Цели урока:
- Расширить представление о возможностях использования треугольника как средства для решения геометрических задач с помощью определения равнобедренного треугольника и доказательства его свойств.
- Научить пользоваться доказанными свойствами при решении задач.
На уроке используются:
- Мультимедийная презентация.
- Опорные листы.
Тип урока: изучение нового материала.
Продолжительность учебного занятия: 45 минут.
ХОД УРОКА
Учитель: Почему мы говорим, что
треугольник – это средство для решения задач?
Ученики: Потому что с помощью
треугольников можно решать задачи, например,
доказав равенство треугольников, можно найти
равные отрезки или углы.
Учитель: На сегодняшнем уроке мы будем
рассматривать равнобедренные треугольники,
их свойства. Знание этих свойств
значительно расширит возможности применения
треугольника как средства для решения задач.
Какой треугольник называется равнобедренным?
Ученики: Треугольник называется
равнобедренным, если у него две стороны равны.
Учитель: А как пользоваться
определением равнобедренного треугольника?
Ученики: Если треугольник
равнобедренный, значит, у него есть две равные
стороны.
Учитель: Равные стороны называются
боковыми сторонами, а третья сторона –
основанием равнобедренного треугольника. Если
говорят, что треугольник АВС равнобедренный с
основанием АС, то это значит, что АВ и ВС –
боковые стороны, то есть АВ = ВС.
I. Устная работа над заданиями 1 и 2.
Задание 1
1. Какие из треугольников являются
равнобедренными, почему (обратить внимание на
последний рисунок – треугольник не просто
равнобедренный, он равносторонний).
2. У равнобедренных треугольников назовите:
– боковые стороны;
– основание;
– угол, противолежащий основанию ( угол при
вершине равнобедренного треугольника);
– углы, прилежащие к основанию (углы при
основании равнобедренного треугольника).
Задание 2
- В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 6 см, а основание в 3 раза меньше боковой стороны. Чему равен периметр этого треугольника?
- Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Боковая сторона его в 2 раза больше основания. Чему равны стороны этого треугольника?
II. Учитель: Равнобедренный треугольник АВС с основанием АС.
– Итак, какой треугольник называется
равнобедренным?
– Какие выводы можно сделать на основании этого
определения?
- Если треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, то … (В этом треугольнике АВ = ВС)
- Если в треугольнике АВС АВ = ВС, то этот треугольник … (Равнобедренный, АС – основание)
Учитель: Треугольник – средство для решения задач, и в этом мы ещё раз убедимся на сегодняшнем уроке, доказав свойства равнобедренного треугольника. (Обсуждаем с детьми, как они понимают термины «свойство» и «свойство треугольника»).
III. Докажем свойства равнобедренного треугольника
Учитель: В равнобедренном
треугольнике АВС стороны АВ и ВС являются
боковыми сторонами, АС – основанием. А чем же
является отрезок ВМ, проведенный к основанию?
Ученики: ВМ – биссектриса угла В, т.к.
делит его пополам
Учитель: Причем делит не только угол при
вершине равнобедренного треугольника пополам,
но и сам треугольник АВС на два равных
треугольника АВМ и СВМ. Докажем, что 
АВМ = СВМ.
Ученики: В треугольниках АВМ и СВМ: АВ –
ВС по условию; 
АВМ = СВМ, т.к. ВМ – биссектриса
угла АВС; ВМ – общая сторона. Значит,
треугольники АМВ и СВМ равны по двум сторонам и
углу между ними.
Учитель: Вы сказали, что АВ – ВС по
условию, это верно. Как ещё можно обосновать
равенство этих треугольников?
Ученики: Они равны как боковые стороны
равнобедренного треугольника АВС.
Учитель: Что нам дает доказанное
равенство треугольников АВМ и СВМ? Из равенства
треугольников следует равенство
соответствующих элементов….
Ученики: ВАМ = ВСМ.
Учитель: А в равнобедренном
треугольнике АВС это какие углы?
Ученики: Углы при основании.
Учитель: Значит, какой вывод можно
сделать?
Ученики: В равнобедренном треугольнике
углы при основании равны.
Учитель: Мы доказали одно из свойств
равнобедренного треугольника: «В
равнобедренном треугольнике углы при основании
равны».
| Теорема | Обратная теорема | |
| Дано: | АВС – равнобедренный АС – основание |
АВС, А = С |
| Доказать: | А = С |
АВС – равнобедренный |
| Доказательство |
IV. Вернемся к рисункам задания 1
- Назовите равны углы равнобедренных треугольников.
- По данным на рисунках найдите градусную меру неизвестных углов.
V. Учитель: Итак, мы доказали и
использовали при решении задач одно из свойств
равнобедренного треугольника. Сформулируйте
его.
Равенство углов при основании следовало из
равенства треугольников АВМ и СВМ, на которые
равнобедренный треугольник АВС разбивает
биссектриса ВМ. А какие ещё пары равных элементов
дает равенство этих треугольников?
Ученики: АМ = СМ.
Учитель: То есть отрезок ВМ соединяет
вершину В треугольника АВС с серединой
противоположной стороны АС, а значит, чем
является отрезок ВМ?
Ученики: Медианой!
Учитель: В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию, является
ещё и медианой!
И последняя пара равных элементов, которую еще не
назвали.
Ученики: АМВ = СМВ
Учитель: Какие углы они образуют?
Ученики: Углы смежные, их сумма равна 180о,
а так как они равны, то каждый из них по 90о.
Учитель: В таком случае отрезок ВМ
является еще и чем?
Ученики: Высотой!
Учитель: Биссектриса, медиана и высота
– это один и тот же отрезок ВМ! Таким образом, мы
доказали еще одно свойство равнобедренного
треугольника.
Учитель: В треугольнике АВС с
основанием АС биссектриса АN проведена к боковой
стороне ВС. Является ли в этом случае биссектриса
АN и медианой, и высотой?
Ученики: В этом случае биссектриса АN не
является ни медианой, ни высотой. Так как
треугольника АВN и АСN не будут равны. Они имеют
две пары равных элементов: АN – общая сторона; ВАN = САN,
т.к. АN – биссектриса угла А.
Учитель: А теперь попробуйте
сформулировать доказанное нами свойство
равнобедренного треугольника.
Ученики: В равнобедренном
треугольнике биссектриса, проведенная к
основанию, является медианой и высотой.
Учитель: Мы установили, что биссектриса,
медиана и высота равнобедренного треугольника,
проведенные к основанию, совпадают. Поэтому
справедливы также утверждения:
- Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
- Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
| Теорема | Обратная теорема | |
| Дано: | АВС – равнобедренный АС – основание ВМ – биссектриса |
АВС, ВМ – биссектриса,
высота и медиана |
| Доказать: | ВМ – высота ВМ – медиана |
АВС – равнобедренный |
| Доказательство: |
VI. Домашнее задание: п.18 (стр. 34 – 35) №№108, 111, 112 («Геометрия, 7-9», Л.С. Атанасян)
VII. Проверочная работа по готовым чертежам
VIII. Рефлексия
Можно провести классификацию треугольников. Все треугольники делятся на разносторонние и равнобедренные; в классе равнобедренных треугольников существует подкласс равносторонних.
Треугольник называется равнобедренным,
если у него две стороны равны.
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
В равнобедренном треугольнике биссектриса,
проведенная к основанию, является медианой и
высотой.