Урок математики в 9-м классе по теме "Площадь круга"

Разделы: Математика

Цели урока:

  1. Изучить формулу площади круга, применять ее при решении задач.
  2. Рассмотреть различные способы определения центра окружности (круга), если он не указан, учить аккуратно и точно пользоваться измерительными приборами.
  3. Развивать познавательный интерес учащихся, математическую речь, познакомить их с историческим материалом.
  4. Воспитывать сотрудничество, внимание и уважение друг к другу.

Оборудование:

  • циркуль, линейка, модель круга;
  • проектор, компьютер;
  • задания для работы в группах;
  • маркеры, листы бумаги А4.

Ход урока

Класс разбивается на группы, в каждой группе выбирается ответственный, который отвечает за дисциплину, порядок и работоспособность группы. Он же на перемене перед уроком проверяет домашнее задание. Ответы на вопросы пишутся маркером на листах А4 и показываются учителю.

I. Организационный момент.

В книге П.Л. Треверс «Мери Поппинс» в одном из эпизодов Кошка задает вопрос Королю.

Ученик: «Первый вопрос: «Высоко ли до неба?»

Король удовлетворенно хмыкнул. Этот вопрос был как раз в его вкусе, и он улыбнулся с видом превосходства.

Ученик: - Ну, конечно,- начал он,- это понятие относительное, если мы будем измерять высоту от уровня моря – результат будет один. Если с вершины горы – другой. И приняв все это в расчет, а также определив широту и долготу, учитывая данные метеорологии, психологии, геологии, топологии и болтологии, а также астрономии и физиологии, статистики, лингвистики, беллетристики и мистики, мы можем…»

К сожалению, мы вынуждены прервать цитату. Желающие могут прочесть книгу и узнать, чем закончился этот разговор. Как ни странно, но Король прав. Задача измерения весьма трудная, и одной изобретательности недостаточно. Надо многое знать – законы природы, свойства фигур, математические формулы.

Тема сегодняшнего урока «Площадь круга». Вы выведете формулу для вычисления площади круга, познакомитесь с историей развития числа π.

Вам сегодня предстоит выполнить лабораторно-практическую работу. В этой работе вы сами определите центр окружности там, где он не обозначен, измерите ее радиус и вычислите площадь заданных фигур. Чтобы успешно справиться с поставленной задачей необходимо, ответить на следующие вопросы.

II. Устная работа.

Фронтальная работа с классом.

Вопрос:

  1. Какая формула используется для вычисления длины окружности?
  2. Чему равно отношение длины окружности к диаметру?
  3. Радиус окружности увеличили в 2 (3, 4, n)раз. Как изменилась длина окружности?
  4. Если треугольник ABC правильный, то AC=R·…, AC=r·…
  5. ABCD – правильный. AD=R·…, AD=r·…
  6. ABCDEF – правильный. AF=R·…, AF=r·…

Рисунок 1

III. Работа по готовым чертежам.

(Письменная работа на листах А4. На доске заранее сделаны чертежи. Готовые решения крепятся на доске рядом с задачей.)

Сейчас за 5 минут вы должны решить и показать решение 4 задач.

Рисунок 2

IV. Проверка задания на дом.

Вам были предложены для решения дома 4 задачи. Ответственные проверили решения задач в своих группах? Есть ли вопросы по домашней работе? (Если есть вопросы по домашней работе, то решение таких задач объясняют ученики, которые их решили.)

Вопрос: Какую геометрическую фигуру называют окружностью? (Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки.)

Ученик: Окружность – удивительно гармоничная фигура, древние греки считали ее самой совершенной. Совершенство окружности – в расположении всех ее точек на одинаковом расстоянии от центра. Именно поэтому окружность – единственная кривая. «которая может скользить сама по себе», вращаясь вокруг центра. Основное свойство окружности дает ответ на вопросы, почему для ее вычерчивания используют циркуль и почему колеса делают круглыми, а не квадратными.

Кстати, о колесе. Это одно из самых великих изобретений человечества. Оказывается, додуматься до колеса было не так просто, как это может показаться. Ведь даже ацтеки, жившие в Мексике, почти до XVI в. не знали колеса.

Одной из задач в домашней работе была теоретическая: Почему канализационные люки делают круглыми, а не квадратными? (Сравните сторону квадрата с его диагональю. Квадратная крышка может провалиться в люк, чего никогда не случится с круглой крышкой.)

Ученик: Окружность обладает еще одним интересным свойством. Возьмем веревочку и свяжем ее в кольцо. Положив полученное кольцо на плоскость, сделаем из него разные фигуры: квадрат, треугольник, окружность и т.д. Площадь, ограниченная окружностью (т.е. площадь круга) – наибольшая среди полученных таким образом площадей.

Рисунок 3

IV. Объяснение новой темы.

Вопрос: Какую геометрическую фигуру называют кругом? (Кругом называют часть плоскости, ограниченную окружностью)

Вопрос: Какая формула используется для вычисления площади круга? (S = πR2)

Выведем формулу для вычисления площади круга.

Рассмотрим правильный многоугольник, вписанный в окружность. Его площадь равна произведению площади одного треугольника на их количество: . Если же увеличивать число сторон многоугольника бесконечно, то он практически сольется с окружностью. И тогда a · h → 2π · R, h→ R. Площадь такого многоугольника очень незначительно отличается от площади соответствующего круга: . Итак, площадь круга вычисляется по формуле S = πR2.

Рисунок 4

Вопрос:

  1. Пропорциональность каких величин указана в формуле?
  2. Как относятся площади двух кругов ?
  3. Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в 3 раза?
  4. Как изменится радиус круга, если его площадь уменьшили в 25 раз?

V. Создание проблемной ситуации. Лабораторно-практическая работа.

Сейчас вам предстоит выполнить лабораторно-практическую работу. Каждая команда решает только одно задание. На решение этих задач вам дается 4 минуты. (Ответственные выбирают задания. Решения №1 и №2 оформляются на листах А4.)

Задания:

1. Найдите центр круга удобным для вас способом и вычислите его площадь. Постройте круг, площадь которого в 4 раза больше площади данного круга. Во сколько раз длина окружности, ограничивающая первый круг, меньше длины окружности, ограничивающей второй круг?

2. Выполните необходимые измерения и найдите площадь закрашенной части фигуры.

Рисунок 5

3. Окружности с общим центром называются концентрическими, а разность их радиусов называется шириной ограниченного ими кольца. В кольце, образованном двумя концентрическими окружностями, хорда большей окружности, касающаяся меньшей, равна a. Определите площадь кольца.

4. Вычислите площадь круга, если она меньше площади описанного квадрата на 4,3м3. (π = 3,14)

5. Из жести в форме круга радиусом 4см вырезали правильный шестиугольник наибольшей площади. Сколько процентов жести ушло в отходы?
Вычислите площадь круг радиусом 4см вырезали правильный шестиугольник наибольшей площади. Сколько процентов жести ушло в отходы?

(Через отведенное время обсуждаются решения задач 1 и 2, решения остальных задач записаны на листах А4, а чертежи, если необходимо, выполняются на доске.)

Вопрос: Какие геометрические свойства используются для нахождения центра окружности, если он не обозначен?

Возможные ответы:

а) вписанный угол, опирающийся на диаметр;
б) свойство точек серединного перпендикуляра;
в) взаимно перпендикулярные диаметры.

Рисунок 6

Заслушиваются ответы учащихся у доски.

VI. Итоги урока. Отметки за работу на уроке.

Подведем итоги урока вашими ответами на устный тест.

Вопрос: Установите, истинны или ложны следующие высказывания:

  1. Длину окружности можно вычислить по формуле C = πD, где D –диаметр окружности. (истинно)
  2. Площадь круга равна произведению квадрата его радиуса на π. (истинно)
  3. Длина полуокружности диаметра 10 равна 5π. (истинно)
  4. Площадь круга можно вычислить по формуле , где D – диаметр круга. (ложно)
  5. Площадь круга радиуса 10 равна 10π. (ложно)

VII. Сообщения учащихся о числе π.

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679…

Ученик: π – первая буква греческого слова окружность, периферия. Впервые такое обозначение ввел в 1706 году английский математик Джонс. Общепринятым это обозначение стало в 1736 году, после одной из работ Эйлера, великого математика, физика, астронома. Письменная история числа π начинается с египетского папируса, датируемого примерно 2000 годом до н.э., где оно принимается равным …. Архимед для оценки числа π вычислял периметры вписанных и описанных многоугольников до 96-угольника. Ему принадлежит приближенное значение

Рисунок 7

Для закрепления в памяти числа Архимеда может оказаться полезной шутка из учебника Магницкого:

Двадцать две совы скучали
На больших сухих суках.
Двадцать две совы мечтали
О семи больших мышах,
О мышах довольно юрких
В аккуратных серых шкурках.
Слюнки капали с усов
У огромных серых сов.

Ученик: Индусы в V-VI веках пользовались числом китайцы – числом , а также числом

Рисунок 8

Три первые цифры числа π запомнить совсем несложно. А для большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:

Нужно только постараться
И запомнить все как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяноста два и шесть.

С.Бобров. «Волшебный двурог»

Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать восемь знаков числа π: 3,1415926…. В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:

Что я знаю о кругах?
3 1 4 1 6
это я знаю и помню прекрасно пи - лишние знаки тут чужды, напрасны.
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8

Недавно Джонатан и Питер Борвейны (США) нашли π с 29 360 128 верными знаками.

Если это число распечатать, оно займет 30 томов по 400 страниц.

IX. Задание на дом.

П.111, № 1116 (а, б), 1117 (б, в)

X. Заключение.

Рисунок 9

Самый оригинальный и неожиданный способ для приближенного вычисления числа π состоит в следующем. Запасаются короткой (сантиметра два) швейной иглой, - лучше с отломанным острием, чтобы игла была равномерной толщины, - и проводят на листе бумаги ряд тонких параллельных линий, отделенных одна от другой расстоянием вдвое больше длины иглы. Затем роняют с некоторой (произвольной) высоты иглу на бумагу и замечают, пересекает ли игла одну из линий или нет (рисунок слева). Чтобы игла не подпрыгивала, подкладывают под бумажный лист пропускную бумагу или сукно. Бросание иглы повторяется много раз, например сто или, еще лучше тысячу, каждый раз отмечая, было ли пересечение. (Пересечением надо считать и тот случай, когда игла только упирается концом в начерченную линию.)

Если потом разделить общее число падений иглы на число случаев, когда замечено было пересечение, то в результате должно получиться число π, конечно более или менее приближенно.

Чем большее число падений наблюдалось, тем точнее получается выражение для числа π. Один швейцарский астроном Р. Вольф в середине прошлого века наблюдал 5000 падений иглы на разграфленную бумагу и получил в качестве πчисло 3,159…- выражение, впрочем, менее точное, чем архимедово число.

Как видите, отношение длины окружности к диаметру находят здесь опытным путем, причем – это всего любопытнее – не чертят ни круга, ни диаметра, то есть обходятся без циркуля. Человек, не имеющий никакого представления о геометрии и даже о круге, может тем не менее определить этим способом число π, если терпеливо проделает весьма большое число бросаний иглы.

Литература:

  • Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений.
  • А.П. Киселев, Н.А. Рыбкин. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл.
  • И.Ф. Шарыгин. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся V-VI классов.
  • Математика в школе, №47/2002.