Конспект урока алгебры и начала анализа в 11-м классе "Производная показательной функции"

Кочеткова Нина Васильевна

Цель: Ввести понятие «экспоненты», «натурального логарифма», сформировать понятие о производной показательной функции y=е^х.

Задачи:

Образовательная: сформировать навык вычисления показательной функции, пользуясь правилами и формулами дифференцирования
Развивающая: развить и совершенствовать применение правил дифференцирования для показательной функции.
Воспитательная: воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения и речи.

Оборудование: Мультимедийное оборудование и раздаточные материалы.

Приложение

Ход урока

1. Организационный момент, объявление темы и цели урока

«Сегодня на уроке мы изучаем новую тему «Производная показательной функции». Наша цель познакомиться с понятием «экспоненты», «натурального логарифма», с теоремой о дифференцировании показательной функции.

2. Устная работа:

- Вспомним правила дифференцирования функции:

А) чему равна производная алгебраической суммы двух функций: (u + v)′ = u′ + v′;

Б) чему равна производная произведения функций (u∙v)′= u′∙v + u∙v′;

В) чему равна производная частного двух функций ;

Г) чему равна производная степенной функции (xⁿ)′=n∙x^n-1;

Д) чему равна производная тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса);

Е) чему равна производная константы c′= 0;

Ж) чему равна производная произведения константы на функцию (c∙u) ′ = c∙u′;

Все вышеуказанные формулы воспроизводятся на интерактивной доске.

3. Тематический контроль (найти производные функций, выбрать правильный ответ и записать код ответа). Работа выполняется по вариантам.

	1	2	3
y=2x+5	y′=2x	y′=2	y′=-2
y=sin	y′=0.5cos	y′= cos	y′=0.5sin
Y=x4-	y′=3x-	y′=4x3-	y′=4x3+

	1	2	3
y=2x3-6x	y′=6x2-6	y′=2x2-6	y′=6x-6
y=cos2x	y′=-sin2x	y′= -2sin2x	y′=2sin2x
y=2	y′=2x	y′=	y′=

Дети сдают карточки с ответами учителю. Учитель проверяет работы, дети записывают в тетради тему урока.

4. Объяснение нового (с помощью мультимедийного оборудования)

график какой функции изображен на доске (y=2x),
в какой точке к графику функции проведена касательная (х=0),
какой угол образует касательная с положительным направлением оси абсцисс (35°),
какой угол образует касательная к графику функции y=3x (48°),
для функции y=10x в аналогичной ситуации получаем угол 66,5°,

Вывод: если основание показательной функции а увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точки х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°.

Логично предположить, что существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45°.

между какими числами лежит основание а (2 и 3),
доказано в математике, что интересующее нас основание существует. Его принято обозначать буквой е. В математике установлено, что число е – иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь.

е = 2,7182818284590…

На практике обычно полагают, что е = 2,7

1828 – это год рождения Льва Николаевича Толстого.

График функции y=ех. Показательная функция с основанием е называется экспонентой.

перечислите свойства функции y=е^х,
чему равен tg45°,
чему равно значение tg45° для функции y=е^х (геометрический смысл производной),
дайте определение производной в точке х = 0 (∆y/∆x) при ∆x стремящемся к нулю,
чему равна производная функции y=е^х в точке х=0 (y′ =1), т.е. при ∆x стремящемся к нулю,

Теперь докажем теорему о производной функции y=е^х.

Теорему доказывает ученик.

- Что использовали в доказательстве теоремы? (определение производной, теоремы о пределах);

Учащиеся записывают доказательство в тетрадь.

(е^х)′ = е^х

Показательная функция с основанием е называется экспонентой. Рост и убывание функции со скоростью экспоненты называется экспоненциальным. Экспоненциальный рост и убывание часто встречается в природе и технике. Иногда формулы для экспоненты записываются в виде exр(х) вместо ех.

Найти производные функций (учащиеся по очереди выходят к доске и вычисляют: