Практикум по решению текстовых задач

Как правило, с текстовыми задачами справляются около 40% учащихся. Широко известны серьёзные трудности, которые испытывают ребята при решении задач. Остановимся лишь на основных:

ПЕРВАЯ ТРУДНОСТЬ состоит в математизации предложенного текста задачи (в переводе содержания задачи на математический язык , т.е выражение искомой величины через известные величины и введенные переменные.) Проблемы, с которыми сталкиваются дети, связаны с непониманием физических, химических, экономических терминов, законов, зависимостей; с непониманием связи между расстоянием, скоростью и временем при равномерном движении и движении по окружности; между работой, временем и производительностью; с непониманием зависимости между целым, частью и процентным содержанием.

ВТОРАЯ ТРУДНОСТЬ - это составление уравнений или неравенств, связывающих данные величины и переменные.

ТРЕТЬЯ ТРУДНОСТЬ состоит в том, чтобы составить функцию цели, применительно к которой, формулируется вопрос задачи. Получив уравнение, учащиеся пытаются найти значения всех переменных, которые в них участвуют, но это не всегда возможно и не является необходимым.

ЧЕТВЁРТАЯ ТРУДНОСТЬ - это решение полученного уравнения или системы уравнений желательно наиболее рациональным способом.

Анализируя трудности в решении текстовых задач, классифицируем задачи по типам:

1. Процентное содержание.
2. Концентрация, смеси.
3. Сплавы.
4. Задачи на « движение».
5. Задачи на «работу».

СХЕМА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ:

1. составляем математическую модель.
2. вводим переменную (неизвестную).
3. составляем уравнение или систему уравнений (иногда неравенства или систему неравенств).
4. решаем полученное уравнение (или полученную систему).
5. записываем ответ задачи.

Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего, необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.

Обратим внимание на первые три типа задач и напомним, хорошо известные ключевые моменты.

Таблица №1.

где А-целое (всего), а-часть от целого, р-количество процентов.

Таблица №2.

Таблица №3.

ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ.

Задача №1. Фляга наполнена 96% раствором соляной кислоты. Из неё отлили 12 л. раствора кислоты и дополнили флягу водой. Затем из фляги отлили 18 л. И снова дополнили водой. После чего концентрация раствора соляной кислоты во фляге составила 32%.Найти объём фляги.

Решение:

по последней строчке составляем уравнение(0,96(х-12)/х)(х-18)=0,32х, решая, получаем два корня х=9 и х=36

х=9 не подходит по смыслу задачи, поэтому объём фляги 36 литров.

ОТВЕТ: 36 литров.

Задача№2. Смешали 30% раствор уксусной кислоты, с 10% -ым раствором уксусной кислоты и получи 600 г. 15% раствора. Сколько каждого раствора уксусной кислоты было взято?

Решение:

по последней строчке составляем уравнение

0,3х+0,1(600-х)=0,15*600, решая это линейное уравнение получаем х=150г

ОТВЕТ: 30%-ого раствора взяли 150 г., а 10%-ого -450 г.

Задача №3. Сколько граммов воды нужно добавить к 100 г. 70% уксусной эссенции, чтобы концентрация раствора стала 30% ?

Решение:

по последней строчке составляем уравнение 70=(100+х)*0,05, решая уравнение , получаем ответ х=1300

ОТВЕТ: 1300 г. воды.

Задача №4. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%,получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение:

по последней строчке составляем уравнение 0,2х+0,5у=(х+у)*0,3,

0,5у-0,3у=0,3х-0,2х,

0,2у=0,1х или х=2у.

ОТВЕТ: 2:1

Задача №5. У хозяйки есть 5кг сахарного сиропа одной концентрации и 7 кг сахарного сиропа другой концентрации. Если эти сиропы смешать, то получится сироп, концентрация которого составляет 35%.Если же смешать равные массы этих сиропов, то получится сироп, содержащий 36% сахара. Какова концентрация каждого из двух имеющихся сиропов?

Решение:

Таблица №1.

уравнение (1) 0,05х+0,07у=12*0,35.

Таблица №2.

уравнение (2) а(0,01х+0,01у)=2а*0,36.

Решая уравнения (1) и (2) в системе, получаем х=42, у=30.

ОТВЕТ: 42% и 30%.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача №6. Для приготовления блюда требуется на 50 г воды добавить 100 г 6%-го уксуса. У хозяйки имеется только 12%-й уксус. Сколько граммов 12%-го уксуса ей нужно добавить на 50 г воды, чтобы получить раствор нужной концентрации?

ОТВЕТ:

Задача №7. Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20% ?

ОТВЕТ: 45 г.

Задача №8. Два спиртовых раствора борной кислоты одинаковой массы слили в один сосуд. Раствор какой концентрации получили в результате, если первый раствор был 5%-ный, а второй 1%-ный ?

ОТВЕТ:

Задача №9. Сплавили 40 г золота одной пробы и 60 г золота другой пробы и получили золото 62 пробы. Какой пробы было золото первого и второго слитков, если при сплаве их поровну получается золото 61 пробы ? (Проба – это процентное содержание чистого золота.)

ОТВЕТ: 56 пробы и 66 пробы.

Задача №10. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором-40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50% меди?

ОТВЕТ: 1:2.

Надеемся, что практикум по решению задач будет надёжным помощником учащимся, выпускникам, а так же начинающим учителям математики. При заполнении таблицы учащиеся справятся (преодолеют) трудности при решении текстовых задач, и без сомнения повысят свой интеллектуальный уровень.

Литература:

1. М.П.Галицин и др. «Сборник задач по алгебре 8-9».
2. Л.И.Звавич и др. «3600 задач по алгебре и началам анализа ».
3. И.С.Петраков «Математика для любознательных ».
4. А.А.Черняк и И.А.Черняк «Конкурсные задачи из сборника М.И.Сканави ».
5. И.Ф.Шарыгин «Математика для поступающих в ВУЗы ».