Цели:
Обучающие после изучения темы учащиеся смогут:
- давать определение понятиям: производной функции, сложной функции;
- распознавать сложную функцию в примерах;
- применять правила и формулы дифференцирования при нахождении производной сложной функции.
Развивающие:
- развивать логическое мышление при нахождении производной сложной функции;
- развивать ключевые компетенции: умение общаться, работать с другими,
- осуществлять самоконтроль;
Воспитательные:
- воспитание аккуратности, сосредоточенности, ответственного отношения к результатам своего труда и уверенности в своих силах.
Тип урока: Усвоение новых знаний.
Методы обучения: практические, наглядные, объяснительно-иллюстративные, элементы игровой технологии;
Форма урока: фронтальная, работа в паре, самостоятельная работа учащихся.
Средства обучения: ПК, мультимедиа проектор, электронная презентация, дидактические материалы, формулы дифференцирования.
Структура урока:
- Организационный компонент
- Организация деятельности по изучению нового материала:
- Мотивационный компонент
- Актуализация опорных знаний
- Изучение нового материала
- Закрепление учебного материала
- Подведение итогов урока
- Домашнее задание
Ход урока
- Организационный компонент
Приветствие учащихся, проверка присутствующих и готовность к уроку. (На каждом столе лежат листы контроля и папка с дидактическим материалом).
Начало электронной презентации – слайд 1.
- Организация деятельности по изучению нового материала
- Мотивационный компонент
Преподаватель отмечает, что в течение всего урока учащиеся сами будут себя оценивать с помощью листа контроля. Оценка за урок зависит от суммы набранных баллов на всех этапах.
- В Америке несколько десятилетий назад была объявлена премия автору, который написал книгу «Как человек без математики жил». Премия до сих пор осталась не выданной. По-видимому, ни один из авторов не сумел представить жизнь человека без всяких математических знаний. Поэтому цель начала урока, максимально использовать все свои знания по пройденной теме, чтобы справиться со следующими заданиями:
- Актуализация опорных знаний.
Преподаватель предлагает открыть папки и выполнить задание № 1 (выполняют в парах)
Вам нужно найти пределы, ответ каждого примера закодирован словом. С помощью кода расшифровать фразу (коды на экране). Первая пара угадавшая фразу получает максимальный балл (6 баллов каждый). Остальные учащиеся оценивают в1 балл верно выполненный пример. (Слайд 2)
Найти пределы: смотри Приложение 1
- Учащиеся зачитывают свои варианты ответов. Правильный ответ: «Величие человека в его способности мыслить». (Б. Паскаль) (на экране фраза и портрет Паскаля, слайд 3)
- Учащиеся фиксируют количество баллов в листе контроля.
- Преподаватель предлагает следующее задание: Эта замечательная фраза принадлежит великому математику, физику Блезу Паскалю, и она поможет вам разгадать кроссворд, где заложено ключевое слово нашей новой темы урока.
Кроссворд: (вопросы к кроссворду находятся в папке с дидактическими материалами Приложение 2, а сам кроссворд на экране, слайд 4 ссылка на файл электронной таблицы)
- Учащийся набирает на ПК правильные ответы (правильный ответ оценивается в 1 балл).
- Учащиеся отгадывают кроссворд, и на экране по горизонтали выделенными буквами получилось слово «производная» (фиксируют баллы в листе контроля).
- Изучение новой темы.
Преподаватель: Понятие производной Вам известно из школьного курса математики. Применение метода предела и его развитие привели к созданию дифференциального и интегрального исчисления.
Дифференциальное исчисление – это раздел математического анализа, связанный с понятием производной и дифференциала функции, возникший при рассмотрении большого количества задач из разных областей наук приводивших к вычислению предела одного и того же типа.
Сообщается тема и цели урока. Учащиеся записывают тему урока. (слайд 5)
Преподаватель: Прежде чем записать определение производной рассмотрим две задачи.
Задача о мгновенной скорости.
Пусть некоторая материальная точка, движется прямолинейно и неравномерно по закону S=S (t)
∆t= t2- t1
∆S = S2 – S1
Следовательно, за промежуток ∆t точка пройдет путь ∆S, тогда средняя скорость равна:
Если ∆t → 0, наступит предел средней скорости, т.е. получаем скорость в данный момент времени. Эту скорость называют мгновенной.
Вывод: скорость в любой момент времени есть производная пути по времени.
Задача о проведении касательной к графику.
А1 А2 -
секущая
если ∆х → 0
Рисунок 1
Вывод: угловой коэффициент k касательной есть производная функции у = f(х) в точке х.
Две различные задачи привели к одинаковым пределам. Такой предел называют производной.
Определение: Производной функции у = f (х) в данной точке Х называется предел отношения приращения функции ∆У к приращению аргумента ∆Х, если ∆Х стремится к 0.
Для обозначения производной применяется символ y' или f '(x). Операция нахождения производной называется дифференцированием. Слово дифференцирование в переводе с латинского - означает разность, т.к. приращение функции это-разность и приращение аргумента это тоже разность.
Повторим правила дифференцирования (слайд 5)
Правила дифференцирования.
Правила дифференцирования являются основными т.к. они выведены из самого определения производной. Однако находить производную по определению довольно сложно, поэтому существуют формулы дифференцирования. (Фронтальная проверка формул)
Учащиеся выполняют решение примеров у доски.
Найти производные функций:
- y = 5х + 3х2 - е3
- y =
-
Преподаватель обращает внимание, что сейчас вы находили производные простой функции. А как найти производную такой функции у = cos ln х2
Производная сложной функции.
Определение: Функция у = f(u) называется сложной, если её аргумент так же является некоторой функцией.
у = f (u), u = y (x)
Как отличить простую функцию от сложной?
Составим следующую таблицу.
| Простая функция | Сложная функция |
|
|
|
Производную сложной функции находят по формуле:
y = f ′ (u) • u′
Далее вместе с учащимися разбирают формулы дифференцирования сложной функции по таблице. Учащиеся решают у доски примеры с подробным комментарием
Найти производные:
у = cos x6
у = 
у = 7 sin x
у = 
Преподаватель: рассмотрим производные обратных функций
у = f (х) и х = u (у) – взаимно обратные функции.
Теорема: Производная обратной функции существует и равна обратной величине производной данной функции, если эта производная не равна нулю.
; u′(y) ≠ 0
Пример:
у = arcsin 3x
y = arccos
- Закрепление изученного материала
Преподаватель предлагает выполнить самостоятельную работу. Учащиеся выполняют самостоятельную работу, проверяют ее, ответы которой находятся на экране и выставляют количество баллов в лист контроля (правильный ответ оценивается в 1 балл, слайд 7). Приложение 3
- Подведение итогов урока.
Преподаватель подводит итоги учебного материала и предлагает в игровой форме провести викторину.
Викторина: (на разрезных листках написаны вопросы по теме, учащиеся вытягивают и отвечают)
- Дать определение производной функции?
- Назовите одно правило дифференцирования.
- Что означает слово дифференцирование?
- Дать определение сложной функции.
- Чему равна производная у = 3 cos 9х?
- Алгоритм нахождения производной сложной функции.
- Сколько человек играли в басне И. Крылова «Квартет»?
- Какие обозначения имеет производная?
- Теорема о производной обратной функции.
Учащиеся заполняют листы контроля (Приложение 4) и с помощью слайда – «Критерии оценок», выводят оценку (слайд 8)
Сдают листы контроля и записывают домашнее задание.
Домашнее задание:
В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, Математика – М.: Высшая школа, 1999. гл.5,№ 98,99,102.