Организация усвоения формулировок теорем и их доказательность

Пугачева Елена Николаевна

Методический комментарий.

Хорошо известен страх многих учащихся перед словом «теорема». Преодолеть его помогает целенаправленная работа в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина. Чтобы обеспечить усвоение теорем, их доказательств и научить самостоятельно решать задачи по геометрии, в соответствии с этой теорией необходимо организовать деятельность, направленную на:

осознание формулировки теоремы, то есть того, что «дано» и что «требуется доказать» (прежде всего надо организовать работу по выделению из словесной формулировки условия теоремы и ее заключения. Результатом этой деятельности должна стать краткая схематическая запись формулировки, удобная для последующего оперирования с рассматриваемой теоремой. Для организации поиска доказательства удобна традиционная запись вида: «Дано:», «Доказать:». Однако, впоследствии, когда теорема доказана и ею надо пользоваться при доказательстве других теорем и решении задач, удобнее схематическая запись условия теоремы и ее заключения, соединенных стрелкой, символизирующей вывод: «Если выполняется условие, то выполняется и заключение»).
организацию доказательства теоремы, в ходе которого собственная работа учащихся должна быть направлена на поиск доказательства, а после завершения доказательства – на его воспроизведение; (на начальном этапе изучения геометрии целесообразно использовать аналитико-синтетический метод доказательства. Учащимся можно порекомендовать вести поиск доказательства теоремы или решения задачи по следующему плану: (это не алгоритм, а направление поиска)
- попытайтесь сделать все известные вам выводы из условия,
- попытайтесь вспомнить все известные вам совокупности свойств, позволяющие сделать вывод об истинности заключения,
- продолжайте выведение все новых следствий и наращивание цепочки выводов, пока эти две цепочки не замкнутся,
- повторите все доказательство (решение) от условия до заключения.
При этом целью работы учителя становится руководство работой учащихся по поиску доказательства. Каждый ученик становится соучастником «открытия» доказательства.)
использование формулировки рассматриваемой теоремы при изучении следующих тем. (преимущества описанного способа работы с доказательствами в том, что мы учим общему подходу к поиску доказательств и решению задач, обеспечиваем лучшее понимание конкретных доказательств и, особенно, необходимость дополнительных построений. Требование разворачивать условие и заключение в ходе решения задач и доказательства теорем создает условия осознания ранее изученного материала как все еще важного и нужного, а потому не подлежащего забыванию).

Конспект урока «Свойства параллельных прямых» (7 класс)

Цели урока:

вести понятие обратное теоремы и сформулировать и доказать свойства параллельных прямых;
развивать логическое мышление, математическую речь, наблюдательность и любознательность;
воспитание коммуникативных качеств у учащихся.

Структура урока:

1. Организационный момент.	1 мин
2. Этап актуализации знаний.	4 мин
3. Этап изучения нового материала.	30 мин
4. Этап первичного закрепления полученных знаний.	3 мин
5. Итог урока, домашнее задание.	2 мин

Ход урока:

1. Организационный момент.

Девиз нашего урока сегодня “Одна голова – хорошо, а две – лучше”. (слайд 1) Работа по парам позволит не только сделать открытия, но и неопровержимо доказать их. А связаны эти открытия будут, конечно, с параллельными прямыми. Поэтому вспомним уже известные факты.

2. Этап актуализации знаний.

а) работа по готовому чертежу (слайд 2)

По данному чертежу составить как можно больше верных утверждений (в это время два человека готовятся у доски по карточкам):

(проговариваются все признаки параллельных прямых и заполняется слайд 3)

Если	то	a \|\| b
Если	то	a \|\| b
Если	то	a \|\| b

б) ответы учащихся у доски:

Карточка 1: Докажите, что если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую. (дополнительные вопросы: Как читается аксиома параллельных прямых? Какое утверждение называется аксиомой?)

Карточка 2: Докажите, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. (дополнительные вопросы: Что такое условие, заключение теоремы? Какой метод доказательства был использован и в чем он заключается?)

3. Этап изучения нового материала

У Агнии Барто есть интересное стихотворение “Мальчик наоборот”: (слайд 4)

Все кладут сначала в рот
Бутерброд,
А потом едят компот.
Он всегда наоборот!
Он сначала ест компот
За компотом – бутерброд.
Все сначала чистят зубы,
А потом влезают в шубы.
Он,
Надев пальто и шарф,
Льет потом воды в ушат,
И надвинувши картуз,
Порошок несет ко рту.
Все собрались в огород –
Он остался у ворот…
Все остались у ворот –
Он собрался в огород…
ОН ВСЕГДА НАОБОРОТ!

Как вы думаете, как бы прочитал тогда теорему Мальчик-наоборот?

(ответы учащихся)

Если в теореме поменять местами условие и заключение, то получится новая теорема, которая называется обратной теоремой.(слайд 5)

Сформулируйте обратные теоремы для следующих и подумайте, верны ли они? (слайд 6)

Если углы вертикальные, то они равны.
Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны.

Таким образом, обратные теоремы не всегда верны, поэтому их надо доказывать.

Сформулируйте теоремы, обратные признакам параллельности прямых (слайд 7).

Если	a \|\| b	то
Если	a \|\| b	то
Если	a \|\| b	то

Полученные теоремы выражают свойства параллельных прямых. К их доказательству мы и приступаем (далее все фиксируется в тетрадях).

Работа над доказательствами идет по следующему плану:

формулировка;
краткая запись условия и заключения;
поиск пути доказательства;
краткая запись доказательства.

Свойство накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей.

формулирует один ученик вслух;
вместе у учителем выделяется условие и заключение теоремы и записывается в тетрадь;
схема доказательства:
Доказательство: Пусть 1 ≠ 2

Отложим от луча АВ ВАМ = 2 (накрест лежащие)

Свойство соответственных углов при параллельных прямых и секущей.

формулировку проговаривают учащиеся первого варианта - второму;
условие и заключение теоремы записывают самостоятельно в парах;
схема доказательства (беседа):
Доказательство: (записывают сначала самостоятельно, а потом учитель корректирует запись, если надо)

(a || b, c – секущая) => 1 = 2 (накрест лежащие)

2 = 3 (вертикальные углы)

Значит, 1 = 3