Урок по алгебре и началам анализа в 10-м классе с применением информационных технологий на тему "Тригонометрические функции. Функции y=sin x*y=cosx"

Бутылина Елена Владимировна

Разделы: Математика

Основные цели

Способствовать формированию и закреплению навыков перевода градусной меры в радианную и наоборот, определение угла, соответствующего точке единичной окружности и нахождения точки единичной окружности соответствующей данному углу, а также определение четверти координатной плоскости, в которой расположена эта точка.
Прояснить смысл определений тригонометрических функций , связь между ними , а также закрепить основные свойства тригонометрических функций: интервалы монотонности и знакопостоянства , периодичность и четность .
Усилить роль наглядности при изучении тригонометрических функций путем использования тригонометрического круга и графиков функций, возможностей интерактивной доски.
Рассмотреть возможности Интернета в поиске информации о тригонометрических функциях и их свойствах.
Воспитывать логическое мышление учащихся.
Развивать логические операции: анализ и синтез.

Оборудование.

компьютер учителя.
презентация
компьютерный класс
интерактивная доска
таблицы.

Ход урока

1. Новый материал

Рассмотрим единичную окружность. Углы поворота существуют положительные и отрицательные.

Напомним, что поворотом плоскости вокруг точки О на угол называют такое геометрическое преобразование, при котором:

а) точка О отображается на себя;

б) каждый луч OX отображается на луч OX, такой, что угол XOX₁=и OX=OX₁.

Пусть точка Р₂ единичной окружности получена при повороте точки Р₀(1;0) на угол в радиан. Нетрудно понять, что ордината точки Р₂ – это синус угла , а абсцисса этой точки – косинус угла .

Т.к. повороты Р₂и Р совпадают, то точка Р₂будет соответствовать не только числу , но и всем числам вида , где nZ.

Пример: Дана точка Р₀(1;0). На единичной окружности постройте образцы точки Р₀ при поворотах плоскости вокруг начала координат на углы величиной

И запишите их координаты.

График функции y=sinx.

Вспомним изученные свойства функции y=sinx.

Функция y=sinx

Определена на всем множестве действительных чисел xR
Имеет множеством значений отрезок [-1;1], поэтому ее график расположен в полосе, ограниченной прямыми y=1 и y=-1.
Нечетна, поэтому ее график симметричен относительно начала координат, можно построить его часть вначале для x > 0, а часть графика для x<0 будет симметрична построенной части относительно начала координат.
Периодична с наименьшим положительным периодом 2П; можно построить ее график вначале для x[0;2П] поведение функции на оставшейся части числовой прямой будет повторяться с периодом 2П.
Свозрастанием x от 0 до возрастает от 0 до 1

с возрастанием x от до П убывает от 1 до 0

с возрастанием x от П до убывает от 0 до -1

с возрастанием x от до 2П возрастает от -1 до 0

6.Непрерывна на множества действительных чисел. (Этот факт принимаем без доказательства, опираясь на наглядное представление о непрерывном изменении ординаты точки, вращающейся вокруг начала координат по единичной окружности)

Теперь мы можем приступать к построению графика функции y=sinx.

График функции y=sinx называют синусоидой.

Проследим выполнение сформулированных выше свойств функции y=sinx по ее графику.

На интерактивной доске учащиеся выполняют задания.

Дополнительные упражнения:

Построить график функции y=lsinxl на [] и указать промежутки, на которых функция убывает (возрастает)
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

а) y = 1+2 sin x

в) y = 1+2 sin x cos x

Перед тем как мы сегодня рассмотрим построение графика функции y = cos x повторим свойства функции y = sin x.

Для построения графика косинуса напомним, cos x = sin (x + ). Следовательно значение косинуса в точке x₀ + . Это означает, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на в отрицательном направлении оси Ох_.Поэтому график функции y = cos х также является синусоидой.

График функции y = cos x.

Опишите свойства функции y = cos x.

Функция y = cos x :

Определена на всём множестве действительных чисел: xR;
Имеет множеством значений отрезок (-1;1), поэтому её график расположен в полосе, ограниченной прямыми y=1 и y=-1;
Четна, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат; можно построить его часть вначале для x<0 будет симметрична построенной части относительно оси ординат;
Периодична с наименьшим положительным периодом 2П; поэтому можно построить ее график для x[0;2П]; поведение функции на остальной части числовой прямой будет повторяться с периодом 2П;
С возрастанием x от 0 до убывает от 1 до 0

с возрастанием x от до П убывает от 0 до -1

с возрастанием x от П до убывает от -1 до 0

с возрастанием x от до 2П возрастает от 0 до 1

6. Непрерывна на множестве действительных чисел (этот факт мы принимаем без доказательства, опираясь на наглядное представление о непрерывном изменении абсциссы точки, вращающейся вокруг начала координат по единичной окружности).

Приступим теперь к построению графика функции y=cosx.