В 9 классе по учебнику Алгебра-9 под ред. Дорофеева Г. В. учащиеся завершают изучение вероятностно-статистической линии всего курса основной школы. Здесь осуществляется переход от описательной статистики к начальному знакомству с математической статистикой. В последней теме курса основной школы учащиеся изучают примеры комплексных статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристик, а также вводятся некоторые новые понятия, отражающие специфику данного исследования.
При решении задач учащимся придется выполнять много математических расчетов. Актуальным становится и умение находить отношение величин и выражать их в процентах. Придется также планировать собственную деятельность, понимать содержание описанного алгоритма и самостоятельно действовать в соответствии с его этапами. Поэтому изучение этого раздела даст серьезный импульс для совершенствования вычислительных умений школьников, развития алгоритмического мышления.
При описании исследования используются уже известные учащимся вероятностно-статистические понятия, а также вводятся некоторые новые. Новые понятия возникают естественным путем, когда этого требует логика изложения. В связи с этим по ходу ознакомления с материалом полезно составлять словарь новых терминов. Он будет выглядеть так: генеральная совокупность, выборочное исследование, репрезентативная выборка, ранжирование данных и т.д. Надо стремиться к тому, чтобы учащиеся понимали выписанные термины и могли использовать их в речи.
Цель задач этого пункта – осознание приемов проведения статистических исследований, освоение введенных терминов. Каждая из задач является комплексной, многошаговой. Проведение исследований, составляющих содержание задач, как и реальных статистических исследований, должно осуществляться в ходе коллективной работы. Результаты исследования какой-либо из групп должны быть представлены в классе для общего обсуждения.
Задача № 675
Закинул старик в реку невод. Пришел невод с
таким уловом (в порядке вытаскивания):
П, О,Л, С, Я, П, К, О, З, К, П, К, Я, С, О, П, П, Л, О, О, Л, С, О,
П, Л, П, К, Л, К, П, П, С, П, П, З, К, Я, П, З, С, О, О, Я, П, П,
О, Л, С, Л, С, П, О, П, Л, К, С, О, Я, Л, П, С, О, Л, П, О, К, Л,
П, О, О, П, О, Я, Л, П, С, П, О, Л, П, З. Буквами
обозначены: З – Золотая рыбка; К - Карась; Л – Лещ;
О – Окунь; П – Пескарь; С – Сом; Я – Язь.
а) Произведите ранжирование ряда данных в
алфавитном порядке.
б) Составьте таблицу относительных частот.
в) Какой процент пойманной рыбы составляют
золотые рыбки?
г) Используя полученную стариком выборку,
оцените, какие виды рыб наиболее и наименее
распространены в местах, где старик закинул
невод.
Решение.
а) Ранжируем числовые данные в алфавитном порядке.
З, З, З, З;
К, К, К, К, К, К, К, К;
Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л;
О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О;
П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П;
С, С, С, С, С, С, С, С, С, С;
Я, Я, Я, Я, Я, Я.
б) Составим таблицу относительных частот.
| Вид рыбы | З | К | Л | О | П | С | Я |
| Частота | 4 | 8 | 13 | 17 | 22 | 10 | 6 |
| Относительная частота, % | 5 | 10 | 16 | 21 | 28 | 12 | 8 |
в) 5 % всей рыбы составляют золотые рыбки.
г) Более распространены в местах лова: лещи, окуни, пескари; менее – караси, язи, золотые рыбки.
Задача № 676
В детском обувном магазине за декаду было куплено 750 пар обуви. Кладовщик Калошин проводил статистическое исследование и с этой целью записывал размеры каждой пятой из затребованных пар. Эти числа составили следующий ряд данных: 23, 24, 16, 21, 18, 17, 20, 23, 18, 16, 19, 18, 22, 19, 21, 17, 24, 15, 23, 19, 16, 22, 18, 24, 19, 17, 22, 19, 15, 23, 21, 23, 19, 23, 17, 22,16, 19, 22, 18, 20, 15, 21, 23, 19, 18, 23, 22, 20, 17, 19, 23, 21, 24, 22, 23, 20, 22, 21, 18, 16, 19, 22, 23, 20, 24, 21, 19, 24, 16, 20, 23, 24, 18 22, 17, 15, 21, 24, 20, 19, 17, 21, 20, 15, 23, 24, 18, 16, 22, 23, 24, 21, 15, 23, 22, 20, 23, 19, 20, 17, 22, 19, 20, 24, 15, 23, 18, 22, 23, 15, 21, 24, 19, 18, 19, 17, 15, 19, 23, 20, 17, 22, 23, 20, 18, 22, 19, 20, 18, 19, 24, 18, 16, 21, 24, 17, 15, 20, 22, 21, 24, 22, 18, 22, 18, 24, 15, 21.
а) Постройте таблицу частот.
б) Определите моду ряда (самый распространенный
размер).
в) Постройте диаграмму частот.
г) Найдите средний размер по этой выборке.
Решение.
а) Сначала при просмотре всей выборки выясним, какие в ней встречаются размеры, и расположим их в порядке возрастания: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Далее подсчитаем количество пар каждого размера в выборке (т.е. частоту появления каждого размера) и сведем данные в таблицу
| Размер обуви | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| Частота | 12 | 8 | 11 | 16 | 19 | 15 | 14 | 19 | 20 | 16 |
Подсчеты можно вести с помощью ранжирования ряда.
б) Мода данного ряда – число 23.
в) Воспользуемся данными таблицы для построения диаграммы частот, в которой по горизонтальной оси отложены номера имеющихся размеров, по вертикальной оси – количество пар каждого размера.
г) Найдем средний размер. Для этого сначала вычислим сумму всех членов ряда: 15 ·12 + 16 · 8 + 17· 11 + 18 · 16 + 19 · 19 + 20 · 15 + 21 · 13 + 22 · 19 + 23 · 20 + 24 ·16 = 3000, затем общее количество ленов ряда. Это удобно сделать, сложив частоты: 12 + 8 + 11+ +16 + 19 + 15 + 14 + 19 + 20 + 16 = 150, далее, разделив первый результат на второй, получим средний размер: 3000 / 150= 20.
Задача № 677
На некотором маршруте метрополитена провели исследование пассажиропотока. Для этого каждый час в случайно выбранном вагоне электропоезда на протяжении всего пути считали число пассажиров разных возрастов. Результаты исследования представлены в следующей таблице.
| Время Возраст |
6 ч 30 мин | 7 ч 30 мин | 8 ч 30 мин | 9 ч 30 мин | 10 ч 30 мин | 11 ч 30 мин |
| До 7 | 1 | 3 | 5 | 13 | 16 | 11 |
| 7-10 | 3 | 5 | 15 | 20 | 11 | 5 |
| 10-20 | 9 | 11 | 20 | 18 | 15 | 7 |
| 20-30 | 15 | 25 | 38 | 35 | 17 | 15 |
| 30-40 | 12 | 36 | 50 | 42 | 37 | 18 |
| 40-50 | 15 | 31 | 43 | 36 | 29 | 12 |
| 50-60 | 4 | 9 | 24 | 17 | 16 | 14 |
| 60-70 | 1 | 4 | 5 | 5 | 6 | 6 |
| Старше 70 | 0 | 2 | 0 | 3 | 1 | 2 |
а) Определите час пик – время, когда в вагоне
едут максимальное число людей.
б) Найдите время, когда относительная частота
возрастной категории от 30-40 лет максимальна.
в) Какой процент пассажиров вагона,
отправившегося в 11ч 30 мин, составляют люди в
возрасте от 20 до 50 лет?
Решение.
а) Чтобы определить час пик, найдем общее количество людей, едущих в вагоне, каждый час. Для этого проссумируем данные таблицы по столбцам.
| Время | 6 ч 30 мин | 7 ч 30 мин | 8 ч 30 мин | 9 ч 30 мин | 10 ч 30 мин | 11 ч 30 мин |
| Количество людей | 60 | 126 | 200 | 189 | 146 | 90 |
Из выборки видно, что час пик наступает в 8ч 30
мин.
б) Сначала найдем относительную частоту
указанной возрастной категории за каждый час.
Для этого, воспользовавшись исходной таблицей и
таблицей из пункта а), вычислим отношение
числа людей данного возраста к общему числу
людей в вагоне.
| Время | 6 ч 30 мин | 7 ч 30 мин | 8 ч 30 мин | 9 ч 30 мин | 10 ч 30 мин | 11 ч 30 мин |
| Относительная частота числа людей в возрасте от 30 до 40 лет (в долях и в процентах) | 1/5 (20 %) |
2/7 (29 %) |
? (25 %) |
14/63 (22 %) |
? (25 %) |
1/5 (20%) |
Таким образом, искомое время – 7 ч 30 мин.
в) В вагоне, отправляющемся в 11 ч 30 мин, находятся
15 + 18 + 12 = 45 пассажиров в возрасте от 20 до 50 лет.
Они составляют 45/90 = 0,5, т.е. 50 % пассажиров вагона.
Задача № 678
Девятиклассники отгадывали кроссворд (каждый самостоятельно). После этого они сравнили число неразгаданных слов. Данные представлены в таблице:
| Имя | Вася | Петя | Валя | Катя | Гена | Аня | Гоша | Вера | Оля | Дима | Галя | Паша | Таня | Зоя | Боря | Лена | Тоня | Ваня |
| Число неразгаданных слов | 3 | 2 | 1 | 2 | 4 | 3 | 1 | 2 | 3 | 3 | 2 | 4 | 3 | 2 | 4 | 2 | 1 | 3 |
а) Для каждого количества неразгаданных слов
найдите число ребят, не отгадавших ровно
столько-то слов.
б) Какая величина для каждого исхода будет
определена, если каждое из чисел, найденных в
пункте «а», разделить на число ребят в классе?
в) Составьте таблицу относительных частот.
г) Постройте полигон относительных частот.
д) Найдите процент ребят, не разгадавших более
двух слов.
е)Найдите среднее число слов неразгаданных в
кроссворде.
Решение.
а)
| Неразгаданные слова | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Число ребят | 3 | 6 | 6 | 2 |
б) Если каждое из чисел, найденных в пункте «а», разделить на число ребят в классе, то получится частота появления события « число ребят, неразгадавших столько-то слов».
в)
| Неразгаданные слова | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Число ребят | 3 | 6 | 6 | 2 |
| Относительная частота, % | 18 | 35 | 35 | 12 |
г) Полигон относительных частот.
д) Не разгадали более двух слов 35 % + 12 % = 47 % учащихся.
е) Среднее число неразгаданных слов (1 · 3 + 2 · 6 + 3 · 6 + 4 · 12) : 17 = 81 : 17 ~ 4 слова
Задача № 679
Известно, что «о» – самая распространенная гласная в русском языке. Прочитайте отрывок из петербургской повести А.С. Пушкина «Медный всадник»:
На берегу пустынных волн
Стоял он, дум великих полн,
И вдаль глядел. Пред ним широко
Река неслася; белый челн
По ней стремился одиноко.
По мшистым, топким берегам
Чернели избы здесь и там,
Приют убого чухонца;
В тумане спрятанного солнца,
Кругом шумел.
И думал он:
Отсель грозить мы будем шведу,
Здесь будет город заложен
Назло надменному соседу.
Природой здесь нам суждено
В Европу прорубить окно,
Ногою твердой встать при море.
Сюда по новым им волнам
Все флаги в гости будут к нам,
И запируем на просторе.
а) Подтверждает ли этот отрывок правильность
утверждения, приведенного в условии задачи?
б) Сравните относительные частоты гласный «у» и
«и» в стихотворении.
в) Постройте полигон относительных частот
появлении гласных в этом отрывке.
Решение.
а) Для каждой гласной подсчитаем, сколько раз она встречается в тексте.
| Гласная | а | я | у | ю | о | ё | ы | и | э | е |
| Частота | 23 | 5 | 21 | 3 | 47 | 2 | 8 | 24 | 0 | 35 |
Из таблицы видно, что гласная «о» действительно встречается в тексте чаще, чем любая другая гласная.
б) Всего в стихотворении 23 + 5 + 47 + 2 + 21 + 3 + 8 + 24 + 0 + 35
= 168 гласных.
Относительная частота буквы «у» равны 21:168,
относительная частота буквы «и» – 24 : 168.
следовательно, относительная частота буквы «и»
больше.
в) Сначала найдем относительную частоту появления каждой буквы (в процентах).
| Гласная | а | я | у | ю | о | ё | ы | и | э | е |
| Относительная частота, % | 14 | 3 | 13 | 2 | 28 | 1 | 5 | 14 | 0 | 21 |
Теперь построим полигон относительных частот.
Задача № 680
Фирма «Буренка и компания» производит молоко разной жирности. Объемы продаж за месяц сведены в диаграмме.
а) Определите наиболее популярный сорт молока.
б) Какой процент проданного количества молока
составляет полностью обезжиренное?
в) Считая, что всего было продано 40 000 литров
молока, составьте таблицу частот.
г) Определите средний процент жирности
потребляемого молока.
Решение.
а) Наиболее популярный сорт молока 3,5 % жирности.
б) Полностью обезжиренное молоко составляет 10 %.
в) Составим таблицу частот, считая, что было
продано 40 000 литров молока.
| Жирность молока, % | 0,0 | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,5 | 3,5 | 5,0 |
| Относительная частота, % | 10 | 5 | 5 | 15 | 20 | 30 | 15 |
| Частота (всего 40 000 литров молока) | 4 000 | 2 000 | 2 000 | 6 000 | 8 000 | 12 000 | 6 000 |
г) Средний процент жирности потребляемого молока.
(4000 · 0 + 0,5 · 2 000 + 2 000 · 1,0 + 1,5· 6 000 + 2,5 · 8 000 + 3,5 · 12 000 + 5 · 6 000) : 40 000 = 104 000 : 40 000 = 2,6 %.
Задача № 681
Администрация города опубликовала данные о числе комнат в квартирах горожан. Результаты показаны в диаграмме.
Чтобы проверить эти данные, представители
независимой организации ста прохожим на улице
задали вопрос: «Сколько комнат в вашей
квартире?». Ниже приведены ответы в порядке
поступления: 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 2, 5, 1, 1,
2, 5, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 6, 1, 1, 6, 2, 3, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 5, 4, 2, 1,
2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 4, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 2, «. 4, 3, 3, 6, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 1,
5, 3, 1, 2, 2, 2, 5, 1, 3, 1, 2, 4, 2, 3, 6, 3, 2, 4.
Соответствуют ли данные, полученные по выборке,
приведенной диаграмме?
Решение.
Ранжируем числовые данные в порядке возрастания. В результате ранжирования ряд примет вид:
1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 , всего опрошенных 100 человек.
Составив таблицу относительных частот.
| Число комнат | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Частота | 30 | 35 | 15 | 10 | 5 | 5 |
| Относительная частота, % | 30 | 35 | 15 | 10 | 5 | 5 |
Построим диаграмму частот.
Диаграмма исходная и получившаяся совпадают, то данные полученные по выборке соответствуют приведенной диаграмме.
Ответ: соответствуют.
Задача № 682
Среди учащихся школы был проведен опрос на тему «Трудно ли вам учиться?». Опросили мальчиков – учеников 9 класса. Как вы думаете, можно ли считать эту выборку учеников репрезентативной:
а) если нужно выяснить степень нагрузки в целом
по школе?
б) если нужно получить данные по 9 классу?
Решение.
а) Для получения объективных данных по школе,
нужно, чтобы в опросе участвовали учащиеся всех
классов, а не только девятиклассники.
Следовательно, выборка не является
репрезентативной.
б) Нет, так как в опросе не участвовали девочки.
Задача № 683
Определите, является ли репрезентативной выборка:
а) число автомобильных аварий в июне, если
необходимо составить статистический отчет по
авариям в городе за год;
б) городские жители при подсчете числа
автомобилей на душу населения в стране;
в) люди в возрасте от 40 до 50 лет при выяснении
рейтинга молодежной телепрограммы.
Решение.
а) Выборка не является репрезентативной. Летом
нет снега и наледи на дорогах, а это одна из
основных причин аварий.
б) Выборка не является репрезентативной. Понятно,
что в городе машин намного больше, чем в сельских
районах. Это необходимо учитывать.
в) Выборка не является репрезентативной. Люди в
возрасте от 40 до 50 лет едва ли проявят интерес к
программе, ориентированной на молодежную
аудиторию. При использовании такой выборки,
рейтинг может сильно упасть, но это не отразит
реального положения вещей.
Задача № 684
Статистика аварий говорит о том, что за 10 лет пришествия на самолетах авиакомпании ABC происходили в три раза чаще, чем у компании DEF, но в два раза реже, чем на лайнерах компании GHI.
а) Определите относительную частоту
происшествий на самолетах компании DEF.
б) Постройте диаграмму относительных частот
аварий.
в) Если всего за 10 лет случилось 300 происшествий,
то сколько пришлось на каждую компанию?
Решение.
а) Пусть на самолетах компании DEF произошло х аварий. Тогда на самолетах компании ABC произошло 3х аварий, а на самолетах компании GHI – 6х аварий. Всего произошло 10х аварий. Относительная частота происшествий на самолетах компании DEF составляет х : 10х = 0,1, т.е. 10 %.
б) Составим таблицу относительных частот.
| Авиакомпания | ABC | DEF | GHI |
| Относительная частота аварий, % | 30 | 10 | 60 |
Построим диаграмму относительных частот: по горизонтальной оси укажем названия авиакомпаний, а по вертикальной оси – относительную частоту.
в) Вычислим количество происшествий за 10 лет.
| Авиакомпания | ABC | DEF | GHI |
| Количество аварий | 90 | 30 | 180 |
Затем учащиеся знакомятся с понятием
интервальный ряд и гистограмма. Особо стоит
обратить внимание на то, что при построении
интервального ряда можно по-разному
разбивать его на промежутки. Поэтому при решении
одной и той же задачи могут получаться разные
гистограммы, а также различные средние
арифметические.
Для того чтобы подчеркнуть эту особенность
построения интервальных рядов, следует
специально создать соответствующую ситуацию.
Вообще при построении интервального ряда
годятся любое разумное число промежутков и любая
удобная длина интервалов.
Задача № 685
Используя таблицу из задачи № 677, постройте гистограмму частот по возрастам пассажиров для поезда, отправляющегося в 6 ч 30 мин.
Решение.
Время Возраст |
6 ч 30 мин |
| До 7 лет 7-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 Старше 70 |
1 |
Построим гистограмму частот.
Задача № 686
На гистограмме представлены данные о площадях квартир в одном из микрорайонов города N.
а) Составьте таблицу частот для средних
значений каждого интервала, указанного на
гистограмме, если всего в выборке 1500 квартир.
б) Найдите среднюю площадь квартиры в
исследуемом микрорайоне.
Решение.
а) Срединное значение для каждого интервала
найдем как среднее арифметическое значений на
концах интервала. Соответствующее значение
частот получим, умножив число 1500 на процент
квартир для этого интервала.
Например, для интервала от 25-35 срединное значение
равно (25 + 35) : 2 = 30. По исходной гистограмме
определяем, что квартиры такой площади
составляют 20 %. Их количество равно: 1500 · 0,2 = 300.
| Срединное значение | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
| Количество квартир (частота) | 300 | 450 | 300 | 225 | 150 | 75 |
б) Среднюю площадь квартиры находим используя исходную таблицу: 30 · 0,2 + 40 · 0,3 + 50 · 0,2 + 60 · 0,15 + 70 · 0,1 + 80 · 0,05 = 48 (м2).
Ответ: 48 кв.м.
Задача № 687
В небоскребе 90 этажей. За день лифт вызывали на
каждый этаж несколько раз. К вечеру получилось,
что число вызовов составляет (в порядке
возрастания порядкового номера этажа) следующий
ряд:
29, 9, 27, 11, 18, 6, 20, 21, 7, 12, 25, 28, 22, 21, 19, 23, 15, 24, 13, 19, 17, 26,
17, 24, 8. 10, 13, 16, 27, 15, 14, 27, 11, 20, 9, 15, 6, 17, 22, 23, 12, 19, 7, 16, 24,
12, 5, 14, 26, 5, 10, 21, 17, 8, 25, 18, 29, 21, 17, 15, 28, 12, 26, 22, 10Ю 26, 11, 18,
16, 22, 29, 13, 6, 20, 7, 19, 23, 28, 13, 5, 20, 14, 7, 15, 16, 19, 8, 22, 18, 14..
(т.е. на первый этаж лифт вызывали 29 раз, на второй
– 9 раз, на третий – 27 раз и т.д.).
а) Определите размах ряда и выберите наиболее удобную, с вашей точки зрения, длину промежутка для построения интервального ряда.
б) Составьте таблицу и постройте гистограмму.
Решение.
29 – 5 = 24 – размах ряда.
Теперь весь промежуток значений ряда данных разобьём на несколько интервалов и подсчитаем, сколько данных попадет в каждый интервал. Выберем длину каждого интервала равной 24 : 6 = 4. За начало первого интервала возьмем значение 5 – 2 = 3. Подсчитаем границы всех интервалов, получим: 3; 7; 11; 15; 19; 23; 27; 31. Найдем частоту события «попасть в данный интервал». При этом значение, оказавшееся на границе двух интервалов, будем считать лежащим в правом промежутке. Сведем все данные по интервальному ряду в одну таблицу.
| Интервал вызовов лифта | Подсчет |
| 3-7 | 6 |
| 7-11 | 12 |
| 11-15 | 15 |
| 15-19 | 18 |
| 19-23 | 18 |
| 23-27 | 12 |
| 27-31 | 9 |
Построим гистограмму.
Задача № 688
В таблице приведены данные по температуре в городе N в июне 1980 г. и в июне 1990 г. В ней отражена информация об ежедневных наблюдениях.
| Температурные интервалы, oС | Июнь 1980 г. | Июнь 1990 г. |
| 14-18 | 2 | 1 |
| 18-22 | 9 | 6 |
| 22-26 | 12 | 15 |
| 26-30 | 6 | 3 |
| 30-34 | 1 | 5 |
а) В каком году было больше дней, когда
температура превышала 25o?
б) Вычислите средние температуры за июнь в 1980 и 1990
г. В каком году она больше?
в) Постройте гистограмму частот для 1980 г.
Решение.
а) В 1990 г.
б) Найдем середину каждого интервала, получим
таблицу 1980 г.
| Температура, oС | Частота |
| 16 | 2 |
| 20 | 9 |
| 24 | 12 |
| 28 | 6 |
| 32 | 1 |
Найдем среднее арифметическое (16 · 2 + 20 · 9 + 24 ·12 +
28 · 6 + 32 · 1) : 30 = 700 : 30 = 23o.
Найдем середину каждого интервала, получим
таблицу 1990 г.
| Температура, oС | Частота |
| 16 | 1 |
| 20 | 6 |
| 24 | 15 |
| 28 | 3 |
| 32 | 5 |
Найдем среднее арифметическое (16 · 1 + 20 · 6 + 24 ·15 + 28 · 3 + 32 · 5) : 30 = 740 : 30 = 25o.
Средние температуры за июнь в 1990 г. больше.
в) Построим гистограмму частот для 1980 г.
Задача № 689
Работниками телевидения был проведен опрос молодежи с целью определения времени просмотра телевизионных программ. Всего было опрошено 1000 человек. Зависимость числа зрителей от времени суток показана на гистограмме.
а) В какой период времени число людей, смотрящих
телевизор, превосходило 500 человек? Какой процент
от всего времени показа составляет время, когда
телевизор смотрят более 500 человек?
б) Сколько человек в среднем смотрят телевизор в
течение часа в период с 16 до 19 часов? какой
процент от числа опрошенных составляют эти люди?
в) Определите, какое число зрителей приходится в
среднем на 1 час вещания?
Решение.
а) Более пятисот человек смотрят телевизор в период с 17 до 19 ч и с 20 до 23 ч. Показ передач начинается в 6 ч и заканчивается в 2 ч следующего дня. Таким образом, время телевещания – 20 ч. Больше пятисот человек находятся у экранов в течение 5 ч. Это составляет 5/20 = 1/4, т.е. 25 % всего времени показа.
б) Воспользуемся данными гистограммы. В течение трех часов с 16 ч до 19 ч телевизор смотрят 500 + 550 + 600 = 1650 человек. Следовательно, в среднем в этот период на час приходится 1650 : 3 = 550 человек. Они составляют 55 % от числа опрошенных, т.е.100 человек.
в) За весь период вещания, т.е. за 20 ч, на один час в среднем приходится: (50 · 2 + 100 · 2 + 150 · 3 + 200 · + 250 · + 300) : 20 + (400 + 450 + 500 · 2 + 550 · 2 + 600 + 650 + 700) : 20 = 6600 : 20 = 330 человек.
В последнем пункте темы рассматриваются понятия «выборочная дисперсия» и «среднее квадратичное отклонение», хотя эти понятия более основательно предполагается изучить в старших классах. Далее сообщается, что сумма отклонений значений ряда от их среднего арифметического равна нулю, приводятся расчеты среднего квадратичного отклонения для двух числовых рядов, содержащих данные о зарплате на двух предприятиях. Подсчет среднего квадратичного отклонения удобно выполнять с помощью таблицы, которая заполняется последовательно:
1) заполнить левый столбец, содержащий данные из
рассматриваемого ряда,
2) заполнить средний столбец, содержащий
модули отклонений этих данных от их среднего
арифметического,
3) заполнить правый столбец, содержащий квадраты
чисел второго ряда.
Задача № 690
Жалобы на опоздание электричек, поступившие в диспетчерскую станцию Семафорово в течение недели, позволили составить следующую диаграмму частот по опозданиям за неделю. Определите среднее число опозданий за неделю и среднеквадратичное отклонение.
Решение.
Найдем на диаграмме частот количество
опозданий в каждый из семи дней недели и вычислим
их среднее арифметическое a: а = (2
+ 3 + 4 + 5 + 4 + 2 + 2) : 7 = 3.
Теперь найдем среднеквадратичное отклонение.
Для этого сначала составим таблицу (буквой х обозначено
количество опозданий).
| День недели | Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Вс |
| х | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 2 | 1 |
| |х – а| | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 |
| |х – а|2 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 1 | 4 |
Среднеквадратичное отклонение равно: 
=
= 1,3.
Оно характеризует величину рассеивания ряда
данных от среднего, т.е. от числа 3.
Ответ: 3; 1,3.
Задача № 691
На стройку с кирпичного завода привезли 20 упаковок кирпича. Чтобы проверить качество партии, из каждой упаковки вытащили случайным образом по кирпичу и измерили длину каждого. Ниже представлены полученные величины (в см): 20,5; 20,1; 21,3; 20,3; 19,8; 19,2; 20,1; 19,6; 20,2; 20; 20,5; 19,7; 19,9; 20,5; 19,6; 20,1; 19,4; 19,8; 19,1; 20,3.
а) Определите среднюю длину кирпича.
б) Найдите величину среднеквадратичного
отклонения длины кирпича от средней.
в) Каков процент кирпичей, длина которых
отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше
чем на величину среднеквадратичного отклонения?
Решение.
а) Средняя длина кирпича а = (20,5 + 20,1 +
21,3 + 20,3 + 19,8 + 19,2 + 20,1 + 19,6 + 20,2 + 20 + 20,5 + 19,7 + 19,9 + 20,5 + 19,6 +
20,1 + 19,4 + 19,8 + 19,1 + 20,3) : 20 = 19,5
б) Составим таблицу. Обозначим х – длина
кирпича.
| х | |х-а| | |х-а| |
| 20,5 | 1 | 1 |
| 20,1 | 0,6 | 0,36 |
| 21,3 | 1,8 | 3,42 |
| 20,3 | 0,8 | 0,36 |
| 19,8 | 0,3 | 0,09 |
| 19,2 | 0,3 | 0,09 |
| 20,1 | 0,6 | 0,36 |
| 19,6 | 0,1 | 0,01 |
| 20,2 | 0,7 | 0,49 |
| 20 | 0,5 | 0,25 |
| 20,5 | 1 | 1 |
| 19,7 | 0,2 | 0,04 |
| 20,5 | 1 | 1 |
| 19,9 | 0,4 | 0,16 |
| 19,6 | 0,1 | 0,01 |
| 20,1 | 0,6 | 0,36 |
| 19,4 | 0,1 | 0,01 |
| 19,8 | 0,3 | 0,09 |
| 19,1 | 0,4 | 0,09 |
| 20,3 | 0,8 | 0,64 |
Найдем среднеквадратичное отклонение 
= 0,7. Оно
характеризует величину рассеивания ряда данных
от среднего, т.е. от числа 19,5.
в) Найдем процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см: 16 : 20 = 0,8 или 80 %. Найдем процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше, чем на величину среднеквадратичного отклонения: 6 : 20 = 0,3 или 30 %.
Задача № 692
Пасечник заметил, что пчелы в двух его ульях производят мед неравномерно. Раз в 10 дней он вынимал соты из ульев и заносил в таблицу массу (в кг) снятого меда, выработанного пчелами за десять дней.
| Интервал времени | Масса меда (в кг) | |
| 1-й улей | 2-й улей | |
| С 20 по 30 апреля | 11,4 | 11,9 |
| С 30 апреля по 10 мая | 12 | 10,8 |
| С 10 по 20 мая | 11,5 | 13,2 |
| С 20 по 30 мая | 11,7 | 12,6 |
| С 30 мая по 10 июня | 11 | 11,1 |
| С 10 по20 июня | 10,6 | 11,4 |
| С 20 по 30 июня | 13,1 | 13,2 |
| С 30 июня по10 июля | 12,8 | 12,9 |
| С 10 по 20 июля | 11,9 | 13,5 |
| С 20 по 30 июля | 13 | 10,9 |
| С 30 июля по 10 августа | 12,5 | 12,3 |
| С 10 по 20 августа | 12,9 | 11,7 |
| С 20 по 30 августа | 11,6 | 12 |
| С 30 августа по 10 сентября | 12 | 10,5 |
а) Пчелы какого из ульев работают более стабильно? (Сделайте вывод, вычислив величину среднеквадратичного отклонения количества произведенного меда).
б) Если в первом улье живет 100 пчел, а во втором – 75 пчел, то сколько в среднем добыла за период с 20 по 30 августа каждая пчела 1-го и 2-го ульев?
Решение.
а) Найдем среднее 1-го улья: а = (11,4 + 12 + 11,5 + 11,7 + 11 + 10,6 + 13,1 = 1,9 + 13 + 12,5 + 12,9 + 11,6 + 12) : 14 = 12 (кг).
Найдем среднеквадратичное отклонение (буквой х обозначено количество меда за 10 дней).
| х | |х – а| | |х – а|2 |
| 11,4 | 0.6 | 0,36 |
| 12 | 0 | 0 |
| 11,5 | 0,5 | 0,25 |
| 11,7 | 0,3 | 0,09 |
| 11 | 1 | 1 |
| 10,6 | 0,4 | 0,16 |
| 13,1 | 1,1 | 1,21 |
| 12,8 | 0,8 | 0,64 |
| 11,9 | 0,1 | 0,01 |
| 13 | 1 | 1 |
| 12,5 | 0,5 | 0,25 |
| 12,9 | 0,9 | 0,81 |
| 11,3 | 0,7 | 0,49 |
| 12 | 0 | 0 |
Среднеквадратичное отклонение равно 
= 0,7
Найдем среднее 2-го улья: а = (11,9 + 10,8 + 10,5 + 13,2 +
12,6 + 11,1 + 11,4 + 13,2 + 12,9 + 13,5 + 10,9 + 12,3 + 11,7 + 12) : 14 = 12 (кг).
Найдем среднеквадратичное отклонение (буквой х
обозначено количество меда за 10 дней).
| х | |х – а| | |х – а|2 |
| 11,9 | 0.1 | 0,01 |
| 10,8 | 0,2 | 0,04 |
| 13,2 | 1,2 | 1,44 |
| 12,6 | 0,6 | 0,36 |
| 11,1 | 0,9 | 0,81 |
| 11,4 | 0,6 | 0,36 |
| 13,2 | 1,2 | 1,44 |
| 12,9 | 0,9 | 0,81 |
| 13,5 | 1,5 | 2,25 |
| 10,9 | 0,1 | 0,01 |
| 12,3 | 0,3 | 0,09 |
| 11,7 | 0,3 | 0,09 |
| 12 | 0 | 0 |
| 10,5 | 0,5 | 0,25 |
Среднеквадратичное отклонение равно = 0,7.
Пчелы обоих ульев работают одинаково.
б) Каждая пчела из первого улья добыла 11,2 : 100 = 0,112
(кг), а каждая пчела из второго улья – 12 : 75 = 0,16
(кг) меда.
Ответ: а) пчелы обоих ульев работают одинаково; б)
0,112 кг, 0,16 кг.