Тема: «Иррациональные уравнения вида 
, 
.»
(Методическая разработка.)
Основные понятия
Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или знаком возведения в дробную степень.
Уравнение вида f(x)=g(x), где хотя бы одно из выражений f(x) или g(x) иррационально является иррациональным уравнением.
Основные свойства радикалов:
- Все радикалы четной степени являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то радикал не имеет смысла (не существует); если подкоренное выражение равно нулю, то радикал тоже равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение радикала существует и положительно.
- Все радикалы нечетной степени определены при любом значении подкоренного выражения. При этом радикал отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно.
Методы решения иррациональных уравнений
Решить иррациональное уравнение – значит найти все действительные значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение оно обращается в верное числовое равенство, либо доказать, что таких значений не существует. Иррациональные уравнения решаются на множестве действительных чисел R.
Областью допустимых значений уравнения состоит из тех значений переменной, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаком радикалов четной степени.
Основными методами решения иррациональных уравнений являются:
а) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
б) метод введения новых переменных (метод замен);
в) искусственные приемы решения иррациональных уравнений.
В данной статье остановимся на рассмотрении уравнений определённого выше вида и приведём 6 методов решения таких уравнений.
1 метод. Возведение в куб.
Этот способ требует применения формул сокращённого умножения и не содержит «подводных» камней, т.е. не приводит к появлению посторонних корней.
Пример 1. Решить уравнение 
Решение:
Перепишем уравнение в виде 
и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению 
,
,
,
Ответ: х=2, х=11.
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение:
Перепишем уравнение в виде 
и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению
,
,
,
и рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно одного из корней
,
,
следовательно, дискриминант равен 0,а уравнение может иметь решение х=-2.
Проверка: 
Ответ: х=-2.
Замечание: Проверка может быть опущена, в том случае, если дорешивается квадратное уравнение.
2 метод. Возведение в куб по формуле.
По-прежнему будем возводить уравнение в куб, но при этом пользоваться модифицированными формулами сокращенного умножения.
Воспользуемся формулами:
,
(незначительная модификация известной формулы), тогда
Пример3. Решить уравнение 
.
Решение:
Возведём уравнение в куб с использованием формул, приведённых выше.
,
Но выражение 
должно быть равно правой части. Поэтому имеем:
, откуда
.
Теперь при возведении в куб получаем обычное квадратное уравнение:
, и два его корня
,
Оба значения, как показывает проверка, правильные.
Ответ: х=2,х=-33.
Но все ли преобразования здесь равносильны? Прежде чем ответить на этот вопрос, решим ещё одно уравнение.
Пример4. Решить уравнение 
.
Решение:
Возводя, как и ранее, обе части в третью степень, имеем:
.
Откуда (учитывая, что выражение в скобках равно 
), получаем:
, значит
. Получаем
, 
.Сделаем проверку и убедимся х=0 –посторонний корень.
Ответ: 
.
Ответим на вопрос: «Почему возникли посторонние корни?»
Равенство 
влечёт равенство 
. Заменим с на –с, получим:
и 
.
Нетрудно проверить тождество
,
Итак, если 
, то либо 
, либо 
. Уравнение можно представить в виде 
, 
.
Заменяя с на –с, получаем: если 
, то либо 
, либо 
Поэтому при использовании этого метода решения обязательно нужно сделать проверку и убедиться что посторонних корней нет.
3 метод. Метод системы.
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение:
Введём замену, составим и решим систему уравнений.
Пусть 
, 
. Тогда:
откуда очевидно, что 
Второе уравнение системы получается таким образом, чтобы линейная комбинация подкоренных выражений не зависела от исходной переменной.
Легко убедиться , что система не имеет решения, следовательно и исходное уравнение не имеет решения.
Ответ: Корней нет.
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение:
Введём замену, составим и решим систему уравнений.
Пусть 
, 
. Тогда
или 
Возвращаясь к исходной переменной имеем:
х=0.
Ответ: х=0.
4 метод. Использование монотонности функций.
Прежде чем использовать данный метод обратимся к теории.
Нам понадобятся следующие свойства:
- Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, то функция y=f(x)+g(x) также возрастает (убывает ) на этом множестве.
- Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, при чем обе они принимают неотрицательные значения при всех допустимых х, то функция y=f(x)g(x) возрастает (убывает) на данном множестве.
- Если функция y=f(x) монотонная, то уравнение f(x)=a имеет не более одного решения.
- Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют разный характер монотонности, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.
- Функция вида
возрастает при к>0 и убывает при к<0.
Пример 7. Решить уравнение 
.
Решение:
Левая часть уравнения возрастающая функция, а правая – число, т.е. константа, следовательно, уравнение имеет не более одного корня, который подберём: х=9. Проверкой убедимся, что корень подходит.
Ответ: х=9.
Пример 8. Решить уравнение 
.
Решение:
Левая часть уравнения возрастающая функция, а правая – число, т.е. константа, следовательно, уравнение имеет не более одного корня, который подберём: х=-2. Проверкой убедимся, что корень подходит.
Ответ: х=-2.
Последнее уравнение можно представить ином виде 
, тогда правая часть уравнения убывает, а левая возрастает, следовательно уравнение имеет не более одного корня , и приходим к х=-2.
5 метод. Графический метод решения уравнений.
Пример 9. Решить уравнение 
Решение:
Перепишем уравнение в виде: 
Построим графики левой и правой частей. 
Рисунок 1
Графики пересекаются в точке (-1;2), х=-1.
Проверка: 
2=2 (верно).
х=-1 – является корнем исходного уравнения.
Ответ: х=-1.
6 метод. Метод замены
Пример. Решить уравнение: 
Решение:
Введём замену. Пусть 
тогда уравнение принимает вид
t=0 или 
- нет решений.
t=0, тогда возвращаясь к исходной переменной имеем: х=-8.
Ответ: х=-8.
Задания для самостоятельного решения.
№1. Решить уравнение |
|
№2. Каждое уравнение решите двумя способами. |
|
|
|
№3. Решите уравнение.
Литература:
- Глазков Ю.А. , Корешкова Т.А., Мирошин В.В. Шевелева Н.В. Математика. ЕГЭ.: методическое пособие для подготовки. – М.: Издательство «Экзамен», 2007.
- Моденов П.С. Пособие по математике, Ч.1, М:, 1977.
- Башмаков М.И. Беккер Б.М., Гольховой В.М. Сборник задач по алгебре и анализу, Библиотечка «Квант», М., 1983.
- Ципкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. М., Наука, 1983.