Тема урока "Представление числовой информации с помощью систем счисления"

Цели урока:

• познакомить с понятием системы счисления, основание системы счисления;
• дать определение позиционных и непозиционных систем счисления;
• воспитывать у учащихся информационную культуру.

Задачи урока:

• Освоить запись чисел в непозиционных и позиционных системах счисления;
• Освоить представление чисел в двоичной системе счисления;
• Освоить представление чисел в позиционной системе с произвольным основанием.

Презентация “Системы счисления”. <Приложение>

План урока

Ход урока

Теоретическая основа урока

1. Понятие системы счисления. Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в не позиционных – не зависит.

2. Немного истории (слайды 2–10). Несколько десятков лет назад ученые-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес пятьдесят пять зарубок. Видно было, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой.

<Приложение>

Много тысячелетий прошло с того времени. Но и сейчас швейцарские крестьяне, отправляя молоко на сыроварню, отмечают число фляг такими же зарубками.

О том, как появились имена у чисел, ученые узнают, изучая языки разных племен и народов. Например, оказалось, что у нивхов, живущих на Сахалине и в низовьях Амура, числительные зависят от того, какие предметы считают. Важную роль играет форма предмета, тат что по-нивхски в сочетаниях "два яйца", "два камня", "два одеяла", "два глаза" и т. д. числительные различны. Одному русскому "два" у них соответствует несколько десятков различных слов. Много различных слов для одного и того же числительного применяют некоторые негритянские племена и племена, живущие на островах Тихого океана.

И должно было пройти много столетий, а может быть и тысячелетий, прежде чем одни и те же числительные стали применять к предметам любого вида. Вот тогда и появились общие названия у чисел.

Древние римляне говорили: "Слова улетают, написанное остается". И правда, сказанное сегодня может быть забыто завтра, а уж "что написано пером, не вырубишь топором". Но еще долгое время после того, как появились названия чисел, люди их не записывали. Причина для этого была у них самая уважительная: они еще не умели писать. Поэтому, если кому-нибудь надо было переслать другому человеку сведения, где учавствовали числа, прибегали к зарубкам на дереве или на кости, к узелкам на веревках и т. д.

Первые государства возникли в Египте и Месопотамии - Междуречье. Больше чем на 6 тысяч километров протянулась по Африке могучая река Нил. В долине Нила в незапамятных времен люди занимались земледелием. Примерно 5 тысяч лет тому назад там образовалось одно из первых на Земле государств. Кроме замечательных построек - пирамид, храмов и дворцов, до нас дошли многие записи и даже большие рукописи, сделанные древними египтянами. Некоторые из них высечены на камне, а большая часть написана чернилами на папирусе - плотной бумаге, которую делали из тростника. Ученые-историки научились читать древнеегипетские рукописи. Поэтому мы представляем, как жили древние египтяне: чем они занимались, что знали, во что верили.

Самым известным из государств Месопотамии был Вавилон (то же имя носил и главный город этого государства) Многие знания вавилоняне получали от шумеров, которые до них населяли Междуречье. В частности, от них позаимствовали они большую часть математических знаний. Эти знания были более обширными, чем у египтян. В Вавилоне умели решать более трудные задачи; у вавилонян была лучше разработана система записи чисел, в том числе и дробных.

3. Непозиционные системы счисления (слайд 11). Числовые обозначения в Древнем Риме напоминали первый способ греческой нумерации. У римлян были специальные обозначения не только для чисел 1, 10, 100 и 1000, но и для чисел 5, 50 и 500. Римские цифры имели такой вид: 1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D и 1000 – M. Возможно, знак V означал раскрытую руку, а X – две такие руки. Но есть и иное объяснение. Когда счет шел десятками, то, нарисовав 9 палочек, десятой их перечеркивали. А чтобы не писать слишком много палочек, перечеркивали одну палочку и писали десять так: . отсюда и получилась римская цифра X. А цифра 5 получилась просто разрезанием цифры для числа 10 пополам.

Спорят ученые и о происхождении других римских цифр. Возможно, что обозначения C и M связаны с римскими названиями сотни и тысячи. Тысячу римляне называли "милле" (слово "миля" когда-то обозначало путь в тысячу шагов).

Обозначая числа, римляне записывали столько цифр, чтобы их сумма давала нужное число. Например, число 7 они записывали так: VII, а число 362 так: CCCLXII. Как видите, сначала идут большие цифры, а потом поменьше. Но иногда римляне писали меньшую цифру перед большей. Это означало, что нужно не складывать, а вычитать. Например, число 4 обозначалось IV (без одного пять), а число 9 – IX (без одного девять). Запись XC означала число 90 (без одного сто). Так что, если вы увидите на старинном доме сделанную римскими цифрами надпись MDCCCXLIV, то легко определите, что он построен в 1844 году.

4. Позиционные системы счисления (слайд 12). Первая позиционная система счисления была придумана еще В Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной. До сих пор при измерении времени мы пользуемся основание 60 (1 минута – 60 секунд,, а в 1 часе – 60 минут). В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

5. Десятичная система счисления (слайд 13).

6. Двоичная система счисления (слайд 14).

7. Позиционные системы счисления с произвольным основанием (слайд 15).

<Приложение>

Упражнение1.

• Выпишите числа от 100 до 110 в римской системе счисления.
• Запишите числа 32 и 444 в римской системе счисления
• Выполните действие ((XXII – V) + XX : V) и запишите результат римскими цифрами.

Упражнение 2.

В некоторой системе счисления цифры имеют форму различных геометрических фигур. Запишите число 1999 и определите, какому десятичному числу соответствует запись.

Упражнение 3.

Укажите числа, записанные с ошибками 123₇, 30054, 12ААС09₂₀, 145476_7.

Упражнение 4.

Выпишите первые восемь натуральных чисел для систем счисления с основанием 10, 2, 3, 4, 5, 6.

Подводя итог:

• Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
• В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа.
• В позиционных системах счисления количественное значение цифры не зависит от ее позиции (разряда) в записи числа.
• В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.
• В системе счисления с произвольным основанием запись числа выглядит следующим образом:

Аq = а_n-1*q^n-1 +…+a₀*q⁰+ a_-1*q^-1 +…+a_-m*q^-m.

Домашнее задание.

Знать основные определения. Учебник “Информатика и информационные технологии 10–11”, Н.Угринович, стр. 92, задания 2.6, 2.7, 2.8.

Используемая литература.

1. Н. Угринович. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10–11 классов. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2002.
2. С.Б.Гашков. “Системы счисления и их применение”, издательство Московского центра непрерывного математического образования, М., 2004 год.
3. И.В.Левченко, О.Ю. Заславская. “Информатика и информационно-коммуникационные технологии”, сборник учебных задач, АПКиППРО, М., 2006 год.