Урок по алгебре и началам анализа в 11-м классе "Решение уравнений и неравенств методом мажорант" (II полугодие, 2 часа)

Задачи урока:

Образовательная:

• решение уравнений и неравенств, содержащих рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические и показательные функции, в сходных и измененных ситуациях, используя метод мажорант;
• провести актуализацию опорных знаний;
• свойства функций непрерывность, монотонность, возрастание и убывание, ограниченность);
• производные функций, производная сложной функции;
• алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции с помощью производной;
• понятие мажоранты функции;
• опорные неравенства;
• алгоритм метода мажорант.
• провести актуализацию умений:

• грамотно использовать свойства функций для нахождения метода мажорант;
• находить производные функций, производную сложной функции;
• находить наибольшее и наименьшее значение функции с помощью производной;
• находить мажоранты функций;
• грамотно использовать опорные неравенства для нахождения мажорант;
• применять алгоритм метода мажорант.

Развивающая: формирование мыслительных операций (анализ, рефлексия, проектирование);

Воспитательная: воспитание у учащихся математической культуры при решении задач.

Ценность урока, прежде всего, в том, что материалы ЕГЭ содержат большое количество заданий, в которых требуются умения находить мажоранты функций, а также решать уравнения и неравенства методом мажорант.

Оборудование: Мультимедийная аппаратура.

ХОД УРОКА

Приглашаются 3 учащихся для работы у доски.

I. В это время на экране высвечивается теоретический материал по данной теме (см. приложение).

Обсуждаются вопросы:

• уравнения и неравенства, решаемые методом мажорант;
• определение мажоранты функции;
• алгоритм метода мажорант;
• опорные неравенства.

II. Устная работа.

Определить мажоранты (если они существуют) и область значений функций:

1)

2)

3)

(опорное неравенство).

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Применим опорное неравенство

если то и

если то

III. Проверка выполненных на доске заданий.

1 учащийся.

Найти мажоранту для функции

с помощью опорного неравенства.

Решение

Используем опорное неравенство

Мажорантой является любое число, большее или равное 12.

2 учащийся.

Найти мажоранту для функции с помощью производной.

Решение.

Непрерывная на R функция имеет единственный экстремум и он минимум, значит, это наименьшее значение функции.

Учитель. Сравнить нахождение мажоранты для одной и той же функции разными способами. Преимущество какого способа очевидно? Почему же для нас все-таки важно уметь находить мажоранту с помощью производной?

3 учащийся.

Найти мажоранту для функции

используя свойства

Решение.

Функция убывающая,

следовательно,

Мажорантой является любое число, меньшее или равное -2.

III. Решение упражнений у доски.

1. Найти мажоранту для функции

с помощью производной.

Решение.

т.к. при любом значении

Найдем критические точки

Так как непрерывная на функция имеет единственный экстремум и он максимум, то это наибольшее значение функции.

2 учащийся.

Решить неравенство

(1)

Решение.

Функция возрастающая,

значит,

Неравенство (1) равносильно системе:

1 – решение системы, следовательно, и неравенства (1).

Ответ: 1.

Вопросы учителя.

1. Если бы система была несовместна?

Ответ: нет решений.

2. Если было бы неравенство

Ответ: решений нет.

Ответ: R.

Ответ:

3 учащийся.

Решить уравнение.

(1).

Решение.

Оценим левую часть уравнения.

Квадратный трехчлен наименьшее значение принимает при

- наименьшее значение квадратного трехчлена.

Функция возрастает на промежутке [-1;1], значит,

Оценим правую часть

(опорное неравенство ).

Уравнение (1) равносильно система

- корень 1 уравнения системы,

- верное равенство,

- решение системы, а значит, и уравнения (1).

Ответ: .

IV. Самостоятельная работа.

1. Решить уравнение, используя свойства функций и опорные неравенства:

I вариант		II вариант
(1)		(1)
Решение
	- функция возрастающая, значит,		Функция - возрастающая, значит,
Уравнение (1) равносильно системе 0 – корень уравнения (1). Ответ: 0.		Уравнение (1) равносильно системе 0 – корень уравнения (1). Ответ: 0.

2. С помощью производной найти мажоранту функции.

Решение.
- критическая точка.	- критическая точка.

На экране высвечивается верное решение самостоятельной работы. Учащиеся осуществляют самоконтроль и самооценку выполненной работы с самостоятельным определением для себя программы регулирования и коррекции знаний по допущенным ошибкам (в рабочей тетради).

Листы с самостоятельными работами сдаются учителю.

V. Итог урока.

Домашнее задание.

1)

2)

3)

4)

5)

ПРИЛОЖЕНИЕ

Тема урока. Метод мажорант.

Основные теоретические положения.

1. Мажорантой данной функции на заданном промежутке называется такое число М, что либо для всех х из данного промежутка, либо для всех х из данного промежутка.

2. Основная идея метода мажорант состоит в следующем. Пусть мы имеем уравнение (1), и существует такое М, что для любого х из ООУ имеем и (или наоборот). Тогда уравнение (1) равносильно системе

3. Опорные неравенства.

1. а) при равенство при

б) при равенство достигается при

2. при равенство достигается при

3.