Сценарий урока по теме "Теорема Пифагора"

Разделы: Математика

Цели:

  • Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора, познакомить учащихся с теоремой Пифагора. рассмотреть несколько способов доказательства теоремы Пифагора.
  • Показать применение теоремы Пифагора при решении задач, существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками.
  • Развитие логического мышления, вычислительных навыков, осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, литературой.

Оборудование:

  • Компьютеры. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 8класс.
  • Мультимедийный проектор. Презентация.
  • Историческая справка о Пифагоре, легенды о Пифагоре, нравственные заповеди пифагорейцев. Раскладушки.
  • Стенд: пентаграмма, пифагорова головоломка, пифагоровы тройки:
  • Карточки для доказательства теоремы Пифагора.
  • Стенд с различными доказательствами теоремы Пифагора.
  • Стенд о Пифагоре.
  • Рабочая тетрадь.
  • Кроссворд
  • Модели многоугольников
  • Лист для практической работы.
  • Чертежные инструменты.
  • Портрет Пифагора.

Ход урока

Орг. Момент.

Класс разбит на 4 группы.

Повторение.

Работа в РТ стр.25 (Записать формулы площадей многоугольников).

Взаимопроверка с помощью презентации (Слайд №2). Оценки выставить в оценочный лист.

Повторить свойство многоугольников.

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Устно (Презентация. Слайд №3).

4. Практическая работа. (Учащимся даны модели многоугольников разных по цвету и размерам). (Приложение №1.)

Среди данных многоугольников выберите треугольники.

Что вы можете сказать о выбранных треугольниках (по цвету, размерам).

Измерьте длины сторон каждого треугольника.

Найдите квадраты сторон каждого треугольника.

Сравните квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон и сделайте вывод. Самопроверка. Оценки выставить в оценочный лист.

5. Кроссворд (Приложение №2.)

Новый материал.

Беседа.

Сегодня на уроке вы познакомитесь с одной из немногих теорем геометрии, которую помнят все учащиеся. Это одна из важнейших теорем геометрии - теорема Пифагора.

(Слайд № 4) Она является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением, но сначала я расскажу вам о математике, именем которого названа эта теорема. (Слайд № 5) В Древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580г.до н.э., а умер в 500г.до н.э.). Сведения о нем чрезвычайно скудны, зато с его именем связано ряд легенд. Известно, что он родился на острове Самос, в молодости много путешествовал, посетил Индию, Египет, Вавилон, изучал древнюю культуру, по крупицам собирал знания и достижения в области математике, астрологии. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В кружок принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так на юге Италии, которая была греческой колонией, возникла пифагорейская школа. (Слайд № 6,7). Пифагорейцы занимались философией, математикой, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии (в то время алгебра не существовала, она появилась намного позднее). (Слайд № 8) Но вернемся к Пифагору. Пифагор так много знал, так поражал эрудицией своих современников, что они считали его полубогом. (Слайд № 9)

Видел в математике он свет,
Как художник, как большой поэт.
Числам придавал огромный вес,
Он считал их чудом из чудес.
И в своих работах отмечал:
Числа - есть начало из начал.
Гениальным проникал умом
Сущность теорем и аксиом.
Многие его ученики
В мир несли культуры огоньки.
Не случайно с нами до сих пор
Мудрый, легендарный Пифагор!

Велики заслуги ученого перед человечеством. Пифагор и его ученики положили начало теории чисел, заложили основы алгебры. В геометрии Пифагору принадлежат, помимо теоремы носящей его имя, учения о правилах многоугольниках, теорема о сумме углов треугольника.

Вот уже 25 веков теорема Пифагора приковывает внимание любителей математики. Существует более ста пятидесяти ее доказательств. Чем же объясняется такой интерес? Одним из ответов является суждение итальянского астронома Джованни Скиапарелли (1835 - 1910), которое можно сформулировать примерно так. (Слайд № 10)

"Если бы нам удалось вступить в контакт с разумными веществами какой - ни будь планеты Вселенной, то началась бы эта связь наверняка через теорему Пифагора, потому что она на столько удивительна и в то же время проста и естественна, что невозможно подумать, чтобы ее не знали и на другой планете". Таким образом, Пифагор оказал большое влияние на развитие математики, которая только начала складываться у греков в теоретическую науку. Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна. В настоящее время установлено, что эта величайшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора, о том, что треугольник со сторонами 3,4,5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, но то были факты, полученные из практических измерений. За восемь веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индийцам под названием "правила веревки" и использовалась в практических целях. Надо думать, Пифагор знал это, но нашел доказательство.

Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывали другие, сто быков, послужила поводом для рассказов писателей и стихов поэтов. (Слайд № 11) Вот одно из стихотворений:

Пребудет вечная истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор.
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.
А.Шамиссо

Итак, теорема Пифагора:

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так: (Слайд № 12)

"Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов построенных на катетах".

Или

"Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах".

Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. Возможно, что одно из известных доказательств принадлежит Пифагору или его ученику.

Доказательство теорем учителем вместе с учеником.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. (Слайд № 12)

Вопрос: Сколько треугольников содержит квадрат, построенный на гипотенузе?

Ответ: Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит 4 треугольника.

Вопрос: Сколько треугольников содержит квадрат, построенный на катетах?

Ответ: На каждом катете построен квадрат, содержащий по 2 треугольника.

Вывод: Из рисунка видно, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Доказательство теорем разными способами

Доказательство Евклида (Слайд № 13)

Доказательство Багдадского математика и астронома X в. ан. - Найризий (латинизированное имя Анариций).

Древнекитайское доказательство.

Произведения Бхаскары.

Доказательство теоремы Пифагора в группах по заданному алгоритму.

1 группа

Алгоритм доказательства теоремы Пифагора

  1. Дан треугольник ABC (?С = 900). Объясните, какое дополнительное построение надо выполнить, чтобы получить квадраты на рис.1 и 2.
  2. Из каких геометрических фигур состоит квадрат на рис. 1
  3. Чему равна площадь квадрата на рис. 1
  4. Из каких геометрических фигур состоит квадрат на рис.2
  5. Чему равна площадь квадрата на рис.2
  6. Сравните полученные площади, выполните преобразование. Сделайте вывод.

2 группа

  1. Алгоритм доказательства теоремы Пифагора
  2. Дан треугольник ABC. Объясните, какое дополнительное построение надо сделать, чтобы получить квадрат АВКЕ.
  3. Найдите площадь квадрата АВКЕ.
  4. Из каких геометрических фигур состоит квадрат АВКЕ.
  5. Найдите площадь АВКЕ через сумму площадей геометрических фигур.
  6. Сравните полученные площади.

 

3 группа

Алгоритм доказательства теоремы Пифагора

  1. Дан треугольник ABC (угол С = 900 ). Какое дополнительное построение надо сделать, чтобы получить четырехугольник АСКМ.
  2. Как называется четырехугольник АСКМ?
  3. Из каких геометрических фигур состоит четырехугольник АСКМ?
  4. Найдите площадь АСКМ двумя способами:
    А) по формуле площади трапеции
  5. Б) через сумму площадей, составляющих фигур
  6. Приравняйте площади, выполните преобразование.
  7. Сделайте вывод.

 

4 группа

Алгоритм доказательства теоремы Пифагора

  1. Нарисуйте прямоугольный треугольник. Обозначьте катеты а, b гипотенузу с.
  2. Постройте квадрат со стороной, а + b.
  3. На сторонах квадрата отметьте по одной точке, делящей эти стороны на отрезки а и b так, чтобы к каждой вершине квадрата примыкали отрезки а и b.
  4. Соедините отрезками точки, расположенные на соседних сторонах квадрата. На какие фигуры разобьется исходный квадрат. Покажите, что полученные треугольники равны исходному прямоугольному треугольнику. Укажите признак равенства треугольника.
  5. Чему равны стороны внутреннего четырехугольника? Чему равны углы четырехугольника? Какой вывод о внутреннем четырехугольнике можно сделать?
  6. Как связаны между собой площади полученных треугольников и квадратов? Установите связь между площадями и выразите S через S треугольников и S квадратов.
  7. Зная стороны, напишите формулы для площадей (S -площадь всего квадрата, S1 - площадь треугольника, S2- площадь внутреннего квадрата).
  8. Подставьте полученные формулы в равенство для площадей.
  9. Раскройте квадрат и приведите подобные члены.

5 группа. (Слабые учащиеся)

Компьютеры. Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 8класс. Урок 10, слайд 2,3.

Доказательство теоремы у доски (по готовым чертежам). (Слайды №14 -18)

Закрепление

Решение задач. (Слайды №19 -20) . Взаимопроверка. Оценки выставить в оценочный лист.

Решение задач № 483 (в, г), № 484 (а, в, д).

Решение старинных задач.

Задача 1

Задача взята из первого учебника математики на Руси. Называется этот учебник "Арифметика" автор Леонтий Филиппович Магницкий (настоящая фамилия Телятин, а Магницким он стал по приказу Петра 1, который был восхищен его занятиями, притягивал к себе всех любознательных подобно магниту).

Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. В обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.

(Слайд 21).

Задача 2

Одна из задач индийского математика 12 века Бхаскары (Слайд 22):

На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал.
И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река.
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
"У тополя как велика высота?"

Задача 3

Задача из китайской "Математики в девяти книгах" (Слайд 23).

Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

Итог урока.

Значение теоремы Пифагора (Слайды №24 -27)

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли Dons asinorum-ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих ", так как не которые "убогие " ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны ", рисовали карикатуры. Теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее ими с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что она вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение с2=а2+в2.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии - теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач.

Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли "Юный Архимед". Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона "Менон". Этой теореме даже посвящены стихи.

О  т е о р е м е  П и ф а г о р а

Суть истины вся в том, что нам она - навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна :

(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

Для тех, кто желает больше узнать о Пифагоре, прочитать о нём легенды, выяснить, почему союз пифагорейцев был тайным, почему авторство работ приписывалось учителю и о многом другом, советую прочитать книгу А.В. Волошинова "Пифагор", которая имеется в нашей школьной библиотеке.

А познакомившись с материалами "раскладушки", вы можете узнать о нравственных заповедях пифагорейцев, прочитать несколько легенд, связанных с именем Пифагора, попробовать решить несколько исторических задач и разгадать пифагорову головоломку.

Рефлексия. Оцени свою работу.

Домашнее задание

Теорема Пифагора п. 54.

Ответить на вопросы:

  1. Кто же на самом деле открыл теорему Пифагора?
  2. Почему она долгое время называлась "теоремой невесты"?
  3. Существуют ли другие доказательства теоремы?

Задачи по карточкам.

Приложение 3, приложение 4, приложение 5.