Одной из важнейших задач, которую ставит перед собой учитель математики, начиная курс геометрии – научить ребят доказывать теоремы. Задача сколь важная, столь и сложная. Без кропотливой работы на каждой уроке, без использования наглядных средств, памяток, выполнения разнообразных упражнений эту задачу не решить.
Одним из наиболее сложных методов доказательства является метод «от противного».
Этот метод доказательства основан на логическом приеме апагогии (греч. лат. deductio), когда несостоятельность какого-нибудь мнения доказывается таким образом, что или в нём самом, или же в необходимо из него вытекающих следствиях мы открываем противоречие.
Важно также вспомнить, что выполняется закон исключенного третьего. Суть его легко объяснить на простейших бытовых примерах: третье не существует, т. е., что кроме мнения, справедливость которого нужно доказать, и второго, ему противоположного, которое служит исходным пунктом доказательства, никакой третий факт не допускается.
Еще одной сложностью при работе над доказательством является то, что ученику приходится опираться только на логические выводы – чертеж ему помочь не может. Для школьников, привыкших работать со схемами, где все наглядно и понятно, и зачастую полностью опираться на чертеж при доказательстве, такая работа очень трудна.
Хотя с методом доказательство «от противного» ученики знакомятся довольно рано (при доказательстве теоремы о двух прямых, перпендикулярных третьей), редко кто из ребят схватывает суть доказательства. Наиболее эффективно, по нашему мнению начать работу над этим методом при рассмотрении темы «Параллельные прямые».
Ход урока
Подготовительный этап.
На этом этапе важно научить школьников строить отрицания утверждений.
Пример 1. Постройте отрицание следующих утверждений:
- Прямая а параллельная прямой b.
- Прямая a пересекает прямую b.
- Прямая а пересекает прямую b и прямую c.
- Прямая а параллельна прямой b и прямой c.
- Прямая а пересекает прямую а или прямую b или прямую с (вариант : Прямая а пересекает одну из прямых b или с).
- Прямая а параллельна прямой b или прямой с (вариант : Прямая а параллельна одной из прямых b или с).
Этап знакомства с методом доказательства «от противного».
На уроке по теме «Аксиома параллельных прямых» учащиеся знакомятся с аксиомой параллельных прямых и доказательством следствий из нее.
Перед проведением доказательства полезно раздать учащимся следующие схемы:
| Формулировка: | |
| Дано: | |
| Доказательство: | |
| 1) Выясняем, что нужно доказать: | |
| 2) Предполагаем противоположное: | |
| 3) Рассуждаем: | |
| 4) Приходим к противоречию: | |
| 5) Отрицаем предположение как неверное: | |
| 6) По закону исключенного третьего: |
Далее учащиеся получают доказательства следствий, разделенное на этапы – каждый этап на отдельной карточке. Задача учащихся – собрать доказательство в логическую последовательность, используя схему.
Вот как это выглядит:
| Формулировка: | Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую. |
| Дано: | a ║ b c ∩ a = M |
| Доказать: | c ∩ b |
| Доказательство: | |
| 1) Выясняем, что нужно доказать: | Прямая с пересекает прямую b |
| 2) Предполагаем противоположное: | Прямая с не пересекает прямую b |
| 3) Рассуждаем: | Прямая с параллельна прямой b.Прямая а и прямая b параллельны по условию.Через точку M проходят две прямые а и с, параллельные прямой b. |
| 4) Приходим к противоречию: | По аксиоме параллельных прямых через точку М может проходить только одна прямая, параллельная прямой b. |
| 5) Отрицаем предположение как неверное: | Предположение, что с не пересекает b – неверно. |
| 6) По закону исключенного третьего: | Значит с пересекает b. |
| Формулировка: | Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу. |
| Дано: | a ║ с b ║ с |
| Доказать: | a ║ b |
| Доказательство: | |
| 1) Выясняем, что нужно доказать: | Прямая a параллельная прямой b. |
| 2) Предполагаем противоположное: | Прямая a не параллельная прямой b. |
| 3) Рассуждаем: | Прямая а пересекает прямую b точке M.Прямая а и прямая с параллельны по условию.Прямая b и прямая с параллельны по условию.Через точку M проходят две прямые a и b, параллельные прямой с. |
| 4) Приходим к противоречию: | По аксиоме параллельных прямых через точку М может проходить только одна прямая, параллельная прямой с. |
| 5) Отрицаем предположение как неверное: | Предположение, что а не параллельная прямой b – неверно. |
| 6) По закону исключенного третьего: | Значит а параллельна b. |
Замечания:
- Этап рассуждений является самым трудным. Первоначально его можно включить в карточку целиком, а впоследствии усложнить задачу, разрезав на отдельные этапы.
- При доказательству нужно стараться поменьше использовать условных обозначений, по крайней мере, на этапе знакомства с методом.
- Старайтесь не использовать чертеж – он учащихся, как правило, только запутывает.
Удобство и эффективность работы с такими карточками несомненна: они пригодны и для повторения, и для контроля, и для самоконтроля при работе над доказательством.
В качестве упражнений можно предложить учащимся доказать методом «от противного» следующие факты:
- Если прямая параллельна одной из сторон угла, то она пересекает другую сторону (прямую, содержащую другую сторону).
- Если прямая пересекает одну из сторон треугольника, то она обязательно пересекает одну из оставшихся сторон (вариант: если прямая параллельная одной из сторон треугольника, то она пересекает прямые, содержащие две другие стороны треугольника).
Этап закрепления.
После изучения темы «Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей», можно предложить учащимся выполнить следующие задания.
Методом доказательства «от противного» докажите:
- Если прямые параллельны, то внутренние односторонние углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, не могут быть оба тупыми (вариант: Если прямые параллельны, то все углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, не могут быть тупыми).
- Если прямые параллельны, то внутренние односторонние углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, не могут быть оба острыми (вариант: Если прямые параллельны, то все углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, не могут быть острыми).
После изучения темы «Сумма углов треугольника», можно предложить учащимся выполнить следующие задания.
Методом доказательства «от противного» докажите:
- В треугольнике не может быть два тупых угла.
- В треугольнике не может быть два прямых угла.
- В равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть тупым.
Включая задания на доказательство методом «от противного» в различные темы школьного курса геометрии, учитель способствует развитию логической мышления школьников и математической культуры своих учеников.