1. Дифференциальные уравнения
В ходе решения задач естествознания часто возникают соотношения, связывающие производные некоторой функции (первую, вторую и т. д.) саму эту функцию и независимую переменную.
Например, согласно второму закону Ньютона при движении по прямой материальной точки постоянной массы m справедлива формула F= ma, где F – сила, вызывающая движение, а
a – ускорение точки. Пусть F зависит только от времени t, т.е. F= F(t) . Вспоминая, что ускорение есть вторая производная координаты по времени ( a(t) =
), получаем дифференциальное уравнение относительно функции x(t):
,
для решения которого сначала находим 
как первообразную функции 
,
а затем и 
как первообразную функцию v(t) = 
. Общее решение зависит от двух произвольных постоянных. Для того чтобы их найти, обычно задают координату и скорость в какой-то момент времени t.
Определение. Уравнение вида 
, (1) где у = у(х) – искомая функция, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
Любая функция y = 
, обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением
этого уравнения.
Если в обычных уравнениях, решаемых в школе, требуется найти численные значения некоторой переменной, то в дифференциальном уравнении искомой является функция, причём в уравнение входит производная этой функции. Простейшими являются уравнения показательного роста (или убывания)
= ky , (2) где у = у(х) – неизвестная функция, k≠ 0 – заданная постоянная, и уравнение гармонических колебаний
, (3) где у – опять неизвестная функция, 
>0 – постоянная.
В различных областях человеческой деятельности возникают задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям. Характер этих задач и методику их решения можно описать примерно так . Изучается какой-нибудь процесс – физический, биологический и т. д. Нас интересует изменение во времени какой-то характеристики этого процесса, то есть некоторой величины ( температуры, давления, массы и т. п.). Если у нас имеется достаточно много сведений о течении этого процесса, мы можем попытаться построить его математическую модель. Во многих случаях из экспериментальных данных или из физических и прочих законов удаётся получить информацию о скорости изменения величины у = у(t) в зависимости от времени t, то есть от производной 
. Эта информация обычно может быть записана в виде дифференциального уравнения с неизвестной функцией у = у(t). Получающееся уравнение как раз и описывает наш процесс с точки зрения его характеристики у. Отыскав все решения дифференциального уравнения – само по себе это уже чисто математическая задача, мы находим все возможные варианты изменения величины у. Отметим, что при математическом описании всегда приходится делать некоторые упрощающие предположения, пренебрегать теми или иными побочными явлениями, принимать «идеальные условия» - одним словом, абстрагироваться от конкретных деталей. Это приводит к известным ограничениям в применимости построенной модели.
Опыт развития различных наук показывает, что многие далёкие друг от друга по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям. Поэтому естественно разработать методы решения таких уравнений безотносительно к тем задачам, которые привели или могут привести к ним. Этим как раз и занимается математическая теория дифференциальных уравнений.
Если какая-нибудь задача сводится к дифференциальному уравнению, методы решения которого уже известны, то эту задачу можно считать решённой. В этом случае творческая часть решения заканчивается составлением дифференциального уравнения, второй же этап – отыскание решений уравнения – будет представлять собой хотя и важную, но чисто техническую задачу.
Начнём наше знакомство с самых простых дифференциальных уравнений – линейных.
2. Линейные дифференциальные уравнения
Уравнение 
= ky называется линейным, поскольку неизвестная функция у и её производная 
входят в него линейным образом. Известно, что любое решение этого уравнения записывается в виде
, (4) где А – произвольная постоянная.
Оказывается, если на координатной плоскости изобразить графики этих решений
при всевозможных А , то они покроют всю плоскость, причем через каждую точку плоскости пройдет в точности один из графиков. Плоскость оказывается как бы «сотканной» из графиков
. (рис. 1)
Рис. 1
Докажем это, для чего найдём среди функций вида (4) все те, графики которых проходят через данную точку 
координатной плоскости. Для определения постоянной А получаем уравнение 
, которое имеет единственное решение 
.
Следовательно, через нашу точку проходит один и только один из графиков (4) – это 
(5)
Полученный нами факт часто формулируют следующим образом: дифференциальное уравнение 
= ky имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию 
, это решение задается формулой (5).
Более общее линейное дифференциальное уравнение записывается в виде
= ky+а (6) где а (как и k) – постоянная. Уравнение (6) легко сводится к уже исследованному уравнению (2):
если правую часть записать в виде
(напомним, что мы считаем k≠ 0) и обозначить функцию 
через z, то
.
Таким образом, функция z(x) = y(x) + a/kудовлетворяет уравнению 
, поэтому 
,
то есть 
=
, откуда
у(х) = 
+
. (7)
Значение постоянной опять-таки однозначно определяется, если задано начальное условие 
.
Определение. Линейное дифференциальное уравнение y' = f(x, у) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде
y' = f1(x)∙f2(у) (8)
где f1(x)и f2(у) – непрерывные функции.
Предположим, что f2(у)≠0. Тогда уравнение (8) можно записать так:
. (9)
Интегрируя почленно уравнение (9), получим общее решение уравнения (8):
.
При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно использовать алгоритм:
- разделить переменные;
- интегрируя уравнение с разделёнными переменными, найти общее решение данного уравнения;
- если заданы начальные условия, найти частное решение, удовлетворяющее данным условиям.
Пример. Решить уравнение 5х3-у′=0. Решение: это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в следующем виде:
у′=-5х3.
Разделив переменные, получаем:
dy=5x3dx.
Проинтегрируем полученное уравнение:
Общее решение уравнения : 
Ответ: 
.
3. Приложения линейных дифференциальных уравнений в естествознании
Рассмотрим процесс, исследование которого сводится к линейному дифференциальному уравнению, то есть к применению вышеизложенной теории.
М о д е л ь р о с т а п о п у л я ц и й б а к т е р и й .
Пусть N(t) –численность размножающейся популяции бактерий в момент времени t. При идеальных условиях приращение численности ∆N(t) = N(t + ∆t) – N(t) за время от t до t - ∆t для многих видов бактерий можно считать примерно пропорциональным количеству имеющихся в момент времени t бактерий; кроме того, при малых ∆t приращение ∆N(t) должно быть примерно пропорциональным ∆t. Таким образом, при сделанных допущениях можно записать
∆N(t) ≈ kN(t) ∆t,
где k>0 – коэффициент, зависящий от вида бактерий. Итак,
.
Отвлекаясь от того, что численность может измеряться только целыми числами, будем считать, что N(t) изменяется во времени непрерывно. Учитывая, что последнее равенство должно быть тем точнее, чем меньше ∆t, после перехода в нем к пределу при ∆t→0, получим дифференциальное уравнение вида (2):
.
Следовательно, N(t)= 
. Так что, численность популяции возрастает по показательному закону. Если при этом известна начальная численность популяции, то есть начальное условие
N(0) = 
, то, следуя формуле (5), можно записать
N(t)= 
.
Дифференциальные уравнения являются одним из самых мощных средств математического решения практических задач. Особенно широко они используются для решения задач естественнонаучного цикла: физики, химии, биологии, экологии.
Рассмотрим конкретный пример.
Определить во сколько раз увеличится количество бактерий за 9 часов, если в течение 3 часов их количество изменилось от 100 до 200.
Решение. Как уже было сказано выше, скорость размножения бактерий, если для них имеется достаточный запас пищи и созданы другие необходимые внешние условия (например, отсутствие подавления бактерий другими видами), пропорциональна их количеству.
Пусть х – количество бактерий в данный момент, тогда скорость изменения их количества равна производной 
. Так как скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, то существует k, что 
Разделяем в дифференциальном уравнении переменные: 
Интегрируя, получаем:
что после потенцирования даёт 
Для нахождения С используем начальное условие: при t=0, х=100. Имеем: Се=100, С=100, и, значит, х=100 
. Коэффициент 
находим из условия: приt=3, х=200: 
Искомая функция: 
. При t=9, х=800.
Ответ: количество бактерий за 9 часов увеличится в 8 раз.
В заключении, ребятам можно предложить продумать решение следующей задачи.
Определить наименьшую скорость, с которой нужно бросить тело вертикально вверх, чтобы оно не вернулось на Землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.