Цель: обобщить информацию по прогрессиям; совершенствовать навыки нахождения n-го члена и суммы n первых членов данных прогрессий с помощью формул; решение задач, в которых используются обе последовательности; развивать познавательный интерес учащихся; учить их видеть связь между математикой и окружающим миром.
Ход урока
1. Устная работа.
а) Сформулируйте определение арифметической и геометрической прогрессий.
Сообщив подряд определения можно обратить внимание на то, что они похожи: надо лишь сложение заменить умножением.
б) Назовите формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий.
Если в формуле n-го члена арифметической прогрессии сложение заменить умножением, а умножение возведением в степень, то получим формулу n-го члена геометрической прогрессии.
в) В чем заключается характеристическое свойство прогрессий?
«Родство» прогрессий становится еще более заметным, если посмотреть на данное свойство.
г) Назовите формулы суммы n первых членов данных прогрессий.
2. Историческая справка.
На связь между прогрессиями первым обратил внимание Архимед.
… |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
… |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
… |
В верхней строке расположена арифметическая прогрессия с разностью 1, а в нижней – геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Расположены они так, что нулю арифметической прогрессии соответствует единица геометрической прогрессии. Это очень важный факт. А теперь, представьте, что мы не умеем умножать и делить, но нам нужно 
·16. В таблице над 
написано -1, а над 16 → 4, сложим -1+4=3. Под 3 написано 8. Это и есть ответ.
Другой пример, 16:2. 16 → 4, 2 → 1, 4-1=3, 3 → 8. Ответ: 8.
Если вспомнить: а
·а
=а
, а
:а
=а
, то нижнюю строчку таблицы можно переписать 2
2
2
Имеем 2
·2
=2
=8 (-1+4=3); 2
:2
=2
=2
=8 (4-1=3).
Можно сказать, что если показатели составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию.
3. Решение тренировочных задач.
№ 1 (историческая).
С формулой 
связан один из эпизодов биографии К.Ф.Гаусса: однажды на уроке, чтобы занять первоклассников, учитель велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь что это займёт у них много времени. Но маленький Гаусс сделал это в уме, едва учитель закончил чтение условия. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. Как он это сделал?
Решение: 
1+100=101;
1+99=101
… и т.д.
101*50=5050
или 
=
В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже назвали «Царем математики».
№ 2.
Один купец на базаре заключил с мужиком договор. Мужик предложил ему каждый день приносить по 100000 руб., а купец при этом в первый день даст ему 1 копейку, во второй день – 2 копейки, в третий – 4 копейки и т.д.. Образованный купец пришел домой и рассказал все жене, Жена сожалела о том, что договор был заключен только на месяц, Кто выиграл в этом договоре купец или мужик?
Решение:
Мужик отдал: 100000*30=3000000 руб.
Купец отдал: S
= 
2
=1073741824
И в настоящее время при решении некоторых задач не обойтись без прогрессий.
№ 3.
Курс воздушных ванн начинают с 15 мин в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?
Решение:
а
, а
, d=10. п - ?.
а
, 105=15+(п-1)*10, п=10.
№ 4. (Используются арифметическая и геометрическая прогрессии).
Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три члена, образующие арифметическую прогрессию. Найдите четвертый член геометрической прогрессии и первый член арифметической прогрессии.
Решение:
в
,
;
(в
;
S
a
=48,
в
.
4. Самостоятельная работа (тест).
Вариант 1
- В первой коробке 6 карандашей, во второй коробке 8 карандашей, в третьей – 10 карандашей. Сколько карандашей будет в 13 коробке?
а) 144;
б) 26;
в) 30;
г) 32. - Дана геометрическая прогрессия, где в =7, q=2. Найдите первые пять членов.
а) 14; 28; 56; 112; 224;
б) 7; 3,5; 1,75; 0,825; 0,4525;
в) 2; 14; 98; 776; 4982;
г) 7; 14; 28; 56; 112. - Найдите знаменатель геометрической прогрессии q, где с
с
а) q=3;
б) q= -3;
в)q=3 илиq= -3;
г)q= 9.
Вариант 2
- В январе мастерская изготовила 6 гарнитуров, каждый следующий месяц изготавливала на 3 больше. Сколько гарнитуров мастерская изготовила в августе?
а) 37;
б) 21;
в) 211;
г) 34. - Дана геометрическая прогрессия, где в =6, q=7. Найдите первые пять членов.
а) 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375;
б) 12; 24; 48; 96; 196;
в) 6; 12; 24; 48; 96;
г) 2; 12; 72; 432; 864. - Найдите знаменатель геометрической прогрессии q, где с
с
а) q=2;
б) q= -2;
в)q=2 илиq= -2;
г)q= 4.