Консультация по теме "Неравенство"

Разделы: Математика

1. Неравенства – запись вида f(x)*g(x), где *.

Неравенства со знаком > или < называется строгим; ≥, ≤ - нестрогим.

Решение неравенства - число, обращающее неравенство в верное числовое неравенство. Множество решений часто бывает набором промежутков. Ответ можно записать как в виде промежутков, так и изобразить его.

2. Числовые промежутки:

Пример:

Запишем в виде числового промежутка

  • неравенствох < -2: (- ∞; -2);
  • неравенство 3 < х < 4: (3; 4);
  • неравенство х ≥ 8: [8; + ∞ ).

3. Свойства неравенств:

Вы можете:

1) переносить из одной части неравенства в другую число или переменную: перенесем число 3 в правую часть неравенства х – 3 > 2, получим х > 5; перенесем 2х в левую часть неравенства 3х < 2х + 7, получим х < 7.

2) умножить (делить) обе части неравенства на положительное число, не меняя знак, либо на отрицательное число, изменив знак неравенства: разделим на 2 обе части неравенства 2х ≥ 6, получим х ≥ 3; умножим на  обе части неравенства –3х > 12, получим х < - 4.

Некоторые важные неравенства (верны при любых значениях переменных):

Замечание:

Неравенство  можно распространить на большее число слагаемых; так, как

(а – положительное число)

Равенство имеет место только при а=1.

(a и b –положительные числа), т.е. среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднего арифметического. Равенство имеет место в случае a=b.

4. Решение неравенств методом интервалов

Для решения целых и рациональных неравенств, то есть вида P(x) > 0 и (P и Q –многочлены) применяется метод интервалов.

Чтобы решить неравенство (например, х2 + х > 6) методом интервалов, надо:

  1. перенести все слагаемые в левую часть так, чтобы правая часть оказалась равной нулю (получим: х2 + х – 6 > 0);
  2. найти область определения функции, стоящей в левой части (для функции: х2 + х – 6, х – любое число);
  3. приравнять левую часть к нулю и решить полученное уравнение (х2 + х – 6 = 0, D = 25, x1 = 2, x2 = -3);
  4. отметить на числовой прямой область определения и полученные решения уравнения, в результате прямая разобьется на некоторое число промежутков (на 3):

  1. в каждом из получившихся промежутков выбрать по точке (возьмем в первом промежутке –4, во втором 0, в третьем 3);
  2. вычислить значение функции, стоящей в левой части неравенства пункта 1) (х2 + х – 6 > 0), в каждой из выбранных точек (в точке х = -4, х2 + х – 6 = 6, в точке х = 0 х2 + х – 6 = 6);
  3. над каждым из промежутков на числовой прямой поставить знак «+», если вычисленное значение в соответствующей точке положительно, и знак « - » – если отрицательно (в первом и третьем промежутке получились положительные значения, во втором – отрицательное);

  1. в ответе записать промежутки, знак которых совпадает со знаком неравенства (( - ; -3) или (2; + ∞ )).

Все сказанное относится и к квадратным неравенствам.

Пример 1. (приложение 1)

Образец оформления.

1) Отметив на координатной прямой точки х = -3, х = 4, х = 5 и исследовав изменение знаков функции, стоящей в левой части неравенства, получаем ответ: [ -3; 4) и [ 5; + ∞ ).

Внимание!

Круглая скобка в ответе означает, что число 4 не входит в решение, так как не входит в область определения; квадратные скобки означают, что числа –3 и 5 входят в решение, так как знак неравенства ≥, т.е. неравенство нестрогое.

2.

Графическое решение неравенств состоит в том, что изображают графики правой и левой части неравенств и выбирают промежутки, на которых выполнено неравенство, то есть один график выше другого.

Пример: на рисунке.

5. Классификация неравенств.

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на алгебраические и трансцендентные; алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй и т.д. степени и иррациональные.

5.1. Неравенства первой и второй степени с одним неизвестным.

Неравенство первой степени с одним неизвестным можно привести к виду ax > b.

Решением будет:

Замечание. Неравенство вида ax + b > cx + dесть неравенство первой степени, если a и c не равны. В противном случае это неравенство приводится к числовому (верному или неверному).

Примеры (приложение 2)

5.2. Системы неравенств первой степени.

Чтобы решить систему неравенств первой степени, находим решение каждого неравенства в отдельности и сопоставляем эти решения. Это сопоставление либо дает решение системы, либо обнаруживает, что система не имеет решений.

Примеры (приложение 3)

5.3. Неравенства второй степени с одним неизвестным (общий случай).

Неравенства вида  и приводимые к ним называются неравенствами второй степени.

Алгоритм решения неравенства  графическим способом:

  1. Найти дискриминант квадратного трехчлена и выяснить, имеет ли трехчлен корни.
  2. Если трехчлен имеет корни, то отмечают на оси OX и через отмеченные точки схематически проводят параболу, ветви которой направлены вверх при a>0  или вниз при a<0. Если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при a>0 или в нижней при a<0.
  3. Отмечают те значения x, для которых точки параболы расположены выше оси OX (если решают неравенство ) или ниже оси OX (если решают неравенство .

Пример.

 

Наиболее часто встречающиеся ошибки.

Проверь, не делаешь ли ты так!

–2x>6, x<6:2, x<3 – неправильно.

Правильно будет х<6:(–2), x<3.

Упражнения (приложение 4)

Ответы (приложение 5)

Контрольная работа (приложение 6)