Ценность урока, прежде всего, в том, что материалы ЕГЭ содержат большое количество заданий, в которых требуются умения находить мажоранты функций, а также решать уравнения и неравенства методом мажорант.
Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков по теме.
Цель урока:
- Дидактическая: закрепить приобретенные ранее знания и умения по теме “Метод мажорант” посредством решения примеров, содержащих рациональные, иррациональные и тригонометрические функции.
- развивающая: формирование мыслительных операций (анализ, рефлексия, проектирование);
- воспитательная: воспитание у учащихся математической культуры при решении задач.
Оборудование: Мультимедийная аппаратура.
Задачи для учащихся:
- Учиться грамотно использовать различные свойства функций для нахождения мажорант, приобретать умения чувствовать, где какие свойства целесообразно применять.
- Приобретать умения по применению опорных неравенств для нахождения мажорант, вырабатывать умения чувствовать, где какие неравенства целесообразно применять.
- Отрабатывать умения четко применять алгоритм метода мажорант.
Ход урока.
Приглашаются 3 учащихся для работы у доски.
I. В это время на экране высвечивается теоретический материал по данной теме (см. приложение).
Обсуждаются вопросы:
- уравнения и неравенства, решаемые методом мажорант;
- определение мажоранты функции;
- алгоритм метода мажорант;
- опорные неравенства.
II. Устная работа.
Определить мажоранты и область значений функций:
*1) *2) *3) *4) 5) *6) ,
7) 8) *9) .
(* отмечены задания, входившие в пробные ЕГЭ).
III. Проверка заданий, выполненных на доске.
1 учащийся.
Решить уравнение.
(1)
Уравнение (1) равносильно системе
Осуществим отбор решений системы с помощью единичной окружности:
- решения
системы, следовательно, уравнения (1).
Ответ: 
.
2 учащийся.
Решить уравнение.
(1)
Решение
;
;
, так как
для
;
Уравнение (1) равносильно системе:
8 – корень 1 уравнения системы.
3=3. равенство верное, 8 – решение системы и корень уравнения (1).
Ответ: 8.
3-й учащийся.
Решить неравенство.
; (1).
Решение.
;
Оценим левую часть на промежутке 
;
;
Неравенство (1) равносильно системе
2 – корень 2-го уравнения системы.
- равенство
верное, следовательно, 2 – решение системы, а
значит, и неравенства (1).
Вопросы:
1) Если бы система была несовместна?
Ответ: решений нет.
2) Если было бы неравенство:
Ответ: решений нет. 
Ответ: .
Ответ: .
IV. Самостоятельная работа (12 минут)
1. Решить уравнения.
I вариант.
(1)
Решение.
;
;
Уравнение (1) равносильно системе
0 – корень 2 уравнения системы;
- равенство верное;
0 – решение системы, а значит, корень уравнения (1).
Ответ: 0.
II вариант.
;
Решение.
;
;
;
Уравнение (1) равносильно системе
0 – корень 2 уравнения системы;
равенство
неверное, значит, система несовместна. Уравнение (1) не имеет корней.
Ответ: корней нет.
2. Составить уравнения или неравенства, используя данные функции. 1) 2)
3)
4)
при
5)
1) и 4) одно уравнение и 4 неравенства; 2) и 4) одно уравнение и 4 неравенства;
3) и 5) одно уравнение и 4 неравенства.
На экране высвечивается верное решение самостоятельной работы. Учащиеся осуществляют самоконтроль и самооценку выполненной работы с самостоятельным определением для себя программы регулирования и коррекции знаний по допущенным ошибкам (в рабочей тетради).
Листы с самостоятельными работами сдаются учителю.
V. Решение упражнений у доски.
1 учащийся.
Решить уравнение
(1).
Решение.
ООУ=[2;4]. .
Сравним с числом 2 левую часть
при 
;
;
;
;
;
, значит, 
;
Уравнение (1) равносильно системе
3 – корень 2 уравнения системы;
- равенство
верное, 3 – решение системы, а значит, и уравнения
(1).
Ответ: 3.
В это время другой учащийся у доски находит
мажоранту функции 
с помощью производной.
Найдем критические точки
3 – внутренняя точка 
и 
следовательно, 3 – критическая точка.
Непрерывная на данном отрезке функция имеет единственный экстремум, он максимум, значит это наибольшее значение функции.
Учитель. Несмотря на то, что способ нахождения наибольшего и наименьшего значения с помощью производной достаточно громоздкий, иногда он бывает единственно возможным. Поэтому владеть им необходимо.
2 учащийся.
Решить уравнение.
(1).
Найдем значения х, при которых возможно существование корней уравнения (1).
При 
возможно существование корней.
На промежутке [1;3] функция g(x) принимает наименьшее значение 0.
При 
;
На данном промежутке
принимает
наибольшее значение 0.
Уравнение (1) равносильно системе
2 – корень 2 уравнения системы;
при x=2 равенство 
неверно; 2 не является решением
системы, а значит, уравнение (1) не имеет корней.
Ответ: корней нет.
3 учащийся.
Решить систему уравнений:
(1).
Решение.
при 
; 
Следовательно, первое уравнение
равносильно системе:
Система (1) примет вид
Ответ: 
VI. Итог урока.
Домашнее задание
1. Решить уравнения
2 sin x = 5х2 +2х +3.
.
Решить неравенство
2. Составить 3 уравнения, решаемые методом мажорант.
При этом включить в уравнения функции, аналогичные функциям из самостоятельной работы, в которых при нахождении мажорант были допущены ошибки.
Приложение
Тема урока. Метод мажорант.
Основные теоретические положения.
Мажорантой данной функции 
на заданном промежутке
называется такое число М, что либо 
для всех х из
данного промежутка, либо 
для всех х из данного
промежутка.
Основная идея метода мажорант состоит в
следующем. Пусть мы имеем уравнение 
(1), и существует
такое М, что для любого х из ООУ имеем и 
(или наоборот). Тогда уравнение (1)
равносильно системе
3. Опорные неравенства.
1. а) 
при 
равенство при 
б) 
при 
равенство достигается
при 
2. 
при 
равенство достигается
при 
3. 