"Избранные вопросы математики: метод математической индукции". Элективный курс

Основная функция предметно-ориентированного элективного курса "Избранные вопросы математики: метод математической индукции": выявление средствами предмета математики направленности личности, ее профессиональных интересов.
Содержание курса не дублирует, а расширяет базовый курс по математике и дает возможность познакомиться учащимся с интересными, нестандартными вопросами.
Одной из отличительных черт математики и таких наук, как теоретическая механика, теоретическая физика, математическая лингвистика, является дедуктивное построение теории. Дедуктивное рассуждение – это рассуждение от общего к частному, индуктивное – от частного к общему. Полная индукция (метод перебора конечного числа случаев) имеет в математике ограниченное применение. Многие интересные математические предложения охватывают бесконечное множество частных случаев, а провести проверку для бесконечного множества частных случаев человек не может. Во многих случаях выход из этого затруднения находится в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции.
Материал курса не дублирует вузовских программ, но позволяет с более общих позиций взглянуть на школьную математику и усмотреть единство предмета и метода математической науки. Поэтому существенно важно не развивать в обучении те специальные методы, приемы и навыки, которым обучают в вузах, а показать учащимся, как из материала школьного курса математики возникают общие концепции, обладающие теоретической и прикладной ценностью.
Весьма существенное место курса занимает решение задач как традиционных школьных, так и задач повышенной трудности.
В курсе заложена возможность дифференцированного обучения. Задачи, предлагаемые в данном курсе интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

Цель курса: развитие интересов и склонностей учащихся к математике в системе предпрофильной подготовки и формирование готовности 9–ти классников к выбору математического профиля.

Задачи курса:

1. Развивать способности учащихся к математической деятельности.
2. Развивать логическое мышление учащихся.
3. Предоставить учащимся возможность проанализировать свои способности к математической деятельности.
4. Познакомить учащихся с понятием дедукция и индукция, полная и неполная математическая индукция.
5. Изучить общий принцип и метод математической индукции.
6. Исследовать на наглядном примере метод математической индукции.
7. Уметь применять метод математической индукции в задачах на суммирование и для доказательства тождеств, к доказательствам неравенств, к задачам на делимость, для изучения свойств числовых последовательностей.

Место курса в системе предпрофильной подготовки.
Курс ориентирован на предпрофильную подготовку учащихся по математике. Он расширяет базовый курс по математике, является предметно ориентированным и дает возможность познакомиться учащимся с интересными, нестандартными вопросами математики, с весьма распространенными методами решения математических задач, проверить способности к математике.
Вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

Требования к уровню освоения содержания курса.
Административной проверки усвоения материала курса "Избранные вопросы математики: метод математической индукции» не предполагается, соответствующие задачи не будут включаться в административные контрольные работы, выноситься на экзамены. Вместе с тем, в технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изученный материал. В свою очередь, учитель может провести обучающие самостоятельные работы, которые позволят оценить уровень усвоения следующих вопросов: умение применять метод математической индукции в задачах на суммирование и для доказательства тождеств, к доказательствам неравенств, к задачам на делимость, для изучения свойств числовых последовательностей.
Формой итогового контроля может стать обучающая самостоятельная работа, собеседование или защита собственного проекта учащегося по теме курса.

Распределение часов курса по темам.
Данный элективный курс предполагает 14 тематических занятий.

Тематический план курса

Содержание курса.

Тема 1. Дедукция и индукция. Полная и неполная индукция. (1ч.)

1. Семинарское занятие: «Дедукция и индукция. Полная и неполная индукция»

Вводится понятие дедукции и индукции. Рассматриваются примеры. Дается определение полной и неполной индукции. Рассматривается гипотеза Гольдбаха, выводится формула суммы первых n нечетных чисел. Решаются примеры на изученные свойства. Также, предлагается система вопросов и упражнений.

Тема 2. Метод математической индукции (2ч.)

1. Семинарское занятие: «Метод математической индукции»
Формулируется общий принцип математической индукции. Доказывается истинность равенства на основании метода математической индукции. Дается теорема (другая формулировка принципа математической индукции)
2. Практическое занятие: «Метод математической индукции»
Решаются примеры на применение метода математической индукции.

Тема 3. Применение метода математической индукции в задачах на суммирование и для доказательства тождеств (2ч.)

1. Практическое занятие: «Применение метода математической индукции в задачах на суммирование»
Доказываются несколько равенств на суммирование методом математической индукции.
2. Практическое занятие: «Применение метода математической
индукции для применения тождеств»
Доказываются несколько тождеств методом математической индукции.

Тема 4. Применение метода математической индукции к доказательству неравенств (2ч.)

1. Семинарское занятие: «Неравенство Коши».
Доказывается неравенство Коши для произвольного числа параметров, а так же доказывается неравенство Бернулли методом математической индукции.
2. Практическое занятие: «Применение метода математической индукции к доказательству неравенств».
Доказываются несколько неравенств методом математической индукции.

Тема 5. Применение метода математической индукции к задачам на делимость (2ч.)

1. Семинарское занятие: «Применение метода математической индукции к задачам на делимость»
С помощью метода математической индукции доказывается малая теорема Ферма.
2. Практическое занятие: «Применение метода математической индукции к задачам на делимость»
Решаются примеры на делимость с помощью метода математической индукции.

Тема 6. Применение метода математической индукции для изучения свойств числовых последовательностей (2ч.)
1. Семинарское занятие: «Применение метода математической индукции для изучения свойств числовых последовательностей»
Доказываются свойства и истинность некоторых формул для геометрической и арифметической прогрессий. Доказывается последовательность Фибоначчи с помощью математической индукции.
2. Практическое занятие: «Применение метода математической индукции для изучения свойств числовых последовательностей»
Доказываются свойства последовательности Фибоначчи с помощью математической индукции. Решение примеров.

Тема 7. «Применение метода математической индукции для изучения свойств конечных множеств» (2ч.)

1. Семинарское занятие: «Применение метода математической индукции для изучения свойств конечных множеств»
Решается задача о числе множеств конечного подмножества, дается понятие декартового произведения двух множеств, декартового произведения s множеств. Доказываются формулы декартового произведения с помощью математической индукции.

2. Практическое занятие: «Применение метода математической индукции для изучения свойств конечных множеств»
Доказываются свойства конечных множеств с помощью математической индукции. Решение примеров.

Тема 8. Индукция в геометрии (1ч.)

1. Семинарское занятие: «Индукция в геометрии»

Приводятся примеры применения метода математической индукции в геометрии: деление прямой на интервалы, деление отрезка точками, теорема Эйлера. Решение задач.

В конце изучения курса проводится анкетирование, позволяющее учащимся осознать, чем завершился для них данный курс.

Задания для самостоятельной работы учащихся.

1. Работа с рекомендованной литературой.
2.Самостоятельное изучение некоторых вопросов курса с последующей презентацией.
3.Самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решений:
- И.Н. Антипов, Н.Я. Виленкин Избранные вопросы математики, Москва, «Просвещение», 1979г., с. 13, 15, 17, 20, 23, 26;
- С.А. Гомонов, Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения, Москва, «Дрофа», 2006г. с.84-86
Учебно-методическое обеспечение.

Рекомендуемая литература для учащихся
1. Болдырева М.Х., Дворянинов С.В.и др., «Избранные вопросы школьного курса математики», Выпуск №1, Самара, СИПКРО, 2001г.
2. И.Н. Антипов, Н.Я. Виленкин Избранные вопросы математики, Москва, «Просвещение», 1979г.
3. К.У. Шахно, Элементарная математика для окончивших среднюю школу, Ленинград, 1976г., с. 46-53
4. Универсальная энциклопедия школьника, Математика и программирование, Минск, ТОО «Харвест», 1996г., с. 176-178

Рекомендуемая литература для учителей
1. Болдырева М.Х., Дворянинов С.В.и др., «Избранные вопросы школьного курса математики», Выпуск №1, Самара, СИПКРО, 2001г.
2. И.Н. Антипов, Н.Я. Виленкин Избранные вопросы математики, Москва, «Просвещение», 1979г.
3. С.А. Гомонов, Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения, Москва, «Дрофа», 2006г.
4. Л.Д. Курляндчик, Неравенство Коши, Москва,1987., №5, с.58-59.
5. А.А. Бухштаб, Теория чисел, Москва, Просвещение, 1996г.
6. Н.Б.Васильев, В.Л. Гутенмахер, и др., Метод последовательных приближений, Москва, 1986г.
7. А.Н.Вороной, Пять способов доказательства одного неравенства, Москва, 2000г., № 4, с.12.
8. Соловьев О Огустен Луи Коши и математическая индукция, Москва, 1991г., № 3. с.13-14.
8. К.У. Шахно, Элементарная математика для окончивших среднюю школу, Ленинград, 1976г., с. 46-53
9. Универсальная энциклопедия школьника, Математика и программирование, Минск, ТОО «Харвест», 1996г., с. 176-178