Позиционные системы счисления

Дополнительной домашнее задание: придумайте свою непозиционную сc, указав при этом: какие знаки использовать в качестве цифр, правила по которым формируются из этих цифр числа.

Цель: сформировать у учащихся понятие «позиционные системы счисления»; закрепить понятия «непозиционные системы счисления», «системы счисления».
Задачи:
1. Повторить понятия «система счисления», «непозиционные системы счисления».
2. Ввести понятия: «позиционная система счисления», «основание системы счисления», «алфавит».
3. Провести сравнительный анализ непозиционных и позиционных систем счисления.
Учащиеся должны знать:

• какая система счисления называется позиционной и почему;
• что такое основание системы счисления и алфавит, как они связаны между собой;

Учащиеся должны уметь:

• приводить примеры чисел различных позиционных систем счисления, определять основание систем счисления.

Программно-дидактическое обеспечение: Приложение 1, Приложение 2.

Ход урока

I. Постановка целей урока
1.  На прошлом уроке мы рассмотрели с вами новую тему «Системы счисления», дали определение систем счисления, рассмотрели и определили большую группу систем счисления – непозиционные системы. Сегодня на уроке мы рассмотрим другую группу систем счисления – позиционные.
(слайд 1, Приложение 1)
1. Каковы же были причины для создания позиционных сс? Что привело людей к этому замечательному открытию?
2. Одна ли позиционная сс или их несколько?
2. 3FA4 – это число?
3. Кто и когда считал пятерками и дюжинами?
Но сначала проверка домашнего задания.
II. Проверка домашнего задания. (Приложение 1, слайд 2, содержат анимацию.)
1. Запись LXXIV римскими цифрами означает число 74. Какое число означает запись XLVII? (47)
2. Перед вами «неверные» равенства. Переложите в каждом из них по одной палочке, так, чтобы все «равенства» стали верными
IV – I + V = II           (IV = I + V - II)
X + X = I                   (X – IX = I)
3. Выполните действия (с помощью каких систем счисления записаны числа?) (Приложение 1, слайд 3):
А) MD + СLX (1500 + 160 = 1760 = MDCCLX)
В) НЕ + СПИ (55 + 288 = 343 - ТМГ) (Т – твердо, М – мыслете, Г – глаголь)
4. Кто придумал свою систему счисления: познакомьте нас с ней
Для проверки: записать с помощью этой сс числа 346, 36.
Вопросы: Что называется системой счисления?
К какой категории систем счисления они относятся?
Что называется непозиционной сс?
III. Изложение нового материала.
1. Переход от непозиционных систем счисления к позиционным.
– Каковы недостатки непозиционных систем счисления? (длинная запись, много разных знаков для записи цифр, трудно выполнять арифметические действия, невозможно записать дробные числа)
В связи с вышеназванными недостатками непозиционные сс постепенно уступили место позиционным сс.
Итак, тема сегодняшнего урока – Позиционные системы счисления (слайд 4) (запись в тетрадь)
Системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилоне), у племени Майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение позиционного принципа не было случайностью.
Каковы же были причины для его создания?
Что привело людей к этому замечательному открытию?
Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к истории.
2. История позиционной сс. (Приложение 1, слайд 5)
Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в Древнем Вавилоне примерно в III тысячелетии до нашей эры.
До нашего времени дошли многие глиняные таблички Древнего Вавилона, на которых решены сложные задачи, такие как вычисление корней, отыскание объема пирамиды и др. Для записи чисел вавилоняне использовали всего два знака: клин прямой (вертикальный): - единицы и клин лежачий (горизонтальный): - десятки. Знаки и   служили цифрами в этой системе. Все числа от 1 до 59 записывались с помощью этих знаков, как в обычной иероглифической системе.
Число 60 снова обозначалось тем же знаком Ú, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600, 216 000 и т.д.

Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричная.
В V веке до н.э. у вавилонян появился специальный символ для обозначения пропущенного разряда – аналог 0.
Было много проблем при выполнении расчетов в такой системе счисления, так, например, таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.
Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд.
Современная десятичная сс возникла в Индии (Приложение 1, слайд 7) приблизительно в V в до н.э. Возникновение этой сс стало возможным после величайшего изобретения – цифры 0 для обозначения отсутствующей величины.
3. Современная десятичная сс
В современной десятичной сс используется 10 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, поэтому ее называют десятичной.
– Почему мы называем ниши цифры арабскими? (дело в том, с возникшей в Индии десятичной сс первыми познакомились арабы. Они по достоинству оценили ее и стали использовать при подсчетах в торговых операциях. Именно арабы завезли эту систему в Европу, и с начала XII века десятичная система получила распространение во всей Европе под названием арабской). Будучи проще и удобнее остальных систем, она достаточно быстро вытеснила все другие способы записи чисел.

А сейчас прервемся на физкультминутку:
Физкультминутка коротка,
Встряхнем руками мы слегка,
Потянемся немножко,
Посмотрим мы в окошко.
Присядем мы и встанем,
И опять за парты сядем.

Раз – два – присели, встали.
Три – четыре – руки вверх: потянули, потянули.
Отдохнули? Отдохнули.

Сегодня десятичными цифрами выражается все: время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер.
Особенностью образования чисел в десятичной сс является то, что из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в 10 раз больше правой.
Например, число 333. (презентация, слайд 8). В записи этого числа используется трижды цифра 3. Но вклад каждой цифры в величину числа различный. Первая означает число сотен, вторая – число десятков, третья – число единиц.
– Что можно сказать про «вес» каждой цифры в этом числе? (Если сравнивать «вес» каждой цифры в этом числе, то получится, что первая 3 «больше» второй в 10 раз и «больше» третьей в 100 раз. Этот принцип отсутствует в непозиционных сс).
Не только сама цифра, но и ее место, ее позиция, в числе имеют определенное значение. Поэтому данную сс называют позиционной. (предложить самим сформулировать определение). (презентация, слайд 9)
Позиционная сс – это сс, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.

Французский математик Пьер Симон Лаплас такими словами оценил «открытие» позиционной сс: «Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна». (есть слайд переход по гиперссылке)

Основные достоинства любой позиционной сс – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.
(презентация, слайд 10) Конечная последовательность символов (цифр), с помощью которых записывается число называется алфавитом сс.
Основание позиционной сс – это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел (или количество символов в алфавите).
В десятичной сс 10 цифр, основание равно 10, алфавит состоит из символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Но 10 не единственно возможное основание позиционной сс.
– Сколько можно образовать позиционных сс? (множество, достаточно изменить основание сс). Названия систем счисления образуются по основанию сс (слайд 11): двоичная, пятеричная, восьмеричная и т.д.
– А если основание равно 1? Что это за система? (единичная – унарная, в ее алфавите только 1 символ, это непозиционная сс).
(Приложение 1, слайд 12) Таблицу должны заполнить сами учащиеся по презентации «История счета и систем счисления» (Приложение 2), по 2 человека за ПК, каждому выдается свой вид позиционной сс. Алфавит составляется самостоятельно. Все сводится в единую таблицу. (сидя за ПК, за парты не возвращаться).
Примеры позиционных сс.

3. Выводы:
Позиционные системы счисления отличаются друг от друга алфавитом – множеством используемых цифр. Системы счисления с основанием не больше 10 используют только арабские цифры. Если же основание больше 10, то в роле цифр выступают латинские буквы в алфавитном порядке.
Сравнение позиционной и непозиционной сс:
Самое главное (Приложение 1, слайд 13)

• Различают унарные, позиционные и непозиционные системы счисления
• Известно множество способов записи чисел.
• Наиболее удобными для записи чисел являются позиционные системы, так как в них:
• небольшое количество цифр применяется для записи больших чисел;
• удобно производить арифметические операции.

Ответить на вопросы слайда 1 «Цели урока» (переход по гиперссылке)
Задания на закрепление: (Приложение 1, слайд 13 - 14, у детей в презентации тоже есть эти задачи)

4. Запишите алфавит семеричной сс. (Ответ: 0, 1, 2, 3,4 ,5 ,6.)
5. (дополнительно, презентация, слайд 13) Из межпланетного путешествия астронавты привезли описание климата, природных условий и внешнего вида жителей планеты Z. Вот это описание: «На планете Z нет никакой наземной растительности, почва каменистая. Очень много рек, озер и других водоемов. Поверхность планеты покрыта туманом, часто идут дожди. Растительный же и животный мир водоемов очень разнообразен. Жители планеты Z физически очень сильны, но внешне чрезвычайно отличаются от землян. У каждого жителя планеты Z семь беспалых конечностей, каждая из которых заканчивается подобием присоски, а тело скорее похоже на шар, поэтому невозможно сказать, где верх, а где низ в нашем понимании. На теле есть два глаза». Сделайте предположение о том, какая может быть система счисления у жителей планеты Z.
4. Вопросы для обсуждения (на слайде 15 в Приложении 1)

1. Что называется системой счисления?
2. Что такое алфавит системы счисления?
3. Какие системы счисления вы знаете?
4. Чем отличается позиционная система счисления от непозиционной?
5. Что такое основание системы счисления?

ДОМА: § 4.7 – 4.10, РТ № 11 стр. 9, № 17 стр. 12.