Урок математики в 9-м классе по теме "Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • вывести формулу n-первых членов геометрической прогрессии, научить применять её при решении задач;
  • способствовать воспитанию у учащихся внимания и аккуратности в применении формулы; вызвать интерес к изучению новой темы;
  • способствовать формированию и развитию у учащихся логичных рассуждений и речи.

Тип урока:урок изучения нового материала.

Методы обучения:метод проблемной ситуации.

Оборудование: шахматная доска, формулы b n члена, S n

Ход урока

  1. Организационный момент.

Постановка целей урока перед учащимися.

  1. Актуализация урока.

Ученикам предлагается задача и к ней вопросы и задания.

Задача. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 минут.

Задания к задаче:

  1. записать последовательность в соответствии с условием задачи (1;2;4;8;16;32;64)
  2. найти частное q от деления последующего члена на предыдущий (b2: b1 =2; b3 : b2 =2 … b7: b6 = 2)
  3. дать определение геометрической прогрессии.

Один ученик вызывается к доске и проделывает всю работу на доске с помощью остальных.

  1. Формирование новых понятий.

В виде игровой ситуации учащимся предлагается задача, которая содержит жизненные факты, но при решении которой возникает необходимость вводе новой формулы.

Учитель предлагает одному из учеников совершить с ним сделку: “Я буду ежедневно в течении 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей, а ты мне в 1 день за 100000 рублей дашь 1 коп., во второй день – 2 коп., и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем”.

  • Ученик подсчитывает, что за 30 дней он получит 3 000 000.
  • Учитель спрашивает, кто из них в сделке проиграет.
  • Учащиеся считают, что учитель и поэтому учитель предлагает подсчитать ту сумму , которую получит он.
  • Учащиеся определяют, что так как предыдущее число денег увеличивают в 2 раза. То мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой q = 2, a1 = 1, n = 30.

Они пытаются составить всю последовательность, чтобы потом найти сумму. Но видят, что это громоздкая работа, которая требует времени. Обращаются с вопросом к учителю: “Возможно ли вывести формулу суммы n членов геометрической прогрессии в общем виде?”

Учитель дает утвердительный ответ и при этом усиливает проблемность, рассказывая историю.

По преданию, индийский принц Сирам, восхищенный остроумием и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе её изобретателя, ученого Сету и сказал ему “Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат , чтобы исполнить любое твое желание”.

Принц рассмеялся, услышав. Какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за 1-ю клетку шахматной доски – одно зерно, за 2-ю – два, за 3-ю – четыре и так до 64-го поля”.

Возникает необходимость найти S64, где a1=1,q=2, n=64.

S = 264 – 1= 18 446 744 073 709 551 615

Далее под руководством учителя учащиеся выводят формулу Sn.

Sn = , при q ≠ 1.

Иногда удобно пользоваться формулой записанной в другом виде.

Так как bn = b1 qn-1 , то получим

Завершение задачи – сделки.

S30 = 1 073 741 823 коп = 10 737 418 руб 23 коп. Кто в сделке проиграл?

  1. Закрепление нового материала.
  1. Дана геометрическая прогрессия первый член, которой равен 3, а знаменатель 2. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.
  2. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, первый член которой равен -10, а знаменатель равен 3
  3. Первый член геометрической прогрессии равен 1/3, а знаменатель -4. Найдите сумму четырех первых членов.
  1. Подведение итогов.
  2. Задание на дом: п. 19, №410, 417.