Применение подобия треугольников

Задачи урока:

• Образовательные: показать учащимся практическое применение подобия треугольников для проведения измерительных работ на местности: определение высоты предмета; познакомить учащихся с различными способами определения высоты предмета, основанных на теоремах подобных треугольников; учить учащихся применять полученные знания при решении задач данного вида;
• Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством анализа и сравнения различных способов определения высоты предмета; с помощью решения задач исследовательского характера развивать интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, гибкость, антикомформизм мышления, способность к оценочным действиям, обобщению, быстрому переключению; способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; в целях развития эмоций учащихся обеспечить в ходе урока ситуации эмоциональных переживаний; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
• Воспитательные: прививать учащимся интерес к предмету посредством включения их в решение практических задач: измерение высоты предмета Фалесом, измерение высоты скалы «Дальнего вида» героями книги Жюля Верна «Таинственный остров»; формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи.

Авторский медиапродукт: наглядная презентация в MS PowerPoint (Приложение 1).

Учебно-методическое обеспечение:

1. учебник геометрии 7-9 классы, авторы Л.С. Атаносян, В.Ф. Бутузов – М.: Просвещение 2007 г.;
2. книга Жюля Верна «Таинственный остров».

Необходимое оборудование и материалы для занятия: персональный компьютер (1 шт.), операционная среда Windows XP, Microsoft Power Point, мультимедиапроектор, экран.

Форма проведения: индивидуальная работа учащихся в тетрадях и за компьютером.

Подготовительный этап

Предварительная работа по подготовке к уроку включает повторение признаков подобия треугольников. Ребята заранее разбиты на 3 группы и каждой группе дано задание (разобрать способы определения высоты предмета).

К моменту проведения урока, учащиеся должны самостоятельно исследовать:

1. измерение высоты предмета Фалесом, измерение высоты скалы «Дальнего вида» героями книги Жюля Верна «Таинственный остров»Вывод формул.
2. назвать преимущества и недостатки способов определения высоты предмета; дать им название.
3. приготовить презентацию, реферат, буклет, информационный бюллетень по способам определения высоты предмета.

План урока:

Этапы занятия	Временная реализация
1. Организационный момент: приветствие.	2
2. Актуализация знаний	10
3. Решение проблем.	5
4. Работа в группах. Показ презентаций. Защита проекта.	50
5.Физминутка.	3
6. Работа в группах. Показ презентаций. Защита проекта.	50
7. Задание на дом. Подведение итогов урока.	5

1. Организационный момент: приветствие

Давайте вместе внимательно прочитаем тему урока: « Практические приложения подобия треугольников. Определение высоты предмета». Вдумайтесь в формулировку темы, сформулируйте и запишите в тетради проблемы, которые на ваш взгляд мы должны решить по этой теме.

Учащиеся называют проблемы, а учитель кратко записывает их на доске и обещает, что на все вопросы постараемся дать ответы на этом или последующих уроках. Учитель сообщает учащимся, какие ещё проблемы ему удалось выделить.

Сегодня на уроке мы попытаемся выделить способы определения высоты предмета, вывести необходимые формулы и применить их при решении ряда задач.
Если знать теорию подобных треугольников, то такие чудеса выполняются достаточно просто. Повторим её с помощью решения задачи по готовому чертежу.

2. Актуализация знаний

1. Составьте задачу по рисунку 1.
2. Составьте план решения этой задачи.
3. Ответьте на вопросы: Какие ещё вопросы можно поставить к условию этой задачи? Какие теоремы нужно применить, чтобы ответить на тот или иной вопрос?
4. Изменим рисунок 1. Изменим положение треугольника АDЕ так, как показано на рисунке 2. Найдите DE, не используя найденные данные в 1 задаче. Укажите несколько способов. Что изменилось?

Чертежи к задаче строятся заранее на доске. Ответы на поставленные вопросы выясняются в ходе беседы.

3. Решение проблем

1. В чём сходство и различие в определении высоты предмета? Какой из них самый оптимальный?
2. Кто впервые использовал свойства подобных треугольников для определения высоты предмета?
3. Укать преимущества и недостатки каждого из способов определения высоты предмета

4. Работа в группах. Показ презентаций. Защита проекта

Мы повторили свойства подобных треугольников, которые должны помочь вам разрешить проблемы, о которых мы говорили в начале урока.
Первый способ определения высоты предмета вы узнаете, прослушав историю, которая произошла в VI веке до нашей эры. Первая группа провела некоторое исследование.

Презентация 1 группы (Приложение 2)

«Усталый пришёл чужеземец в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошёл к великолепному дворцу фараона. Он что-то сказал слугам. По мгновению распахнули перед ним двери и провели его в приёмную залу. И вот он стоит в запылённом походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители великих тайн природы.
- Кто ты? – спросил верховный жрец.
- Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.
Жрец надменно продолжал:
- Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту предмета, не взбираясь на неё? – Жрецы согнулись от хохота. – Будет хорошо, - насмешливо продолжал жрец, - если ты ошибёшься не более чем на 100 локтей.
- Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.
Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужеземец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они – жрецы великого Египта.
- Хорошо, - сказал фараон. – Около дворца стоит пирамида, мы знаем её высоту. Завтра проверим твоё искусство».
На следующий день Фалес нашёл длинную палку, воткнул её в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определённого момента. Провёл некоторые измерения, сказал способ определения высоты пирамиды и назвал её высоту.

Решение задачи:

1. Выполним дополнительные построения. Соединим отрезками точки А и В, D и C, C и E. Получим треугольники АВС и CDE.
2. Так как Солнце от Земли очень далеко, то идущие от него к пирамиде лучи можно считать практически параллельными. Поэтому, АВ параллельно CD. Следовательно, ∠ ВАС = ∠ DCE, как соответственные при параллельных прямых АВ и CD, и секущей АЕ.
3. Если выбрать тот момент, когда тень от палки будет равна длине самой палки, т.е. АС = ВС, то треугольник АВС будет равнобедренным и прямоугольным. Поэтому, ∠ ВАС = ∠ АВС = 45°.
4. ∠ DCE = ∠ ВАС, поэтому ∠ DCE = 45°. А так как ∆ DEC – прямоугольный, то и ∠CED = 45°. По признаку равнобедренного треугольника, ∠ CDE также равнобедренный. Следовательно, СЕ = ED, т.е. H = b.
5. Слова Фалеса: Когда тень от палки будет той же длины, что и сама палка, то длина тени от центра основания пирамиды до её вершины будет иметь ту же длину, что и сама пирамида.

Преимущества:

• не требуются вычисления.

Недостатки:

• можно определить высоту предмета только в короткий промежуток времени, в солнечную погоду и когда нет рядом предметов, тени которых сливаются с тенью данного предмета.

Название: Способ Фалеса.

Подведём итоги. Мы выяснили, что высоту предмета можно определить по длине его тени. Но это сделать можно лишь в солнечную погоду и тех предметов, которые находятся на достаточном расстоянии от других предметов. Следовательно, нам нужно найти ещё способ для определения высоты предмета. Может быть, кто-то из вас уже сейчас готов предложить такой способ?

5. Физминутка

Презентация 2 группы (Приложение 3)

Один из таких способов измерения картинно описан у Жюля Верна в известном романе «Таинственный остров».

Отрывок из романа:

«- Сегодня нам надо измерить высоту площадки Дальнего вида, - сказал инженер.
- Вам понадобится для этого инструмент? – спросил Герберт.
- Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу.
Юноша, стараясь научиться, возможно, большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.
Взяв прямой шест, длиной 12 футов, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс за ним отвес, вручённый ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки.
Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком.
Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось 15 футам, а от палки до скалы 485 футам. По окончании измерений составили следующую запись…»

Отрывок из романа:

«- Тебе знакомы зачатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с земли.
- Да. - Помнишь свойства подобных треугольников?
- Их сходственные стороны пропорциональны.
- Правильно. Так вот: сейчас я построю 2 подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же – мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.
- Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.
- Да, и следовательно, если мы измерим два расстояния, то зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты. По окончании измерений инженер составил следующую запись:

10 : Н = 15 : 500
15Н = 5000
Н = 5000 : 15
Н ≈ 333,33

Значит, высота гранитной стены равнялась приблизительно 333 футам».

Преимущества:

• можно производить измерения в любую погоду;
• простота формулы.

Недостатки:

• нельзя измерить, высоту предмета не испачкавшись, так как приходится ложиться на землю.

Название: Способ Жюля Верна.

Таким образом, данный способ определения высоты предмета неудобен тем, что вызывает необходимость ложиться на землю. Можно, разумеется, избежать такие неудобства. Но и этот способ не совершенен. Допустим, что герои романа не нашли не одного подходящего шеста. Но, случайно, у Герберта в кармане оказалось зеркало. Как они теперь смогут измерить высоту скалы?

Презентация 3 группы

Решение задачи:

1. Зеркало нужно положить на некотором расстоянии от скалы, на ровной земле и отойти от него назад в такую точку, стоя в которой наблюдатель увидит в зеркале вершину скалы.
2. Так как угол падения равен углу отражения, то ∠ DAE = ∠ CAB.

3. Так как ∠ DAE = ∠ CAB, то ∆ DAE подобен ∆CAB ⇒		т.е.

Преимущества:

• можно производить измерения в любую погоду;
• одежда будет чистой;
• простота формулы;

Недостатки:

• нужно специальное приспособление: зеркало.

Название: При помощи зеркала.

6. Подведение итогов урока

Ещё раз сравниваются, разобранные способы определения высоты предмета. Выделяется самый, по мнению учащихся, оптимальный способ, если таковой имеется.

Учитель просит учащихся оценить, как они справились с работой на уроке, что было удачным, а что нет; на все ли поставленные в начале урока вопросы были найдены ответы, а какие ещё предстоит решить.

7. Задание на дом. Подведение итогов урока

Придумать или подобрать из литературы, не разобранные способы определения высоты предмета. В тетради выполнить чертёж и вывести соответствующую формулу. В конце урока учащимся предлагается список литературы, в которой хорошо изложена эта тема.

Используемая литература

1. Атаносян Л. С. и др. Геометрия 7-9. – М.: Просвещение, 1991 г.
2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1989 г.
3. Перельман И. Я. Занимательная геометрия. - Д.: ВАП, 1994г.