единицы первого разряда, третьей - как единицы первого, так и второго разрядов.
11. Три бригады получили с колхозного склада 7 полных бочек с горючим, 7 бочек наполненных горючим наполовину, и 7 порожних бочек. Как распределить между бригадами поровну горючее и тару, не переливая горючее из бочки в бочку?
Ответ: каждая бригада должна получить 7 бочек.
I бригада получает 3 полные бочки, 1 бочку наполненную наполовину, и 3 порожних;
II - 2 полные бочки, 3 наполненные наполовину и 2 - порожние;
III - получает то же, что и вторая
12. Распределить числа 2,3,4,5,6,7,8, на две группы так, чтобы сумма двух любых чисел одной группы не была равна никакому числу другой группы. Ответ: 2,3,5,7,8, и 4,6.
13. Запишите все возможные двузначные числа из двух цифр 3 и 7. (Таких чисел всего 4: 2+2=2 ∙ 2.)
14. Сколько двузначных чисел можно записать из трех цифр? (3+3+3=3 ∙ 3)
Из четырех цифр? (4+4+4+4=4*4)
15. Запишите все возможные трехзначные числа, используя цифры 1 и 2. (111,222,112,121, 211,221,212,122: всего 8 чисел. Число цифр равно 2: 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8).
16. Запишите все возможные трехзначные числа, используя цифры 7,5,1.
(777, 555, 111, 771, 717, 177, 711, 171, 117, 755, 575, 557, 775, 757, 577, 511, 151, 115, 551, 155, 515, 571, 751, 715,175,157, 517: всего 27 чисел. Число цифр равно 3: 3 ∙ 3 ∙ 3=27 )
IП-IV класс.
1.Сколькими способами можно выбрать из слова «ученица» две буквы, первая из которых гласная, а вторая - согласная?
Решение. Всего гласных букв 4, а согласных - 3. Поэтому две буквы можно выбрать двенадцатью способами: 4 ∙ 3=12. Ответ: 12 способов.
2.На железной дороге 21 станция. Сколько различных образцов билетов должна заготовить эта дорога для касс всех станций?
Решение. На каждой станции должны быть образцы билетов до любой станции, т. е. должно быть 21-1=20 образцов. Значит, всего образцов 20 ∙ 21=420. Ответ: 420 образцов.
3. Сколько различных положений могут занять две пешки на пустой шахматной доске? Решение. Одну пешку можно поставить на любую из 64 клеток доски, тогда вторую - на одну из 63 оставшихся. Значит, различных положений будет 64 ∙ 63=4032.
Ответ: 4032 положений.
4. Сколькими способами можно разместить 5 пассажиров в двух каютах, из которых одна двухместная, а другая - трехместная?
Решение. Пусть пассажиры будут А, В, С, Д и Е. Количество способов их размещения в указанных каютах равно количеству возможных неупорядоченных пар, составленных из А, В, С,Д и Е, Составим и подсчитаем эти пары АВ, АС, АД, АЕ, БС, БД, БЕ, СД, СЕ, ДЕ; Всего 10 пар. Ответ: 10 способов.
5. Дано три числа 18,7 и 20. Найти:
а) Все возможные произведения, суммы двух чисел на третье;
б) Сумму всех возможных произведений этих чисел, взятых по два.
Решение: а) (18+7) ∙ 20=500; (18+20) ∙ 7=266; (7+20) ∙ 18=486
6)18 ∙ 7+18 ∙ 20+7 ∙ 20=626.
Такие задачи вычислительного характера, представленные в виде комбинаторных, воспринимаются учащимися с большим интересом, чем подобные им стандартные, и способствуют активизации мыслительной деятельности детей.
6. Сколько всего имеется различных чисел записанных с помощью трех неповторяющихся цифр, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей на один? Ответ: 7 чисел: 123, 234, 345,456, 567,678, 789.
7.Сколько всего имеется различных чисел, записанных с помощью неповторяющихся цифр, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей на 1?
Ответ: 7 чисел; 3210,4321,5432,6543,7654,8765,9876.
8. Сколько всего существует четырёхзначных чисел, в записи которых имеется две единицы и два нуля? Ответ: 3 числа; 1100,1010,1001.
9. Записать все возможные трёхзначные числа, у которых сумма числа сотен, десятков и единиц равна 3. Сколько таких чисел? Ответ: 300,210,201,120,102,111; шесть чисел.
10. Сколько существует квадратов, площадь которых меньше 100 кв. см. и периметр - целое число сантиметров?
Ответ: 9 квадратов, так как длина стороны может быть только: 1 см.; 2 см; 3 см;
4 см; 5 см; 6 см; 7 см; 8 см; 9 см;
11 .Сколько существует прямоугольников, площадь каждого из которых выражается целым числом квадратных сантиметров; а периметр равен 16 см? Найти площадь каждого из них. В каждом случае площадь прямоугольника наибольшая?
Решение. Длины сторон таких прямоугольников выражаются целыми числами сантиметров. Сумма длины и ширины каждого из таких прямоугольников равна 16:2 = 8 (см) При этом возможны прямоугольники с такими сторонами; 1 см и 7 см; 2 см и 6 см; 3 см и 5 см; 4 см и 4 см.
Ответ: 4 прямоугольника; их площади: 7 кв. см., 12 кв. см., 15 кв. см., 16 кв. см.; наибольшая площадь у того прямоугольника, который является квадратом.
Заслуживают внимания комбинаторные задачи на выделение подмножеств по указанному признаку или установление того общего свойства элементов, по которому они объединены в группы.
12.Каждое из чисел 3,6,9,12 и 15 делится без остатка на 3. Какое свойство имеет каждое число ряда;
3)2,4,6,8,10....?
6)1,2,3,5,8,13....?
в)4,7,10,13....?
Ответ:
а) каждое число делится на 2; чётное;
б) каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих ему (ряд
Фибоначчи.)
в) каждое из чисел при делении на 3 даёт в остатке 1.
13.Среди слов метр, километр, килограмм, сантиметр, миллиметр найти лишнее. Каким общим названием можно объединить оставшиеся слова? Ответ: лишнее слово килограмм; общее название - меры длины.
Определённую ценность в педагогическом отношении представляют задачи, не имеющие решений. Например.
14. Распределить числа 1,2,3,4,5 на две группы (в одной 2 числа, а в другой - 3) так, чтобы разность чисел каждой группы не была равна ни одному из чисел той же группы.
Ответ: все возможные распределения данных чисел на две группы представляют так:
1) 1,2 и 3,4,5, 2) 1,3 и 2,4,5
3) 1,4 и 2,3,5 4) 1,5 и 2,3,4
5) 2,3 и 1,4,5. 6) 2,4 и 1,2,5
7) 2,5 и 1,3,4. 8) 3,4 и 1,2,5
9) 3,5 и 1,2,4 10) 4,5 и 1,2,3
Ни одна из этих групп не удовлетворяет требованию задачи, поэтому задача не имеет решения.
15. - На экскурсии было 7 человек, - сказала Оля.- И можешь себе представить, каждый оказался с тремя участниками экскурсии*
- Не может этого быть, - заметил Юра.
- А как думаете вы?
Решение. Пусть участники экскурсии 1,2,3,4,5,6,7. Если, например,1 знаком с 2,3 и 4; 2 знаком с 1,3,4; 3 знаком с 1,2,4; 4 знаком с 1,2,3, т.е, каждый из первых четырёх знаком ровно с тремя, то 5 может быть знаком лишь с двумя-6 и 7. То же касается 6 и 7. Схематически это можно представить так:
Значит Юра прав, утверждение Оли ложное. Оно было бы истинным, если бы, например, экскурсантов было не 7, а 8.
16. 3апишите все возможные четырёхзначные числа, используя цифры 1 и 2.
(1111, 2222, 1112, 1121, 1211, 2111, 1222, 2122, 2211, 2212, 2221, 1122, 1212, 2121, 2112, 1221; всего 16чисел. Число данных цифр равно 2; 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙2 = 16.)
17. Можно ли, не записывая все числа, сказать, сколько пятизначных чисел можно записывать с помощью цифр 5и 6? (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32)
18. Сколько четырёхзначных чисел можно записать, используя одну цифру
(1 ∙ 1 ∙ 1 ∙1 = 1);
две цифры (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16);
три цифры(3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3=81);
четыре цифры (4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 =256);
пять цифр(5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 625).
Во внеклассной работе с учащимися начальных классов могут быть использованы задачи, которые решаются способом простого моделирования с помощью упрощенных рисунков и простейших таблиц.
Работа над такими задачами содействует развитию логического мышления учащихся, воспитанию внимательного и ответственного отношения к выполнению учебного задания.
1.Сколькими различными способами можно разместить 3 различные фигуры в один ряд? Решение (рис. 5)
Ответ: 6 способов.
2. Сколькими способами можно разместить 4 различные фигуры в один ряд? Решение. 3 различные фигуры можно разместить в один ряд 6 способами. Из каждого из этих способов можно получить 4 способа размещения четырех фигур в один ряд. Например. Из первого случая получаем (рис.6):
Поэтому всего имеем 4 ∙ 6=24 (способа)
3. Какие трехзначные числа можно записать цифрами 2, 5 и 8, не повторяя цифр?
Ответ: 258 285
528 825
582 852
4. Какие трехзначные числа можно записать цифрами 4,7,0, не повторяя цифр?
Ответ: 740 470
704 407
5.Составить все возможные двузначные числа из цифр 1,2.3.
Решение.
| 1дес. | 2дес. | З дес. | |
| 11 | 21 | 31 | 1ед. |
| 12 | 22 | 32 | 2ед. |
| 13 | 23 | 33 | Зед. |
6. В соревновании участвует 5 футбольных команд. Каждая команда играет один раз с каждой из остальных команд. Сколько матчей сыграно? Решение (рис.7)
Ответ: 10 матчей.
7.Сколькими способами можно уплатить 50 коп. монетами достоинством в 10, 15, 20 коп.?
Ответ: 5 способов.
8. Сколькими способами можно разменять монету в 5 коп. на монеты достоинством в 1, 2 и 3 коп.? '
Ответ: 5 способов.
9. Сколькими способами можно представить число 10 в виде суммы двух слагаемых если-
а) исключить случаи, получаемые перестановкой слагаемых;
б) включить случаи, получаемые перестановкой слагаемых?
Решение:
а) 10=9 +1 10=6+ 4
10=8 +2 10= 5+ 5
10=7+ 3
10=7+3
6)10=9+1 10=1+9
10=8+2 10=2+8
10=7+3 10=3+7
10=6+4 10=4+6
10=5+5
Ответ: а) 5 способов
б) 9 способов
10. Сколькими способами из 6 предметов можно выбрать два? Решение. 5+4+3+2+1=15. Ответ: 15 способов.
11. У Юры 5 марок, а у Миши 3. Сколькими способами они могут обменять 1 марку одного мальчика на одну марку другого?
Ответ: 15 способов.
Число возможных способов выбора, о которых говорилось в рассмотренных задачах, было небольшим. Это позволяло решать их практически. Способом простого моделирования.
С увеличением числовых данных число возможных способов выбора, о которых говорится в комбинаторной задаче, очень быстро возрастает. На эту особенность полезно обратить внимание учащихся.
Основываясь на общих рассуждениях, построенных на аналогии, можно решить с учащимися, например, следующие задачи:
12. Сколькими способами можно разместить 5 различных фигур в один ряд? (См. задачу 2.) Решение. 24 ∙ 5=120.
Ответ: 120 способов.
13. Сколькими способами из 100 предметов можно выбрать 2? Решение.
99+98+97+96+95+94+93+...+7+6+5+4+3+2+1=(99+1)+(98+2)+(97+3)+(96+4)+(95+5)+(94+6)+(93+7)+ +...+(53+47)+(52+48)+(51+49)+50=100 ∙ 49+50=4950.
Ответ: 4950 способов.
б)9=8+1 9=1+8
9=7+2 9=2+7
9=6+3 9=3+6
9=5+4 9=4+5
Ответ: а) 4 способа
б) 8 способов
11 .В корзине лежат яблоки двух сортов. Надо составить набор из трех яблок. Сколькими способами можно это сделать? Решение :
<
Ответ: 4 способа.
12. За свои рисунки учение получил две положительные оценки. Какими они могут быть?
Ответ:
З и З 4 и З 5 и З
З и 4 4 и 4 5 и 4
З и 5 4 и 5 5 и 5
13. Из 5 предметов можно выбрать два различных предмета. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Из 5 предметов (белый квадрат, черный квадрат, белый круг, черный круг, белый треугольник) можно выбрать 2 предмета следующими способами:
4+3+2+1=10.
Ответ: 10 способов.
