Урок-семинар "Прогрессия - движение вперед"

Цели урока:

• Обучающая. Формирование и применение прогрессии в истории, биологии, физике.
• Развивающая. Развитие логических операций: анализа и синтеза через решения задач практического характера.
• Воспитательная. Расширение умственного кругозора учащихся, повышение их общей культуры с целью лучшего понимания роли математики в современном обществе.

Задачи урока:

• Познакомить учащихся с историческими задачами из первоисточников;
• Научить учащихся самостоятельно работать с дополнительной литературой;
• Продолжить формирование у учащихся умение составлять и делать доклады по заданной теме;
• Продолжить формирование у учащихся умение анализировать полученную информацию и делать научно обоснованные выводы;
• Развивать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации;
• Развивать интерес к математике.

План проведения урока-семинара.

Вступительное слово учителя.

Опрос учащихся по теме "Прогрессии".

Доклады "ученых":

• Алгебраические задачи в Древнем Египте и Индии.
• Мир бактерий.
• Радиоактивные элементы таблицы Д. И. Менделеева.
• Реальный процесс и его математическое описание.

(После каждого доклада ученики решают задачи и делают выводы, записывая их на рабочий лист)

Подведение итогов урока.

Подготовка к уроку.

За месяц до проведения урока-семинара учитель предлагает 4 учащимся класса темы для докладов, рекомендует дополнительную литературу и помогает в подборе материала для доклада, а группа из 3-4 учеников готовит демонстрационные таблицы.

Методы:

• Объяснительно-иллюстрированный.
• Репродуктивный.
• Частично-поисковый. Дети овладевают элементарными поисками знаний.
• Проблемное изложение материала.

Оснащение:

• Справочная таблица "Прогрессии".
• Демонстрационная таблица "Алгебраические задачи в Древнем Египте и Индии".
• Демонстрационная таблица "Мир бактерий".
• Демонстрационная таблица "Радиоактивный распад урана".
• Периодическая таблица Д.И. Менделеева.
• Демонстрационная таблица "Реальные процессы и показательная функция".
• Рабочий лист для каждого ученика.

Ход урока.

I. Вступительное слово учителя.

Ребята, сегодня мы с вами проводим семинар на тему "Прогрессия - движение вперед". На нашем семинаре присутствуют группы:

• историков,
• биологов,
• физиков,
• математиков.

Перед каждой группой "ученых" на столах табличка: "историки", "биологи", : и т.д.

На доске написана программа семинара. В ходе семинара мы попробуем выяснить:

• Алгебраические вопросы в Древнем Египте и Индии (докладчик Ф.И.О.);
• Мир бактерий (докладчик Ф.И.О.);
• Радиоактивные элементы таблицы Д.И.Менделеева (докладчик Ф.И.О.),
• Реальный процесс и его математическое описание (докладчик Ф.И.О.).

А начнем мы урок с ответов на вопросы, которые подготовят вас к лучшему восприятию новой для вас информации.

II. Опрос учащихся.

(учитель проводит опрос учащихся по следующим вопросам, записанным на доске).

1. Сформулируйте определение последовательности.
2. Назовите способы задания последовательности.
3. Назовите особые виды последовательности.
4. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.
5. Сформулируйте характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Учитель: Ребята, вы хорошо подготовились к опросу, а значит, вам будет легче понять доклады наших уважаемых "ученых". По ходу семинара вам надо будет кое-что законспектировать из этих докладов, решим ряд задач и запишем некоторые выводы. Для этого каждому из вас выдан рабочий лист (см. приложение).

А чем внимательнее вы будете слушать докладчиков, тем легче вам будет понять для чего ученые, работающие в разных или одном направлении, собираются на семинарах и конференциях.

III. Выступление ученых.

Учитель: Итак, давайте послушаем ученого-историка.

"Алгебраические задачи в Древнем Египте и Индии".

Докладчик № 1: История элементарной математики имеет дело с событиями очень давними и мало исследованными.

Древние греки, математическая культура которых явилась фундаментом, на котором построена современная математика, считали себя учениками египтян.

В древнем Египте, конечно, наука была недоступна ни крестьянину, ни ремесленнику. Государственная организация орошения и земледельческих работ, сбор налогов, ведение отчетности - все эти операции, планомерно проводимые с помощью многочисленных кадров специально обучаемых чиновников, были бы совершенно немыслимы без систематизации основных арифметических и геометрических факторов, без их теоретического осмысления.

До наших времен почти неповрежденными дошли два документальных произведения, своего рода математическая литература, или лучше сказать, учебные пособия, в которых можно найти как юридические документы, так и хозяйственные записи с математическими расчетами.

Как и все египетские тексты, эти произведения написаны на папирусе. Один из них, "папирус Райнда" (Rhip), названный так по имени первого своего владельца, хранится в Британском музее в Лондоне. Второй математический папирус находится в нашей стране и хранится в московском Музее изобразительных искусств им. А.С.Пушкина.

Эпоха, в которую написаны упомянутые математические папирусы, определяется специалистами лишь приблизительно. Их относят, примерно, к XVIII веку до н.э.

Наряду с задачами, содержание которых носит практический характер, в папирусах мы находим и явно надуманные , имеющие характер "развлекательных задач".

В этом нет ничего удивительного; такого рода задачи помещались во все эпохи в самых практических ориентированных руководствах. Назначение их совершенно понятно: они служат целям и тренировке учащихся.

В "папирусе Райнда" имеется задача, изложенная правда, в чрезвычайно скупой форме, но, несомненно, требующая нахождения суммы геометрической прогрессии.

Опись домашнего хозяйства.

1 2801 дома 7

2 5602 кошки 49

3 11204 мыши 343

Вместе 19697 ячмень 2401

меры 16807

вместе 19607

Формировка условия задачи, как мы видим отсутствует. Именно, очевидно, мы имеем дело с задачей - шуткой:

имеется 7 домов, в каждом доме 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев ячменя, каждый колос, если посеять его зерна, дает 7 мер зерна. Найти сумму общего числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер.

Прежде всего, не может быть сомнения в том, что здесь мы имеем облеченную в "занимательную" форму, отвлеченную задачу на геометрическую прогрессию. Это вытекает хотя бы из того, что само по себе бессмысленно складывать числа разнородных предметов.

С задачей на нахождение суммы геометрической прогрессии, которая намного моложе первой, ей всего-то 2000 лет, мы встречаемся и в древней индийской легенде об изобретателе шахмат. В ней говорится, что он потребовал за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, а за каждую следующую - вдвое больше, чем за предыдущую клетку. Человеку трудно представить себе порядок величины 2⁶⁴ - 1 (общее число зерен, плату за изобретение шахмат). Если грубо заметить

2¹⁰ = 1024 на 10³ , то 2⁶⁴ = 2⁴  2⁶⁰ ? 16  10¹⁸ = 1,6  10¹⁹

Достаточно сказать, что расстояние от Земли до Солнца в миллиметрах приблизительно равно 1,5  10¹⁴ ,так что, считая диаметр зерна за 1 мм, можно этими зернами 100 тысяч раз уложить путь до Солнца.

После выступления докладчика учитель благодарит учащегося и просит учащихся сделать и записать вывод 1:

- с геометрической прогрессией люди знакомы очень давно (186 до н.э.) (запись на рабочий лист).

Учитель: А сейчас слово предоставляется ученому-биологу.

"Мир бактерий".

Докладчик № 2: Бактерии - относительно просто устроенные микроскопические одноклеточные организмы.

Практически нет места на Земле, где бы ни встречались бактерии. Они живут во льдах Антарктиды при t - 83⁰С и в горячих источниках, t которых достигает + 85⁰ до - 90⁰С. Особенно много их в почве. В 1 г почвы могут содержаться сотни миллионов бактерий. Число бактерий различно в воздухе проветренных и непроветренных помещений. Так, в классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока. Условия жизни бактерий разнообразны. Одним из них необходим кислород воздуха, другие в нем не нуждаются и способны жить в бескислородной среде.

Бактерии - важнейшее звено общего круговорота веществ в природе (разложение и гниение). Они своеобразные санитары нашей планеты.

Молочнокислотные бактерии используют в пищевой промышленности. Есть бактерии, которые портят рыболовные сети, редчайшие рукописи и книги в книгохранилищах. Некоторые виды бактерий - паразиты проникают в организм человека и поселяются там, вызывая заболевания.

Но всевозможные виды бактерий размножаются делением одной клетки на две. При благоприятных условиях деление клеток у многих бактерий может происходить через каждые 20-30 минут. При таком быстром размножении потомство одной бактерии за 5 суток способно образовать массу, которой можно было бы заполнить все моря и океаны. Однако в природе этого не происходит, так как большинство бактерий быстро погибает под действием солнечного света, при высушивании, нагревании до 65⁰ - 100⁰С, под действием дезинфицирующих веществ, в результате

Учитель: Спасибо докладчику за интересное сообщение, а, вы, ребята, зная, как размножаются бактерии, решите задачу № 1:

(учитель для решения задачи к доске вызывает ученика)

Каждое простейшее одноклеточное животное, например бактерии, размножаются делением на две части. Сколько бактерий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320?

После решения задачи учитель с учениками делает вывод №2:

-формулу n-го члена геометрической последовательности используют при нахождении первоначального числа бактерий (запись на рабочий лист).

Учитель: Слово предоставляется ученому-химику.

"Радиоактивные элементы таблицы Д.И.Менделеева".

Докладчик № 3: Атом любого химического элемента - как бы крохотная Солнечная система. Очень маленькое ядро атома (радиус ядра в 100 000 раз меньше радиуса всего атома), состоит из частиц 2-х видов - протонов и нейтронов. Число протонов равно порядковому номеру в таблице Менделеева, а число нейтронов - разности между округленной относительной атомной массой и порядковым номером элемента.

Многие химические элементы радиоактивны, т.е. у них происходит самопроизвольное превращение неустойчивых атомных ядер в ядра других элементов. Так под № 92 в таблице Менделеева находится уран, это серебристо-белый блестящий металл; природный уран состоит из смеси трех изотопов: ²³⁸U, ²³⁵U, ²³⁴U. Все эти изотопы при радиоактивном распаде испускают альфа-частицы (ядра гелия). Период полураспада ²³⁸U огромен (4,5110⁹ лет) и сравним с возрастом Земли.

Изотопы урана самые тяжелые, сохранившиеся на нашей планете со времен ее формирования. Дочерние ядра, образующиеся в результате распада изотопов урана также радиоактивны, распадаясь, они дают новые дочерние ядра. Таким образом, образуется длинная цепочка радиоактивных превращений. Наиболее вероятным при радиоактивном распаде (в реакции деления) является деление ядра на две части.

Учитель: Поблагодарим докладчика за новую для нас информацию и решим задачу №2: (у доски учеником решается задача № 2)

При распаде радиоактивного вещества, каждые 5 дней теряется половина его массы. На сколько уменьшится масса радиоактивного вещества, равная 256 г за 30 дней?

После решения делается вывод №3:

-при нахождении изменения массы радиоактивного вещества используется формула суммы n первых членов геометрической прогрессии (запись на рабочий лист).

Учитель: Ребята, я хочу обратить ваше внимание на следующий факт, что

период полураспада, т.е. время, через которое после начального момента, масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое, для каждого из тяжелых ядерных элементов различен. (Все элементы находятся в конце периодической системы).

(ученикам предлагается ознакомиться с периодами полураспада некоторых радиоактивных элементов, занесенных в таблицу) (см. приложение)

Учитель: При решении задач мы рассматривали некоторые реальные процессы: размножение бактерий и распад радиоактивного вещества. В одной из них, чтобы ответить на вопрос задачи мы применили формулу n-го члена геометрической прогрессии, а в другой - формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии. Таким образом, мы можем сделать вывод №4:

- рост или затухание некоторых реальных процессов происходит со скоростью геометрической прогрессии (запись вывода на рабочем листе).

Прежде, чем предоставить слово последнему докладчику № 4 на тему "Реальный процесс и его математическое описание", давайте с вами выполним следующее задание №3: ( ученики выполняют задание самостоятельно)

Построить два графика:

а) график функции у = 2^x , где х N, т.е. изображения членов геометрической прогрессии 2, 2² , 2³ ,:. 2ⁿ (в = 2 ; q = 2)

б) график функции у = 2^x , х > 0

а)

б)

 

Учитель, сравнивая оба графика с учениками, подводит их к следующему выводу№5:

-один и тот же процесс изменения некоторых величин можно математически описать с помощью показательной функции (непрерывно), которую мы будем изучать в старших классах и соответствующей геометрической прогрессией, которая учитывает лишь отдельные состояния этого процесса (дискретно).

(запись вывода на рабочем листе)

Учитель: Слово предоставляется ученому-математику

"Реальный процесс и его математическое описание".

Докладчик № 4: Из выше изложенного мы можем сделать вывод, что в естествознании и технике встречаются процессы, рост или затухание которых происходит быстрее, чем у любой из степенной функции вида у = х^к, где

к - рациональное число.

К ним относятся такие процессы как радиоактивный распад, рост колонии живых организмов (в частности бактерий), а также изменение атмосферного давления с изменением высоты, изменение количества людей на небольшом отрезке времени и многие другие.

Из доклада по истории мы узнали, что поразительное явление быстрого роста членов геометрической прогрессии, т.е. чисел вида cqⁿ было известно уже за много веков до нашей эры. И лишь с конца XVII века, стали систематически рассматриваться зависимости типа у = cq^x , в которых переменная х принимает не только целые значения. Такие функции называются показательными. Они обладают замечательным свойством: скорость их роста пропорциональна значению самой функции.

Учитель: Показательные функции находят важнейшие применения при изучении природных и общественных явлений. Некоторые из них приведены в таблице "Реальные процессы и показательная функция", которую я представляю вашему вниманию (см. приложение).

(Ученики работают по таблице в ознакомительном порядке)

IV. Подведение итогов урока.

Учитель: Дорогие ребята! Наш семинар подходит к концу, мы благодарим всех "учёных", выступивших перед нами. А я ещё раз хочу обратить ваше внимание на тему нашего семинара "Прогрессия- движение вперёд", она выбрана не случайно.

Само слово "прогрессия" латинского происхождения (progressio) буквально означает "движение вперёд" (как и слово "прогресс") и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VI в.в.).

Мы с вами, переходя из класса в класс, изучая тему за темой, тоже двигаемся вперёд к достижению всё новых высот знаний, расширяя умственный кругозор и повышая свою общую культуру, стараясь лучше понять роль математики в современном обществе.

(Далее учитель объявляет оценки, которые заработали докладчики и ученики, которые готовили демонстрационные таблицы и решавшие у доски, а также отвечавшие с мест ученики класса).

Приложение.