Цель: изучение теоремы Пифагора, использование ее при решении геометрических задач.
Ход урока
Орг. момент
Сообщение темы урока, целей урока. <Cлайд1>
Фронтальная работа с классом с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала.
- Какой треугольник называется прямоугольным?
- Как называются стороны прямоугольного треугольника?
- Какая сторона называется гипотенузой?
- Сколько катетов у прямоугольного треугольника?
Работа по готовому чертежу:
- Назовите гипотенузу и катеты в треугольнике РКМ.
- Назовите катет, прилежащий к углу К.
- Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?
- Найдите значение cosМ, cosК, если МР = 15, РК = 8, МК = 17.
Новая тема
Создание проблемной ситуации. Учитель предлагает решить следующую задачу.
Задача: На охоте с двух отвесных скал два охотника заметили козла и разом в него выстрелили, причем стрелы достигли цели одновременно. Охотники одновременно начали спуск к добыче с одинаковой скоростью. Кому достанется козел, если известно, что высота одной скалы 40 м, второй 20 м, а расстояние между скалами 100 м? [1] <Cлайд2>
Построение математической модели практической задачи можно сопровождать следующими вопросами:
- Как на чертеже изобразить скалы?
- Как изобразить расстояние между ними?
- Как на чертеже изобразить путь каждой стрелы? (DС и ЕС)
- Как изобразить путь каждого охотника? (DА + АС; ЕВ + ВС)
- Что означает тот факт, что стрелы достигли цели одновременно? (DС = ЕС)
Путь 1-го охотника: 40 + х. Путь 2-го охотника: 20 + (100 - х)
Анализ ситуации позволяет заключить, что на данном этапе задачу решить нельзя, так как невозможно использовать равенство отрезков DС и ЕС. Если бы зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была известной, то можно было бы в каждом треугольнике выразить гипотенузу через катеты и приравнять полученные выражения.
Возникает проблема: существует ли зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике и, если она существует, то, как она формулируется.
Для решения этой проблемы учитель организует поиск формулировки, предложив, учащимся задания по рядам.
Задание по рядам: построить прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 см; 12 и 5 см; 6 и 8 см и измерить гипотенузу.
Результаты заносятся в таблицу.
| а | 3 | 6 | 12 |
| в | 4 | 8 | 5 |
| с | 5 | 10 | 13 |
Далее выдвигаются и обсуждаются различные гипотезы зависимости катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Если учащиеся не увидят существующей зависимости, то нужно заполнить вторую таблицу, находя квадраты соответствующих значений.
| а2 | 9 | 36 | 144 |
| в2 | 16 | 64 | 25 |
| с2 | 25 | 100 | 169 |
Вывод: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. <Cлайд3>
Учитель: Сейчас вы сами выявили замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, справедливость которого была доказана древнегреческим философом и математиком Пифагором (VI в. до н.э.) Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Например, в древнем Вавилоне эта теорема была известна за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы. Про жизнь Пифагора почти ничего неизвестно, с его именем связано большое количество легенд. <Cлайд4> Приложение 1
Доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы идет под руководством учителя. <Cлайд5> При доказательстве проводится аналогия со сказкой: жил-был одноглавый дракон (треугольник АВС), отрубили дракону голову ("разрубили" ?АВС высотой СD), а у него две новых выросли (появились ?АDС и ?ВDС). [2] Запомнив этот рисунок, ученик запомнит и дополнительное построение, а далее восстановит доказательство логическим путем. "Одна голова хорошо, а две лучше".
4. Первичное закрепление
Задание:
- Выбрать выражения, выражающие зависимость катетов и гипотенузы в данном треугольнике.
МТ2 = МК2 + КТ2 КТ2 = МТ2 + КМ2 МК2 = МТ2 + КТ2
МТ2 = МК2 - КТ2 КТ2 = МТ2 - КМ2 КМ2 = КТ2 - ТМ2
КТ2 = МК2 - МТ2 МК2 = МТ2 - КТ2
2) Найдите:
а) гипотенузу, если катеты равны 9 и 12 см;
б) катет, если гипотенуза 12 см, а катет 9 см.
Решение исходной задачи
Возвращаемся к исходной задачи про козла и решаем.
5. Работа с учебником
У доски ученик выполняет задание из учебника.
Задание: Найдите сторону ромба, если его диагонали равны: 16 дм и 30 дм.
6. Обучающая самостоятельная работа
Учитель предлагает решить данную самостоятельную работу с целью выяснения степени усвоения нового материала учащимися.
I уровень
В прямоугольном треугольнике
а и в - катеты, с - гипотенуза.
Найдите: а) с, если а = 4, в = 7; б) в, если с = 17, а = 15.
Решение:
По теореме Пифагора с2 = а2 + в2.
а) с2 = 42 + ____ , с2 = 16 + ___ =
___ , откуда с = 
.
б) в2 = с2 - _____ , в2 = 289
- ____ = ____ , откуда в = =
___.
Ответ: а) ____ ; б) _____.
II уровень
В равнобедренном треугольнике АВС основание АС = 20см, высота ВК = 4см.
Найдите боковую сторону.
Решение:
Так как АВС - равнобедренный с
основанием АС, то АВ = ВС и высота ВК является
________________ , значит, АК = 
____ = ____ см. Из прямоугольного треугольника АВК
по теореме Пифагора находим: АВ2 = ___ + ___ =
___ + ___ = ___ см, откуда АВ = 
см.
Ответ: ___ см.
7. Фронтальная работа с классом
- Какая теорема называется обратной теоремой?
- Сформулируйте теорему обратную теореме Пифагора. <Cлайд6>
Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Данная теорема доказывается учителем устно.
Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. называется египетским.
Использование египетского треугольника древними строителями. <Cлайд7>
1. В древнейшие времена египтяне приступая к постройке пирамиды, дворца или обыкновенного дома, сначала отмечали направление сторон горизонта (это очень важно, так как освещенность в строении зависит от положения его окон и дверей по отношению к Солнцу). Действовали они следующим образом. Для того чтобы найти направление север - юг, втыкали вертикально палку и следили за ее тенью. Когда эта тень становилась кратчайшей, тогда ее конец указывал точное направление на север. [3]
2. В Древнем Египте после разлива Нила требовалось восстановить границы земельных участков, для чего на местности необходимо было уметь строить прямые углы. Египтяне поступали следующим образом: брали веревку, делили ее на 12 равных частей узлами, а концы веревки связывали. Они устанавливали два кола на расстоянии 4 частей, отмеченных на веревке, затем при помощи третьего кола натягивали связанную веревку так, чтобы образовался треугольник, у которого одна сторона имела три части, другая - четыре, а третья пять частей. [1] (Практический опыт с веревкой)
8. Разгадывание кроссворда
По горизонтали:
- Одна из сторон прямоугольного треугольника;
- Действие, используемое в теореме Пифагора;
- Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу;
- Древнегреческий математик, чьим именем названа теорема, изученная на уроке;
- Фигура, о которой идет речь в теореме Пифагора;
- Вид треугольника, для которого верно утверждение "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов";
- Степень, в которую возводят и гипотенузу, и катеты в теореме Пифагора.
Если правильно разгадан кроссворд, то по вертикали получится слово "ТЕОРЕМА"
Проверка кроссворда <Cлайд8>
9. Итог урока. Домашнее задание. <Cлайд9>
Материал рассчитан на два академических часа.
Историческая справка
Пифагор Самосский ( ок. 580 г. до н.э., о.Самос - ок. 500 г. до н.э., г.Кротон)- древнегреческий математик и философ
Пифагор родился на острове Самос, расположенном у берегов Малой Азии. Юный Пифагор мечтал о путешествиях в дальние страны, завороженный, он слушал рассказы капитанов кораблей и путешественников, которые останавливались на острове Самос. Юный Пифагор покидает родину, и начинаются его путешествия.
Его путь лежит в Египет, где он прожил 22 года. Затем он попадает в плен к персидскому завоевателю, и тот его увозит в Вавилон. Именно здесь Пифагор состоялся как мыслитель и философ. Пифагора интересуют вавилонские традиции и обычаи, он изучает язык халдейских мудрецов, халдейские математики знакомят Пифагора с теорией чисел, он изучает математические закономерности расположения светил. Утверждают, что Пифагор побывал и в Индии.
Пифагору 40 лет, и он возвращается на родину, где в это время на острове правит жестокий тиран. Пифагор поселяется на юге Италии, в греческой колонии Кротоне. Здесь создается пифагорейский союз, школа Пифагора. Это школа для избранных, для аристократов, с суровой дисциплиной, своего рода философское, политическое и религиозное братство. О своем учителе пифагорейцы говорят только в превосходной степени, именно тогда возникают о нем многочисленные легенды, представления о нем как о полубоге: дескать у Пифагора золотое бедро, он может быть одновременно в разных местах, у него нет проблем с исцелением больных, дикие звери подчиняются ему, они разрешают Пифагору их гладить.
В основе философии пифагорейцев было мистическое учение о числе: числа руководят миром, числа лежат в основе вещей, числа - основа мира. У пифагорейцев появились экзотические числа: квадратные и треугольные, дружественные и совершенные, пятиугольные, кубические и пирамидальные. Числам поклонялись, т.к. они служили гармонии, которую превыше всего ценили пифагорейцы. И сами числа они наделяли разнообразными свойствами. Например, они считали, что 5 символизирует цвет, 6 - холод, 7 - разум, здоровье и свет, 8 - любовь и дружбу. Пифагорейцы разделили числа на четные и нечетные и заметили, что если складывать последовательно нечетные числа: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ..., то после каждого сложения будут получаться полные числовые квадраты: 1, 4, 9, 16, 25 ... Символом пифагорейской школы была выбрана пятиконечная звезда, пентаграмма, хотя сам Пифагор говорил, что из всех фигур прекраснейшая - круг, а из тел - шар.
"Все есть число", - говорили пифагорейцы, и в геометрии при изучении свойств фигур их особенно интересовали числовые соотношения. Они почитали прямоугольный треугольник. И соотношение "квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов" называли теоремой Пифагора. Раньше эта терема гласила "Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе". Получающуюся при этом картинку школьники с давних пор называли "пифагоровыми штанами". Рассказывают, что Пифагор отблагодарил богов за доказательство этой теоремы и принес в жертву 100 быков.
Пифагору приписывается систематическое введение доказательств в геометрию, построение планиметрии прямолинейных фигур, создание учения о подобии. С его именем также связывают разработку учения о четных и нечетных числах, об арифметических и геометрических пропорциях.
Пифагорейский союз состоял из элиты, из представителей аристократии, в чьих руках было управление городом Кротон. Это никак не соответствовало демократическим устремлениям большинства греческих колоний. Так возникла демократическая оппозиция в городе. Это был гнев народа. Началась междоусобица, Пифагор бежит из Кротона вместе с учениками в Метапонт, а там начинается народный бунт. Ночью, в одном из уличных столкновений, престарелый Пифагор трагически погибает, ему было за 80. Не спасло его знание приемов кулачного боя и то, что в молодости он был первый олимпийский чемпион по кулачному бою.
Его школа распадается, прекращает свою деятельность.
Геродот называл Пифагора "выдающимся софистом", т.е. великим мудрецом. Для своих современников Пифагор был божественным пророком. Для нас Пифагор - великий математик.
Используемая литература
- Виноградова, А. Как подготовить и провести проблемную беседу [Текст] / А. Виноградова, М. Домашенко // Математика (Прил. к газете "Первое сентября"). - 1997. - №24. - С.2-3.
- Рисунок - помощник памяти [Текст] // Математика в школе. - 1989. - №3. - С.160.
- Шабанова, О.В. Геометрия в древних практических задачах [Текст] / О.В. Шабанова // Математика в школе. - 1988. - №6. - С.79.