Конспект урока по алгебре "Арифметическая прогрессия". 9-й класс

Образовательные цели: выработать прочные навыки действий с формулами, отработать алгоритм нахождения n-ого члена арифметической прогрессии и суммы n первых членов арифметической прогрессии, сформулировать умения работы над текстом.

Воспитательные цели: воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся.

Развивающая цель: интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика, активизация самостоятельной деятельности.

Форма урока: семинар-практикум.

Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.

Уровень Н - некомпетентные, то есть не достигшие еще минимального уровня, не умеющие решать даже шаблонные задачи, уровень М - ученики, достигшие минимального уровня.

Задачи минимального уровня.

1. В арифметической прогрессии (аn): а₁ = -3,4, d = 3. Найти а₅.
2. Встретится ли среди членов арифметической прогрессии 14, 17, 20… данное число и, если да, то на каком месте число будет записано: а) 50 b) 78.
3. Чему равен первый положительный член арифметической прогрессии -22, -20, -18..?
4. Найти сумму девятнадцати первых членов, если а) b₁ = 6, b₁₉ = 17  b) b₁ = 4,8, d = -1,2

Решения:

1. a₅ = a₁ + 4d
   a₅ = -3,4 + 12 = 8,6
2. d = 17 – 14 = 3
   а) 50 = 14 + 3(n - 1)
   50 = 14 + 3n – 3
   3n = 39
   n = 13
   Да, n = 13
   b) 78 = 14 + 3(n - 1)
   78 = 14 + 3n – 3
   3n = 67
   n = 67/3 – не принадлежит множеству натуральных чисел
   Нет.
3. a_n = a₁ + d(n - 1)
   d = - 20 – (-22)
   -22 + 2(n - 1) > 0
   2n > 24
   n > 12
   так как n принадлежит множеству натуральных чисел, то n = 13
   a₁₃ = - 22 + 2(13 - 1)
   a₁₃ = - 22 + 24 = 2
   Ответ: a₁₃ = 2 – первый положительный член арифметической прогрессии.
4. а) S₁₉ = ((b1 + b₁₉)*19)/2
   S₁₉ = ((6 + 17)*19)/2 = 218,5
   b) S₁₉ = ((2b1 + d(n - 1))*19)/2
   S₁₉ = ((9,6 – 1,2*18)*19/2 = -114

Задачи общего уровня.

5. В арифметической прогрессии (с_n) известны с₇ = - 6, с₁₁ = - 12. Найти с₁ и d.
6. Между числами 2 и 37 вставьте 4 числа, которые вместе с данными составляют арифметическую прогрессию.
7. В арифметической прогрессии (a_n) a₇/a₂ = 5, S₈ = 120. Найти a₁ и d.
8. В арифметической прогрессии (a_n) S₄ = 42, S₈ = 132. Найти a₁ и d.

Решения.

5. c₁₁ = c₇ + 4d
   4d = c₁₁ – c₇
   4d = - 12 + 6
   4d = - 6
   d = - 1,5
   c₇ = c₁ + 6d
   c₁ = c₇ – 6d
   c₁ = - 6 + 6*1,5 = 3
   Ответ: c₁ = 3, d = - 1,5
6. a₁ = 2, a₆ = 37
   a₆ = a₁ + 5d
   37 = 2 + 5d
   5d = 35
   d=7
   a_n = 2 + 7(n - 1) a₂ = 9, a₃ = 16, a₄ = 23, a₅ = 30
   Ответ: 9, 19, 23, 30.
7. a₇ = 5a₂
   a₁ + 6d = 5(a₁ + d)
   a₁ + 6d = 5a₁ +5d
   d = 4a₁
   S_n = (2a₁ + d(n - 1))*n/2
   120 = (2a₁ + 4a₁ (8 - 1))*8/2
   30a₁ = 30
   a₁ = 1
   d = 4
   Ответ: 1, 4.

I группа

9. Выведем формулу для вычисления суммы n натуральных чисел.
   a1 = 1  a2 = 2   d = 1
   an = 1+ (n - 1) = n
   Sn = ((1 + n)*n)/2

(Слайд 1)

С этой формулой связана одна из страниц биографии К. Ф. Гаусса. Однажды на уроке в третьем классе, где учился Гаусс, учитель дал задание сложить все числа от 1 до 100. Маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100 = 101, 2+99 = 101 и т. д. (в нашей формуле написано n+1), сообразил он и то, что таких пар будет 100/2 = 50 (в формуле написано n/2). Осталось умножить 101 на 50, что мальчик сделал в уме. Короче говоря, он закончил вычисления, едва только учитель продиктовал задание. В этом проявились не только находчивость и сообразительность будущего гения. Для математика, для ученого вообще важно, получив задачу, подумать – а нет ли иного метода решения, стоит ли идти проторенным путем, не поискать ли свой, новый, лучший, оригинальный?

10. Выведем формулу для вычисления суммы n последовательных нечетных чисел.
    a₁ = 1  a₂ = 3
    a_n = 1+2(n - 1) = 2n – 1
    S_n = ((1+(2n - 1))*n)/2 = n²

(Слайд 2)

Заметьте, что вторая формула имеет изящный геометрический смысл. На рисунке единицей обозначен первый квадрат. Его как бы охватывают три таких же квадрата, образуя вместе с первым новый квадрат, состоящий из четырех квадратов. Его, в свою очередь, как бы буквой Г охватывает ровно 5 – следующее нечетное число – квадратов, получается новый квадрат, состоящий уже из 9 квадратов. И т.д.

11. Бегун за 1 минуту пробежал 400 метров, а в каждую минуту последующую пробегал на 5 метров меньше, чем в предыдущую. Какой путь он пробежал за один час?

Решение

За 1 минуту бегун пробежал 400 м, за 2 – 395 м, за 3 – 390 м и т. д. Числа 400, 395, 390 образуют арифметическую прогрессию, у которой a₁ = 400, d = - 5. Путь за 1 час, т. е. за 60 мин, равен сумме первых 60 членов прогрессии.

S₆₀ = (2a₁ + 59d)*60/2 = 15150 м. Таким образом, за один час бегун пробежит 15 км 150 м.

Самостоятельная работа общего уровня. (Слайд 3)

1. Найти разность арифметической прогрессии (a_n), если a₁ = 4,39  5a₃ – 7a₂ + 4a₇ = 5
2. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (a_n) a₁ = 25,5 a₉ = - 5,5?
3. Дана последовательность двузначных натуральных чисел, кратных 7. Найти сумму членов последовательности.

Решение. (слайд 4)

1. a₁ = 4,39
   5(a₁ + 2d) – 7(a₁ + d) + 4(a₁ + 6d) = 5
   5a₁ + 10d – 7a₁ – 7d + 4a₁ + 24d = 5
   2a₁ + 27d = 5
   27d = - 3,78
   d = - 0,14
   Ответ: - 0,14
2. a_n = a₁ + d(n - 1)
   a₉ = a₁ + 8d
   8d = 5,5 – 25,5
   8d = - 20
   d = - 2,5
   54,5 = 25,5 – 2,5(n - 1)
   54,5 = 25,5 – 2,5n + 2,5
   2,5n = -26,5
   n = - 10,6
   Так как число – 10,6 не принадлежит множеству натуральных чисел, число 54,5 не является членом арифметической прогрессии.
   Ответ: нет, не является.
3. a₁ = 14
   a_n = 7n + 7
   7n + 7 < 100
   n < 93/7
   т.к. n принадлежит множеству натуральных чисел, то n = 13
   a₁₃ = 7*13+7 = 98
   S₁₃ = (14 + 98)*13/2 = 728
   Ответ: 728.

Срез минимального уровня. (По карточкам).

1. Составьте формулу n – ого члена арифметической прогрессии (a_n) и найдите a₁₁, если
1. a₁ = 2,4; d = -0,8
2. a₁ = - 2,4; d = 0,8
2. Найдите разность арифметической прогрессии (cn), если
1. с₁ = - 1,2; c₅ = - 0,4
2. c₁ = 2,7; c₄ = 1,8
3. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии
1. -3, -1…
2. 24, 21...

Срез общего уровня. (слайд 5)

I вариант.

1. (a_n) – арифметическая прогрессия.
   a₂ = 2  a₄ = 6
   Найти a₆.
2. Найдите разность арифметической прогрессии, если a₈ – a₅ = - 21,3
3. (a_n) – арифметическая прогрессия
   d = 6   S₁₀ = 340
   Найдите a₁ и a₁₀.

II вариант.

1. a₂ = - 3      a₄ = 1
   Найти d.
2. Найдите разность арифметической прогрессии, если a₁₀ – a₃ = - 78,4
3. (a_n) – арифметическая прогрессия. a₁ = 10; S₁₄ = 1050 Найти a₁₄ и d.

Домашнее задание. (слайд 6)

Минимальный уровень.

1. Найдите разность арифметической прогрессии, если a₁₀ – a₃ = - 78,4
2. a_n – арифметическая прогрессия. a₁ = 10, S₁₄ = 1050. Найдите a₁₄ и d.
3. a_n – арифметическая прогрессия. a₃ = - 1, a₅ = 3. Найдите S₁₀.

Общий уровень

1. a_n – арифметическая прогрессия. a₄ + a₆ = 14. Найдите S₉.
2. a_n – убывающая арифметическая прогрессия. a₁a₃ = -5. S₃ = 6. Найдите S₇.
3. a_n – арифметическая прогрессия. a₁ + a₃ + a₅ = - 12, a₁a₃a₅ = 80. Найдите a₁.

Приложение

Литература.

1. Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова «Алгебра. 9 класс», М: Просвещение, 2006 г.
2. Б. Г. Зив, В. А. Гольдич «Дидактические материалы по алгебре для 9 класса», СПб, 2006 г.
3. Л. Ф. Пичурин «За страницами учебника алгебры», М: Просвещение, 2007 г.
4. В. В. Гузеев «Интегральная технология обучения», М: НИИ школьных технологий, 2006 г.