Тригонометрические уравнения

1. Простейшие тригонометрические уравнения

1. cos x = a,
   x = ±arccos a + 2πk, k є Z.
   Если ∣a∣ > 1, то Ø.
   Если ∣a∣ < 1, то x = ±arccos a + 2πk, k є Z.
2. sin x = a,
   x = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n є Z.
   Если ∣a∣ > 1, то Ø.
   Если ∣a∣ < 1, то x = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n є Z.
3. tg x = a,
   x = arctg a + πm, m є Z.
   
   tg (arctg a) = a,
   arctg (-a) = -arctg a.
4. ctg x = a,
   x = arcctg a + πn, n є Z.
   a є [-1; 1], 0 < arcctg a < π,
   ctg (arcctg a) = a,
   arcctg (-a) = π – arcctg a.
   arctg a + arcctg a = π / 2.

2. Уравнения вида sin f(x) = a, cos f(x) = a, tg f(x) = a, ctg f(x) = a

Данные уравнения также являются простейшими и решаются сначала относительно f(x), а затем уравнения решаются относительно x.

3. Уравнения, являющиеся равенством двух одноименных тригонометрических функций

1. уравнение вида sin f(x)=sin φ(x) ⇔

2. уравнение вида cos f(x)=cos φ(x) ⇔

3. уравнение вида tg f(x)= tg φ(x) ⇔

4. уравнение вида ctg f(x)=ctg φ(x) ⇔

Примеры:

1) sin (x + (π / 3)) = sin (2x + (π / 4)) ⇔

Упражнения:

Ответы:

4. Тригонометрические уравнения, содержащие одну и ту же функцию одного и того же аргумента и решаемые методом подстановки

Пример:

5. Однородные уравнения

1. первой степени: a sin x + b cos x = 0;
2. второй степени: a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0;
3. третьей степени: (так же)

6. Уравнения вида a cos x + b sin x = c

1. решаются по формуле:

2. также можно решить сведением к однородным уравнениям;
3. можно решить универсальной подстановкой, используя формулы:

7. Уравнения, решающиеся разложением на множители.

8. Уравнения, решающиеся оценкой значений левой и правой частей.

Пример:

9. Решение уравнений с применением тригонометрических формул

10. Решение уравнений с понижением степени по формулам 1 + cos 2x = 2 cos² x, 1 - cos 2x = 2 sin² x.

11. Решение уравнений заменой переменной.

Пример:

Упражнения для самостоятельной работы (Приложение)