За последние несколько лет персональные компьютеры перестали быть экзотикой и вошли в повседневную жизнь. Увеличивается их число в индивидуальном пользовании. Уже ряд лет наблюдаю выпускников школ, и поражает их полное неумение считать устно. Они не в состоянии вычислять значения элементарной функции, не умеют пользоваться таблицами. Без МК шагу не ступят. Даже прикинуть предварительный результат не умеют. Для простейших вычислений подай им обязательно бумагу и карандаш. Раньше в школах учили устному счету, а теперь с появлением калькуляторов и компьютеров об этом стали, как видно забывать.
Первый этап формирования навыка – овладение умением. При овладении умением в вычислениях или тождественных преобразованиях первые упражнения на применение нового приема, метода, определения должны выполнятся с подробными объяснениями и записями.
Второй этап – этап автоматизации умения. Автоматизация умения происходит путем исключения некоторых промежуточных операций. Поэтому следует помочь учащимся перейти от сложной схемы действий к более простой.
Это означает, что после выполнения первых упражнений надо добиваться свертывания промежуточных операций, для чего полезно часть преобразований выполнять медленно, опуская промежуточные записи. Делать это надо последовательно и постепенно, учитывая индивидуальные способности учащихся. Таким образом, по мере формирования навыка следует сокращать и некоторые промежуточные записи в решении, не требуя от учащихся подробных записей при решении каждой задачи, выполнении каждого упражнения, иначе можно задержать формирование навыка. Актуальным является методическое требование выполнять устно вычисление и преобразования не только во время пятиминуток устного счета, но и при решении задач, на каждом этапе урока все вычисления и выкладки, которые можно выполнять устно, должны быть выполнены устно. Привычка выполнять устно несложные вычисления и выкладки нередко порождает потребность производить мыслительные эксперименты при решении задач, высказывать догадки, предположения о путях решения более сложных задач, проверяя истинность предположений. А это – одно из главных условий обучения математике. Устные вычисления являются самым древним и простым способом вычислений. Знание упрощенных приемов устного вычисления остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность, не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, мышление и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла. Устные вычисления имеют большое значение для овладения навыками письменных действий: сложение, вычитание, умножение и деление, которые никогда не выполняются только письменно. Быстрота счета возникает в результате длительных упражнений. Необходимо прибегать к различным приемам, соответствующим развитию скорости вычислений, так как однообразное повторение одних и тех же упражнений порождает скуку и притупляет интерес к предмету.
Согласно программе по математике вычислительная подготовка школьников включает овладение способами вычислений с многозначными числами (1–4) классы, с обыкновенными и десятичными дробями (5–6) классы, с приближенными значениями величин (7–9) классы. В девятилетней школе наряду с навыками выполнения устных и письменных вычислений рассматриваются работы с таблицами, электронным калькулятором. Это означает, что к 10 классу учащиеся должны овладеть определенным уровнем вычислительной культуры, дальнейшее развитие которой будет вестись в направлении формирования более сложных умений. К ним относятся умения спланировать вычислительную работу, организовать необходимые вычисления и выполнить их, используя подходящие вычислительные средства. В базисной программе по математике большое место отведено вопросам формирования навыков вычислений и тождественных преобразований. Большая часть математических навыков – это сложные навыки, формирующиеся, но основе других умений и навыков. Умения и навыки быстрее усваиваются и дольше сохраняются, если их формирование происходит на сознательной основе. Путь тренировки без достаточного понимания редко приводит к прочным умениям и навыкам. Поэтому формированию навыков учащихся должно предшествовать понимание ими сути изучаемого действия. Первый этап формирования навыка – овладение умением. При овладении умением в вычислениях или тождественных преобразованиях первые упражнения на применение нового приема, метода, определения должны выполнятся с подробными объяснениями и записями. Подробные разъяснения и записи помогают ученикам лучше понять смысл и последовательность выполнения изучаемого действия. Но процесс формирования навыка не ограничивается овладением умением. Второй этап – этап автоматизации умения. Автоматизация умения происходит путем исключения некоторых промежуточных операций. Поэтому следует помочь учащимся перейти от сложной схемы действий к более простой. Это означает, что после выполнения первых упражнений надо добиваться свертывания промежуточных операций, для чего полезно часть преобразований выполнять медленно, опуская промежуточные записи. Делать это надо последовательно и постепенно, учитывая индивидуальные способности учащихся. Таким образом, по мере формирования навыка следует сокращать и некоторые промежуточные записи в решении, не требуя от учащихся подробных записей при решении каждой задачи, выполнении каждого упражнения, иначе можно задержать формирование навыка. Конечно, время от времени и при сформированном навыке полезно обращаться к объяснениям и обоснованиям. Для формирования навыка недостаточно отдельных упражнений, необходима тщательно продуманная их система, в которой должна соблюдаться последовательность упражнений с постепенным их усложнением. Однако следует предостеречь от излишнего числа однообразных упражнений в системе. Упражнения по формированию навыков должны быть достаточно разнообразными как по содержанию, так и по форме, лишь в этом случае достигается прочность навыков.
Формирование навыков в вычислениях и тождественных преобразованиях протекает более быстро в том случае, если учитель добивается от учащихся устного выполнения промежуточных вычислений и тождественных преобразований: при устном решении записи не производятся и поэтому быстрее вырабатываются прямые ассоциации. Актуальным является методическое требование выполнять устно вычисление и преобразования не только во время пятиминуток устного счета, но и при решении задач, на каждом этапе урока все вычисления и выкладки, которые можно выполнять устно, должны быть выполнены устно. Знание упрощенных приемов устного вычисления остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность, не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, мышление и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Так обучать устному счету надо с начальных классов. Правильная постановка занятий устным счетом в начальной школе предполагает ежедневные и непродолжительные, от 5 до 10 минут, упражнения в устных вычислениях, которые могут быть разбиты на следующие группы:
А) Беглый слуховой счет – устные вычисления, которые не сопровождаются записями;
Б) Зрительный счет – устные вычисления, сопровождаемые предварительной записью примеров;
В) Комбинированная форма счета – устные вычисления с последующей записью результатов произведенных вычислений;
Г) Устное решение задач.
Устные вычисления нужно проводить не только регулярно, но и в определенной последовательности, которая определяется программой начальной школы. Устные вычисления имеют большое значение для овладения навыками письменных действий: сложение, вычитание, умножение и деление, которые никогда не выполняются только письменно. Быстрота счета возникает в результате длительных упражнений. Необходимо прибегать к различным приемам, соответствующим развитию скорости вычислений, так как однообразное повторение одних и тех же упражнений порождает скуку и притупляет интерес к предмету.
Так уже в начальной школе можно отработать:
- Умножение на 10, 100, 1000.… При умножении надо в произведении добавить к этому числу соответственно один, два, три и т.д. нулей. Например: 5 · 10 = 50; 5 · 100 = 500; 5 · 1000 = 5000.
- Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа мысленно раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. 62 · 11 = 6(6+2)2 = 682.
- Умножение на 22, 33,…,99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, т.е. 33 = 3·11, затем произведение первых двух чисел умножить на11, например: 25·33 = 25·3·11 = 75·11 = 7(7+5)5 = 825.
- Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить закон: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же, произведение не изменится. 26 · 15 = (26 : 2) · 15· 2 = 13 · 30 = 390.
При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределах второго десятка. Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа. Например:
38 · 85 = (38 : 2 ) · 85 · 2 = 19 · 170 = ( 19 · 10 + 19 · 7) · 10 = (190 +133) · 10 = 323 · 10 = 3230.
- Умножение и деление на 75. Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300. Например:
16 · 75 = (16 : 4) · 75 · 4 = 4·300 =1200.
Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4. Например:
2400 : 75 = 2400 : 300 · 4 = 32.
- Умножение и деление на 50. Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100. Например:
434 · 50 = (434 : 2 ) · 50 · 2 = 217 · 100 = 21700.
Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.
23100 : 50 = 23100 : 100 · 2 =231 · 2 =462.
В пятом и шестом классах продолжаем формировать у учеников навыки вычислений с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, а так же с целыми числами, эффективно развивая попутно внимание, мышление и оперативную память детей. В этом возрасте прекрасно использовать тренажеры. Такие задания позволяют ученику выполнить большой объем вычислений за небольшое время. Задания тренажера можно предлагать как для индивидуальной, так и для коллективной работы в классе. В ходе устной работы можно проводить математические эстафеты, математические диктанты. Очень полезна работа в парах, цепочные вычисления. Кроме непосредственных вычислений, задания можно использовать для составления учениками текстовых задач по данным в упражнениях числовым выражениям.
После прохождения темы: “Признаки делимости” в 6 классе целесообразно показать учащимся как:
1. Умножать и делить на 25 и 75. Для этого надо хорошо знать признак делимости на 4. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.
484 · 25 = ( 484 : 4 ) · 25 · 4 = 121 · 100 =12100. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4. Например: 3100 : 25 = 3100 : 100 · 4 = 124.
Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300, т.е. 32 · 75= ( 32 : 4 ) ·75 · 4 = 8 · 300 = 2400. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4. Например:
3600 : 75 = 3600 : 300 · 4 = 48.
2. Как умножать и делить на 125. Прежде чем научиться умножать и делить на 125, надо хорошо знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8. На 8 делятся те, и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8. Как узнать, что трехзначное число делится на 8?
712:8, т.к. (71 + 2/2) : 8, т.е. 72:8. Итак, чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить на 8. Например:
32 · 125 = ( 32 : 8 ) · 125 · 8 = 4 · 1000 = 4000;
9000 : 125 = 9000 : 1000 · 8 = 72.
3. Умножение и деление на 111.
Кто знает, как умножить и делить на 11, может легко умножать и делить на 111. Рассмотрим на примерах:
Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д.:
36 · 111 = 3(3+6) (3+6)6 = 3996. Итак, чтобы число умножить на 111, надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шагов, сложить цифры и записать результат между раздвинутыми цифрами.
Очень важно отработать нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого вычитаемого, делимого, множителя, неизвестного члена пропорции.
При изучении обыкновенных дробей обязательно надо отработать навыки решения задач на нахождение части числа, числа по части, нахождение процента от числа, нахождение числа по проценту.
Формируемые навыки в выполнении вычислений и тождественных преобразований должны входить в ранее сформированную систему знаний, умений и навыков, учащихся как составная часть. После нескольких упражнений в формировании нового умения или навыка полезно для достижения этой цели выполнять упражнения, связывающие изучаемое с ранее приобретенными умениями и навыками. Так в 7 классе при обучении разложению многочленов на множители с помощью тождеств сокращенного умножения должны выполняться и упражнения, в которых разложение на множители производится последовательным применением тождеств сокращенного умножения и ранее изученных способов: вынесение общего множителя за скобки, группировки.
При изучении темы “Квадратного корня” желательно познакомить учащихся с извлечением квадратного корня из точного квадрата. Например: √¯3844 = √¯ 3700 + 144 = 37 + 25 = 62. Число 3844 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 144, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (37) прибавляем всегда 25. Получим ответ 62. Так можно извлекать квадратные корни до числа 752 =5625. Как же устно извлечь квадратные корни из чисел больше 752 =5625? 7225 представим в виде суммы 7000 и выделенного квадрата 225. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 225, равный 15. Получим ответ 85.
√7225 = √7000 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.
Применение устного счета можно использовать при составлении уравнения по теореме Виета. Зная хорошо теорему Виета (“Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену”), можно устно составлять и решать такие уравнения. Например:
х2 + рх + q =0
х1 + х2 = -р,
х1 · х2 = q;
х1 и х2 корни уравнения.
Х1 = 24, х2 = 26
Х1 + х2 = -( 24 +36 ) = -50, р = -50.
Х1· х2 = 24 · 26 = ( 2 · 3 ) сот. + 4 · 6 = 624, q = 624.
Уравнение: х2 –50х + 624 = 0.
Таким образом, рациональное выполнение вычислений и тождественных преобразований требует нестандартных решений, следовательно, служит формированию более прочных умений и навыков. Упражнения предназначены для активизации учащихся, но их главная функция, на мой взгляд, состоит в том, что они способствуют развитию мышления на посильном, понятном материале. В рассматриваемых далее упражнениях непосредственная подстановка значений переменных ведет к большой вычислительной работе, и основная трудность для ученика - это выбор наиболее разумного преобразования для упрощения вычислений. Методически целесообразно предоставить возможность самим учащимся найти решение, поскольку эффективность рекомендуемых приемов выступает ярче после попыток вычислений прямой подстановкой и поиска преобразований, рационализирующих вычисления; интерес к примерам возрастает. Полагаю, что ученикам можно указать на эффективность такого приема для вычисления значения произвольного многочлена, в особенности при работе на микрокалькуляторе без регистра памяти. Например:
1. Найти значение функции f(х) =х3 – 11х2 – 41х + 9, при х =14.
Получим f (х) =((х – 11)х –41)х + 9 и f (14) = (3 · 14 – 41) ·14 + 9 = 23.
2. Найти значение многочлена f (х) = х2 – 4х +3, при х = 2 +√3.
Обозначим 2 +√3 через р. Тогда (р-2)2 = 3, р2 – 4р + 4 = 3, р2 – 4р = –1 и функция f (2 +√3) = f (р) = 2.
Дидактическая значимость этих упражнений состоит в том, что они способствуют формированию умения рассматривать выражения как функции одной переменной, считая все остальные переменные параметрами. Такая точка зрения на выражение бывает удобной при решении уравнений и неравенств с несколькими переменными, доказательстве тождеств, исследовании функции и т.д.
К десятому классу учащиеся должны овладеть определенным уровнем вычислительной культуры, дальнейшее развитие которой будет вестись в направлении формирования более сложных умений. К ним относятся умение спланировать вычислительную работу, организовать необходимые вычисления и выполнить их, используя подходящие вычислительные средства.
При обучении в старших классах встречаются все виды вычислений: устные, письменные, с помощью таблиц, электронного калькулятора. Каждый из них применяется в сочетании с другими в зависимости от сложности вычислительной части заданий. Существенно то, что затруднения в вычислениях отвлекают учащихся от понимания изучаемого материала, т.е. мешают учиться. Иногда учащиеся не могут выполнить преобразование, решить уравнение или неравенство, построить график функции, воспроизвести теоретические выкладки из-за того, что допускают ошибки в простейших устных вычислениях.
При отыскании производных функций некоторые неправильно выполняют действия с целыми числами и обыкновенными дробями. При решении иррационального уравнения, где целесообразно часть вычислений выполнять устно, учащиеся затрудняются при возведении чисел в квадрат, при умножении и сложении чисел, в прикидке знака значения числового выражения.
Важность владения устными вычислениями не ослабевает даже в работе с калькулятором, так как они окажутся полезными для прикидки ожидаемого результата, для ускорения работы при устном выполнении некоторых операций.
Эти факты говорят о необходимости усиления внимания учителей к совершенствованию вычислительных навыков учащихся старших классов.
Усвоение понятия происходит не при заучивании, а в процессе самостоятельных поисков его существенных признаков. Рассмотрим пример системы устных упражнений, предшествующих введению понятия логарифма:
- Вычислите 33; 33=27, так как 33= 3·3·3=27.
- Каким действием можно найти основание степени, если х3=27?
- Найдите показатель степени: 3х=81; 3х=729; 3х=125.
Решить последний пример, ученики не могут, так как у них не хватает знаний. Тут и надо ввести понятие логарифма. Надо выполнить устные упражнения на закрепление. Вычислите: log327, log216, log100,001, log5625, log81. Затем надо решить более сложные примеры на доске и в тетрадях, после этого перейти к самостоятельной работе. Хорошо подобранные системы устных упражнений формируют у учащихся умения обобщать. Логический аспект школьного курса алгебры выражен слабее, чем курса геометрии. В алгебре не выделена система аксиом, доказательства некоторых теорем в целях упрощения опускаются. Однако учащиеся должны овладеть содержанием теоретических утверждений, уяснить их место и роль в логической системе курса алгебры. Поэтому прежде чем подойти к изучению теоремы, полезно предложить учащимся систему упражнений, в результате выполнения которых может быть выдвинута гипотеза, требующая доказательства или опровержения. Например, при изучении производной:
- Найдите приращение функций а) у = х; б) у = 4х + 1; в) у = 20х + 0,5 в точке х = 1, соответствующее приращению аргумента, равному 0,1.
- Сравните полученные результаты.
- От чего зависит приращение функции в данной точке при одном и том же приращении аргумента?
- Составьте план нахождения значения производной функции f (х) = 3х3 + 2х2 + 3 в точке х = 0, используя определение производной.
После изучения каждого математического факта очень хорошо предложить учащимся привести минимум три примера, подтверждающих изученное. Например, изучив теоремы о производных суммы, разности, произведения и частного дифференцируемых функций, можно попросить учащихся написать три функции в виде многочленов (каждый пишет свои примеры), найти их производные, вычислить их значения при х = 1; –1; 2; –2. При этом несколько учащихся выполняют работу на доске. Такие упражнения помогают учащимся уяснить главное в данной теме, учат применять полученные знания. Составление упражнений и задач самими учащимися, приведение ими собственных примеров дает наибольший эффект в сравнении с другими формами работы. Важно, что при этом каждый ученик работает самостоятельно и творчески. Учителю необходимо почувствовать, определить иногда и интуитивно потенциальные возможности своих учеников и с этим расчетом строить уроки. И успех во многом зависит от той формы работы, которую преподаватель выбирает для своего урока. Но сила инерции в организации процесса обучения чрезвычайно высока, и совсем не так быстро находят применение в школьной практике методы и приемы преподавания, разработанные дидактами. Дети же верят, что мы проявим мудрость и придумаем, как каждому из них раскрыть для себя и для всего мира их способности, их талант.