Цель:
закрепление знаний, умений и навыков в применении методов дифференциального исчисления к решению практических задач с экономическим содержанием, а также навыков математического моделирования реальных процессов, повышение интереса учащихся к экономическим знаниям.
Эпиграф:
Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, как располагать своими средствами для достижения по возможности большей выгоды. (П.Л. Чебышев)
Оформление кабинета:
- плакаты: предел, Адам Смит, производная прибыль, экстремум, депозит, критические точки, дивиденд, дифференцирование, акция, экономия, материалоемкость;
- кроссворды
- стенд "Пиши и говори правильно".
- портреты: П. Ферма, И.Л. Чебышева, К. Вейерштрасса, Г.Лейбница.
Оборудование:
- карточки - буквы для обозначения математических понятий, графики функций и производных функций, карточки с задачами для групповой работы, отчетная ведомость для каждой группы.
- отчетная ведомость 1 группы.
| Ф.И | Домашняя работа | Устная работа | Теория | Задачи | Кроссворд |
Ход урока
I. Организационный момент.
Вступительное слово.
Учитель экономики. О Евгении Онегине, герое своего знаменитого романа А.С. Пушкин писал:
"Бранил Гомера, Феокрита, зато читал Адама Смита и был глубокий эконом, то есть умел судить о том, как государство богатеет и чем живёт и почему не нужно золота ему, когда простой продукт имеет. Отец понять его не мог и земли отдавал в залог". Известный труд крупнейшего английского экономиста и философа Адама Смита (1723-1790) "Исследования о природе и богатстве народов", изданный в 1776 г., был хорошо известен русской общественности как пушкинской, так и более поздней поры. Однако совсем немногие из нынешних выпускников сумеют объяснить, как государство богатеет и почему плохо отдавать земли в залог.
Экономику сегодня нужно представлять, как совокупность методов, создающих условия для выживания и прогресса человечества. Многие экономические понятия, такие как депозит, акция, стоимость, инфляция, прибыль, банковский процент, режим экономики, банкротство, дивиденды составляют тот фон, на котором проходит жизнь нашего общества. Поэтому, сегодня встает вопрос об экономической грамотности общества, его культуре.
Учитель математики. На свете существует очень много наук и все они тесно связаны друг с другом. Нельзя заниматься химией, не зная физики, биологией, не зная химии... Но есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это математика. Ее понятия, представления и символы служат тем языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки. Она предсказывает и предвычисляет далеко вперед и с огромной точностью ход вещей. При помощи математического аппарата возможно моделирование практической деятельности в реальной жизни, ее отдельных сторон, качеств и областей. На сегодняшнем уроке мы и попытаемся установить связь между экономикой и математикой. Поэтому урок мы будем вести вдвоем.
II. Повторение изученного.
Тема сегодняшнего урока "Производная и ее приложения в экономике". Работаем в группах, руководитель группы в течение урока заполняет отчетную ведомость с результатами работы каждого ученика. Вы можете уже внести в ведомость оценки за д/з и кроссворды.
В процессе изучения производной в школьном курсе математики рассматриваются некоторые ее приложения в физике, а также ряд текстовых задач па нахождение наибольших и наименьших значений.
Однако существует масса реальных экономических задач, для решения которых необходимо использовать методы дифференциального исчисления. (Зачитываются несколько задач на карточках, которые будут рассматриваться на уроке.)
Итак, чтобы правильно описать экономические процессы и явления, необходимо владеть соответствующими математическими знаниями и умениями, владеть экономическими понятиями, повторением которых мы и займемся.
Устная работа.
2. Рассмотрим основные характеристики дифференциального исчисления. Какая математическая величина обозначается данной буквой? (работа по карточкам):
А) Записать на доске правила дифференцирования и определение производной.
Б) Производные элементарных функций и производная сложной функции в общем виде:
3. Блицопрос (теоретический):
Учитель математики
- Что называется дифференцированием функции?
- Геометрический смысл производной?
- Какие точки называются критическими точками функции?
- Теорема Дарбу.
- Достаточный признак возрастания (убывания) функции?
- Что называется производной функции в т. Х0?
- Теорема Ферма.
- Признак максимума (минимума) функции.
- Теорема Вейерштрасса.
- Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значений функции на заданном отрезке.
- Как найти наибольшее (наименьшее) значение функции, если ее область определения является открытым и бесконечным интервалом?
Учитель экономики.
- Что изучает экономика?
- А-В=С, где С-прибыль. Что такое А и В?
- Что такое прибыль?
- Что называется материалоемкостью?
- Что называется экономией?
- Что такое стоимость?
- Что определяет материалоемкость продукции?
- Что такое производительность труда?
Ответы:
- Экономика - это деятельность людей, направленная на создание необходимых жизненных благ. Наука, изучающая, как люди используют имеющиеся у них ограниченные ресурсы для удовлетворения своих неограниченных потребностей в жизненных благах.
- А-В=С, если С - это прибыль, то что такое А и В? (А - доход, В - затраты или себестоимость).
- Прибыль - разница между выручкой от продажи товаров или услуг и затратами, необходимыми для производства и организации продажи этих товаров и услуг.
- Материалоемкость - оптимальный расход материалов на изготовление единицы продуктов.
- Экономия - бережливость при расходе чего-то.
- Стоимость - овеществленный в товаре общественный труд товаропроизводителей.
- Материалоемкость продукции определяет эффективность использования сырья, материалов, топлива и других предметов труда.
- Производительность - это эффективность трудовой деятельности, которая выражается количеством продукции, произведенной в единицу времени.
4. Работа с графиками.
А) По рисунку 1 найти:
- Д(f), Е(f);
- критические точки;
- точки экстремума;
- точки в которых
принимает наибольшее и наименьшее
значения; - промежутки монотонности.
Б) Функция 
задана на отрезке [а; в]. На рисунке 2 изображен
график ее производной 
. Исследуйте на монотонности и
экстремумы функцию .
В) В каких точках функция принимает наибольшее и
наименьшее значения. (рисунок3)
Учитель экономики.
2. Деловая игра: "Диа - лог - ика"
Пусть вас не смущает странное название игры. В нем соединены 2 слова "диалог" и "логика", причем окончание первого является началом второю. Вам предлагается 5 пар таких слов. Отвечая на вопросы вы вспомните знакомые экономические понятия, а также - и новые узнаете.
1) Исследование хозяйственной ситуации (анализ)
2) Долгосрочная аренда машин, оборудования, сооружений (лизинг)
I) Место для торговли (рынок)
2) Зарплата инженерно-технических и управленческих работников, зависящая от должности (оклад)
1) Показатель подвижности денежных средств и производственных фондов (оборот)
2) Область хозяйственного механизма, характеризующаяся единством технологии и выпускаемой продукции (отрасль)
1) Денежная единица иностранного государства (валюта)
2) Система ставок платы за услуги (тариф)
1) Разность между денежными поступлениями и расходами в бухгалтерской отчетности (сальдо).
2) Соглашение между физическими или юридическими лицами с указанием прав и обязанностей (договор).
Учитель экономики.
Экономику принято считать гуманитарной дисциплиной. На самом деле эта наука оперирует преимущественно количественно измеряемыми величинами (экономическими показателями) и функциональными или статистическими связями между ними (расчетными формулами и экономическими законами). Современная экономика - наука точная.
Учитель математики.
3. Решение задач, (фронтально 1 ученик у доски).
Знаменитый русский математик П.Л. Чебышев писал: "Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, как располагать своими средствами для достижения по возможности большей выгоды". Такого рода задачи называют экстремальными или мы еще их называем задачами на оптимизацию (от латинского optimum "наилучший").
Сейчас займемся решением практических экстремальных задач с экономическим содержанием, которые допускают решение с помощью производной.
Проанализируем решение двух домашних задач, тем самым напомним алгоритм решения экстремальных задач.
Задача 1. Суточные расходы при плавании судна
вычисляются по формуле: 
,
где
-
расстояние между портами,
- скорость,
-
постоянные параметры, причем 
.
При какой скорости плавание судна будет наиболее выгодным?
Задача 2. Внутреннюю поверхность резервуара емкостью 4 м3 с квадратным основанием, открытого сверху, нужно покрыть оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать минимальное кол-во олова. Толщиной стенок пренебречь.
(Ответ: Расход олова будет минимальным, если резервуар имеет размеры 2х2х 1).
Задача 3.
а) Известно, что прочность балки прямоугольного сечения на горизонтальный изгиб пропорциональна произведению ширины балки на квадрат ее высоты. Вычислить размеры наиболее прочной балки (т.е. отношение ширины балки к высоте ее поперечного сечения), которую нужно изготовить из цилиндрического бревна, если его диаметр равен d.
б) Для получения проектного запаса прочности при неправильной укладке израсходовали 2100 балок. Вычислить экономию средств за счет правильной укладки балок, если стоимость одной балки 2р. 85 к.
III. Решение задач в группах.
Каждой группе предлагается по одной задаче. В течении 5-7 минут обсуждение и решение в группе, затем по одному представителю от группы у доски рассказывают решение своей задачи.
Задачи.
1 группа.
Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене заводскою здания, нужно оградить забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть деревянной. Площадь участка 90 м. Стоимость 1 м каменного забора 10 руб., а деревянного - 8 руб. Найдите такие размеры участка, чтобы стоимость всей ограды была наименьшей? Какова эта стоимость?
2 группа.
Под посевы элитных культур выделили земельный участок прямоугольной формы площадью 3.24 га и вдоль всей границы окопали рвом. Найти размер участка, чтобы стоимость рва была наименьшей. Вычислить стоимость рва, если погонный метр его обходится в 50 руб.
3 группа.
Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Первая из них не зависит от скорости и равна 480 руб. в час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости 10 км/ч эта часть расходов равна 30 руб. в час. Требуется определить, при какой скорости общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей?
4 группа.
Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого 1800 дм , а стороны основания относятся как 2:3. Каковы должны быть размеры ящика, чтобы расход материала был наименьшим?
Дополнительная задача.
1 Предприятие получает от заказчика 150 руб. за погрузку в вагон 60 т груза. Предприятие платит грузчикам 60 руб., если они за час нагружают тонн груза. За каждый час простоя вагона под погрузкой предприятие платит штраф в размере 10 руб. При какой производительности труда грузчиков прибыль предприятия является наибольшей?
(Ответ: 10 т/ч; 30 руб.)
Учитель экономики.
Рассмотренные на уроке задачи проиллюстрировали вам, какое важное значение имеет внедрение достижений передовой науки, новой технологии и научной организации труда в промышленности и сельском хозяйстве, а также в повышении производительности труда, снижении себестоимости продукции, режиме экономии, снижении материалоемкости. повышении качества производимой продукции.
IV. Рефлексия.
Руководители групп сдают ведомости с учетом работы каждого ученика. На следующем уроке объявляются окончательные результаты, т.е. оценки за этот урок.
V. Домашнее задание.
- Найти наименьшее значение функции
на множестве решений
системы неравенств: 
. - Найти множество значений функции:
Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найти наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.