Элективный курс "Математическая статистика"

Пояснительная статистика

По данным международного исследования PISA (Programme for International Student Assessment) в 2003 году математической грамотности учащихся пятнадцатилетнего возраста результаты российских школьников оказались значительно ниже среднего балла стран ОЭСР.

Анализ содержания заданий показывает, что около четверти из них относятся к темам “Дискретная математика”, “Статистика”, “Вероятность”, не входящим в российские учебные программы до 2004 года общеобразовательных классов.

Если учесть уровень продвинутости российского курса математики, то без преувеличения можно сказать, что школьники России проверялись не на том материале, который они изучают. Сейчас этот материал включен в новые стандарты по математике, но в условиях профильного образования количество часов на изучение математики уменьшается, в том числе и на изучение вопросов вероятностно-статистической линии.

Предлагаемый элективный курс “Математическая статистика” освещает намеченные, но совершенно не проработанные в общем курсе школьной математики вопросы. С одной стороны, курс поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему изучению базового курса, а с другой стороны, служит для поддержки профильного обучения - социально-правового.

Цели курса:

• формирование образовательной компетентности учащихся по математике через овладение ими знаниями и целесообразными способами деятельности;
• расширение и углубление знаний учащихся с учётом их интересов и склонностей;
• расширение представления учащихся о сферах применения математики.

Задачи курса:

• показать учащимся возможность использования математических методов и технологии статистической обработки в различных исследованиях;
• способствовать формированию таких важных в современном обществе умений, как понимание и интерпретация результатов статистических исследований, широко представленных в СМИ.

Содержание курса

I. Предмет, метод и задачи статистики.

Статистика как научный метод обработки числовых данных. Связь статистики с другими науками. Основные задачи статистики: выявление и изучение закономерностей, изучение совокупности на основе различий единиц совокупности. Классификация признаков, характеризующих особенности единиц совокупности. Отрасли статистической науки: экономическая статистика, социальная статистика (статистика здравоохранения, образования, культуры и т.д.), отраслевые статистики (статистика промышленности, агропромышленного комплекса, транспорта, связи и т.д.)

II.Анализ данных.

Сбор статистических данных. Систематизация, обобщение и анализ данных.

Таблицы. Сводные таблицы. Таблицы с результатами подсчётов. Электронные таблицы.

Диаграммы: график, столбчатая, круговая, точечная.

III. Случайная выборка и её представление.

Генеральная совокупность и случайная выборка. Выборочный метод как основной метод статистики. Генеральная совокупность, элементы генеральной совокупности. Описание генеральной совокупности через набор признаков. Случайная выборка. Репрезентативность случайной выборки. Практические механизмы получения репрезентативных выборок. Математическая модель случайной выборки.

Таблица частот. Ранжированный ряд. Частотная таблица. Абсолютная частота. Относительная частота.

Группировка данных. Интервальная таблица частот. Накопленная частота.

Полигон. Гистограмма.

IV. Числовые характеристики случайной выборки.

Числовые характеристики среднего. Среднее арифметическое, мода, медиана. Унимодальный ряд, полимодальный ряд. Особенности каждой из характеристик среднего.

Вычисление средних по таблицам. Формулы для вычисления среднего арифметического с использованием абсолютных частот и относительных частот значений ряда. Вычисление моды. Вычисление медианы. Вычисление числовых характеристик выборки по интервальной таблице частот. Применение пропорционального деления отрезка при вычислении моды и медианы по интервальной таблице частот.

Числовые характеристики разброса. Размах. Отклонение. Дисперсия, две формулы для её вычисления. Среднее квадратичное отклонение. Правило трёх сигм. Вычисление характеристик разброса по таблице частот.

Учебно-тематический план курса (32 часа)

Методические рекомендации

Тема I.

В результате изучения этой темы учащиеся должны уяснить, что статистика – это наука, особыми методами изучающая массовые явления и процессы общественной жизни и помогающая обнаружить закономерности различных процессов, происходящих в жизни.

Тема II.

Раздел 1. При изучении этого раздела учащиеся должны получить представление о трёх основных этапах любого статистического исследования: сборе, систематизации и анализе статистических данных.

Сбор данных - процесс трудоёмкий и дорогостоящий. Если к сбору данных подключить самих учащихся, то, во-первых, эти данные можно получить бесплатно, а, во-вторых, интерес к их дальнейшей обработке у учащихся сильно возрастёт. Целесообразно организовать с помощью учащихся социологическое мини-исследование, тему которого могут предложить они сами. Вот возможные варианты:

• Какой из школьных предметов кажется вам наиболее интересным (трудным)?
• Сколько времени каждый из вас тратит на дорогу в школу?
• Довольны ли вы качеством питания в школьной столовой? Оцените по пятибалльной шкале вкусовые качества блюд (перечислите блюда)?
• Сколько времени вы тратите на приготовление уроков дома?
• Сколько времени вы проводите у телевизора?
• Какой маркой сотового телефона вы пользуетесь?

Собранная информация пригодится при изучении дальнейших тем и послужит материалом для составления таблиц и построения диаграмм. Статистические данные можно собирать не только прямыми опросами или измерениями, но и с помощью современных средств ИКТ, прививая учащимся элементы информационной культуры. Систематизация данных сегодня практически немыслима без применения компьютера. Его использование при изучении статистического материала необходимо уже с первых занятий.

Раздел 2. При изучении этого раздела задача учителя – продемонстрировать, преимущества электронных таблиц, а также то, что таблицы действительно удобный способ для упорядочивания и систематизации больших объёмов информации. Основные навыки, которые должен получить здесь ученик, состоят в следующем:

• быстро разбираться в структуре таблицы и находить в ней нужную информацию;
• самостоятельно структурировать информацию и представлять её в виде таблицы;
• составлять на основе заданной таблицы новые (сводные);
• использовать таблицы для подсчёта результатов различных статистических опытов и наблюдений.

Можно привлекать самый разный материал из других предметов (учебники географии, истории, физики и др.).

Раздел 3. Работа с диаграммами обычно вызывает интерес у всех учащихся. Особенно полезными при изучении статистических зависимостей оказываются диаграммы рассеивания. От ученика требуется:

• уметь читать готовые диаграммы, извлекая из них нужную информацию;
• строить по имеющимся статистическим данным диаграммы заданного вида;
• самостоятельно выбирать наиболее подходящий для представления указанных данных тип диаграммы.

Тема III.

Раздел 1. Выборочный метод лежит в основе всех реальных статистических исследований, а с генеральной совокупности начинается любой курс статистики. Необходимо рассмотреть два типа генеральных совокупностей:

• множества реальных объектов;
• множества случайных опытов или явлений.

Учащиеся должны составить представление о случайной выборке как случайном выбранном подмножестве объектов генеральной совокупности. Полезно обсудить возможные механизмы выбора в различных реальных ситуациях. С этими механизмами связано понятие репрезентативности.

Ещё один момент, на котором стоит остановиться – переход от случайной выборки к числовому ряду. В любых статистических исследованиях каждый объект или явление заменяются в них набором числовых характеристик.

Раздел 2. Упорядочение данных лежит в основе любой автоматической обработки данных и является первым шагом такой обработки. В статистике этому шагу соответствует переход от выборки к ранжированному ряду. Полезно обсудить различные методы упорядочивания массивов, посмотреть как это делается с помощью электронных таблиц.

В этом разделе рассматривается особый вид таблиц – частотные таблицы, построенные на основе числового ряда.

Учащиеся должны четко усвоить терминологию и понимать, что такое абсолютные, относительные и накопленные частоты и в чем их содержательный смысл; уметь восстанавливать по одному виду частот другие. Нужно обратить внимание на то, что по абсолютным частотам относительные частоты восстанавливаются однозначно, а для обратной операции необходимо знать объем выборки. Замечательно, если построение частотных таблиц удается провести с использованием MS Excel: это значительно ускорит работу и позволит обрабатывать большие объемы данных.

Раздел3. Необходимость в группировке данных возникает в том случае, когда требуется наглядно представить распределение частот для признака, значения которого в выборке почти не повторяется.

В статистике в связи с этим вводят понятие дискретного и непрерывного признака. Учащиеся должны понимать, что необходимость в группировке возникает именно для непрерывных признаков.

Раздел4. При рассмотрении полигонов нужно понимать, что “промежуточные” значения полученной кусочно-линейной функции не имеет смысла. Поскольку рассматриваемый признак меняется дискретно, то мы имеем дело с графиком функции, областью определения которой является дискретный набор точек. Соединение этих точек отрезками служит лишь для повышения наглядности графика.

При построении гистограмм необходимо обратить внимание, что высота каждого столбика выбирается так, чтобы его площадь равнялась относительной частоте. Это требование вводится для того, чтобы сумма площадей всех столбиков на диаграмме равнялось 1.

Тема IV.

Раздел1. Умение построить на основе большого объема данных несколько числовых характеристик, вмещающих в себя основные сведения о поведении всей выборки в целом, а также умение правильно применить эти сведения на практике – следующая ступень в изучении математических методов обработки данных.

Средние характеристики несут наиболее важную часть информации о поведении числового ряда.

Мотивированные учащиеся могут познакомиться с некоторыми простейшими свойствами среднего арифметического, которые приводятся в задачах. Речь идет прежде всего о линейности: при сдвиге или умножении всех членов ряда на одно и то же число среднее арифметическое сдвигается и умножается на то же самое число.

Рассмотрение моды и медианы должно продемонстрировать другие подходы к определению среднего. Мода отличается от других характеристик тем, что может быть введена и для нечисловых признаков. При вычислении медианы необходимо обратить внимание на разные способы ее определения при четном и нечетном количестве чисел. Наиболее характерным свойством медианы является ее устойчивость к изменению отдельных чисел ряда.

После введения всех средних характеристик нужно обязательно обсудить с учащимися их характерные свойства и содержательный смысл.

Раздел2. Вычисление средних по таблице частот – вопрос чисто технический. Типичной ошибкой при вычислении среднего арифметического или медианы является игнорирование частот и вычисление средних только по столбцу различных значений, полученных в выборке.

Раздел3. При анализе числового ряда нельзя ограничиваться только его средними характеристиками. Характеристики разброса или рассеяния зачастую несут не менее важную информацию, чем средние. Можно после обсуждения примеров из учебника попросить учащихся вспомнить самостоятельно ситуации, в которых информация о разбросе числовых данных оказывается не менее ценной, чем их средние характеристики (разброс температуры в течение суток, артериального давления у пациентов, зарплат на предприятии и т. д.).

При обсуждении вопроса о выборе средней мере разброса желательно, чтобы учащиеся самостоятельно открыли, что средний разброс данных вокруг среднего арифметического равен нулю. Сильных учащихся можно попросить доказать это свойство для общего случая.

Раздел4. Подсчет характеристик разброса по таблице частот не должен вызывать особых затруднений. Стоит обратить внимание на технологию “ручного” счета: полезно достроить заданную таблицу частот столбцом, в котором будут найдены квадраты исходных чисел, затем вычислить среднее арифметическое квадратов и среднее арифметическое исходных числе, после чего вычислить дисперсию по формуле.

Литература

1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования первичной обработки данных. М.: Финансы и статистика.1983.
2. Боровиков В. Statistica: искусство анализа данных на компьютере. С.- Петербург: Питер,2001.
3. Бунимович Е.А., Булычёв В.А. Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы. М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2005.
4. Гусаров В.М. Статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА,2001.
5. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1995.
6. Математический энциклопедический словарь. М.: Наука,1988.
7. Спрент П. Как обращаться с цифрами, или Статистика в действии. Минск. Высшая школа, 1988.
8. Статистический словарь. М.: Финансы и статистика,1989.
9. Тюрин Ю.Т., Макаров А.А, Анализ данных на компьютере. М.: Финансы и статистика,1995.
10. Шмойлова Р.А., Безфамильная Е.Б., Глубокова Н.Ю,Теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1995.
11. http://www.gks.ru.