Программа элективного курса "Уравнения и неравенства с параметрами"

Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в “Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.”, где ставится задача создания специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования”. Особое внимание следует обратить на задачи, содержащие параметр. В обязательном минимуме этот материал представлен, но в школьном курсу алгебры такие задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому вызывают трудности у школьников. На экзаменах прошлых лет общеобразовательных классах, как правило, задачи с параметрами не решались, а если решались сильными учащимися, то только частично. Дело в том, что методы решения уравнений и неравенств с параметрами учащимся неизвестно. Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю.

В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно.

При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.

В связи с выше сказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: “Решение задач с параметрами”. Преподавание элективного курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности - повышенный. В процессе работы возможно перераспределение часов в зависимости от уровня подготовки учащихся.

Данный курс рассчитан на 12 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение задач и контрольную работу.

Анализ материалов выпускных экзаменов и Федерального тестирования позволил выделить группу задач, которые составили основу данного курса. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простейших линейных неравенств и уравнений с параметрами до достаточно трудных, конкурсных и олимпиадных задач.

В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из трех частей: лекции (включает и задачи, решаемые учителем), задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельной работы учащихся. Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа, семинар, самостоятельная работа.

Курс характеризуется рациональным сочетанием аналитической строгости и геометрической наглядности. Он является открытым, в него можно добавить новые темы, развить тематику в старших классах. Программа мобильна, дает возможность сокращения количества решаемых задач по теме.

Данная программа может быть использована в 8-9 классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, предоставляет возможность сознательного выбора профиля обучения и в дальнейшем специальности.

СТРУКТУРА ПРОГРАММЫ

Программа является обучающей и содержит:

• пояснительную записку;
• цели курса;
• задачи курса;
• примерное тематическое планирование;
• требования к умениям и навыкам;
• методические рекомендации;
• литература;
• приложение.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в вузы.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Данный курс “Уравнения и неравенства с параметрами” способствует более глубокому усвоению основного курса математики. Материал курса может использоваться учителем на уроках алгебры в 8-9-х классах, на занятиях математического кружка или факультативных занятиях. Курс предназначен для расширенного и углубленного изучения математики и подготовки к выпускным экзаменам за курс общей и средней школы.

Данный курс освещает задачи с параметрами, которые вызывают учащихся наибольшие трудности. Навыки решения задач с параметрами необходимы всем учащимся, которые стремятся хорошо подготовиться к успешной сдаче выпускных экзаменов, ведь все чаще подобные задачи встречаются в материалах выпускных экзаменов и Федерального Центра тестирования. Данный курс способствует формированию устойчивого интереса учащихся к предмету, исследовательского подхода в решении задач, сознательному овладению учащимися системой математических знаний. Ведь именно решение задач с параметрами открывает перед учащимися большое число эвристических приемов, ценных для математического развития личности и именно задачи такого рода стали неотъемлимым атрибутом материалов экзамена в новой форме.

Курс “Уравнения и неравенства с параметрами” сокращает разрыв между требованиями, которые предъявляет к выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к абитуриенту ВУЗ. Он ориентирует учащихся на выбор профиля, связанного с математикой, а в дальнейшем профессии технического направления.

ЦЕЛИ КУРСА:

• Восполнить пробелы основного курса;
• формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к экзамену в новой форме и к обучению в старшем звене;
• изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к выпускному экзамену и централизованному тестированию;
• развивать познавательную деятельность учащегося;
• обеспечить условия для самостоятельной творческой работы;
• показать множество приемов решения задач с параметрами, в том числе графический;
• формировать исследовательский подход в решении задач;
• помочь осознать степень глубины знаний по предмету;
• оценить возможности сознательного овладения учащимися системой математических знаний;
• ориентировать учащихся на выбор математического профиля обучения.

ЗАДАЧИ КУРСА:

• углубить знания учащихся по предмету;
• формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
• выявление и развитие их математических способностей;
• подготовка к новой форме проведения экзамена в 9-м классе и к обучению в старшем звене;
• открыть учащимся новые приемы решения уравнений и неравенств с параметрами;
• помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;
• помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательных перспектив;
• развивать познавательную и исследовательскую деятельность учащегося;
• устранить у учащихся трудности, которые возникают при решении задач с параметрами.

Требования к знаниям и умениям до изучения курс:

До изучения курса учащиеся должны уметь:

• решать линейные и квадратные уравнения;
• строить графики элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;
• решать простейшие иррациональные уравнения с параметром как аналитически, так и графически;
• применять аппарат алгебры для решения прикладных задач;
• иметь четкое представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.

ТРЕБОВАНИЯ К УМЕНИЯМ И НАВЫКАМ:

Введение элективного курса “Решение задач с параметрами” необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к экзамену, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий, семинаров, практикумов. При изучении курса для обучающихся предусмотрены большие возможности для самостоятельной работы, творческого подхода, исследовательской деятельности.

В результате изучения курса учащийся должен:

• усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
• применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр,
• проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
• овладеть исследовательской деятельностью.

Оценка знаний и умений обучающихся проводится с помощью итоговой контрольной работы, которая включает в себя задачи с параметрами из вариантов выпускных экзаменов 9 классов в новой форме.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Тема 1.Знакомство с параметрами.

Задачи с параметром. Первое знакомство. Типы задач с параметрами. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Аналитический метод решения задач с параметрами. Геометрический метод решения задач с параметрами. Метод решения относительно параметра.

Тема 2-3. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметром. Решение линейных неравенств с параметром. Параметр и количество решений системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с параметром. Решение систем линейных неравенств с параметром.

Тема 4. Квадратные уравнения.

Свойство квадратного трехчлена. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа (“для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”) Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”).

Тема 5. Квадратные неравенства.

Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квадратных неравенств с параметром второго типа.

Тема 6.Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр

Решение линейных уравнений с модулем и параметром. Решение линейных неравенств с модулем и параметром. Решение квадратных уравнений с модулем и параметром. Решение квадратных неравенств с модулем и параметром.

Тема 7. Графические способы решения заданий с параметрами

Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений.

Тема 8. Решение разнообразных задач с параметрами по курсу

Решение уравнений, неравенств с параметром. Решение задач на нахождение области определения функции с параметром.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий, семинаров, практикумов. При изучении курса для обучающихся предусмотрены большие возможности для самостоятельной работы, творческого подхода, исследовательской деятельности.

1. Основные методы решения задач с параметрами

1.1. Задачи с параметром. Первое знакомство. Лекция.

1.2 Типы задач с параметрами. Лекция.

1.3 Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Практикум.

1.4 Аналитический метод решения задач с параметрами. Практикум.

1.5 Геометрический метод решения задач с параметрами. Практикум.

1.6 Метод решения относительно параметра. Практикум.

2. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

2.1 Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Лекция.

2.2 Решение линейных уравнений с параметром. Лекция +практикум.

2.3 Решение линейных неравенств с параметром. Лекция +практикум.

3. Системы линейных уравнений с параметрами.

3.1 Параметр и количество решений системы линейных уравнений. Лекция.

3.2 Решение систем линейных уравнений с параметром. Практикум.

3.3 Решение систем линейных неравенств с параметром. Практикум.

4. Квадратные уравнения.

4.1 Свойство квадратного трехчлена. Семинар.

4.2 Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Практикум.

4.3 Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Практикум.

4.4 Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Практикум.

4.5 Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Практикум.

4.6 Решение квадратных уравнений с параметром первого типа ( “для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”) Практикум.

4.7 Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”) Практикум.

5. Квадратные неравенства.

5.1 Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Практикум.

5.2 Решение квадратных неравенств с параметром второго типа. Практикум.

5.3 Решение квадратных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

6. Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметр.

6.1 Решение линейных уравнений с модулем и параметром. Практикум.

6.2 Решение линейных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

6.3 Решение квадратных уравнений с модулем и параметром. Практикум.

6.4 Решение квадратных неравенств с модулем и параметром. Практикум.

7. Графические способы решения заданий с параметрами.

7.1 Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Практикум.

7.2 Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Практикум.

7.3 Использование симметрии аналитических выражений. Практикум.

8. Решение разнообразных задач с параметрами по курсу.

8.1 Решение тригонометрических уравнений, неравенств с параметром. Семинар- практикум.

8.2 Решение логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Семинар- практикум.

8.3 Решение задач на нахождение области определения функции с параметром. Семинар- практикум.

Заключительное повторение. Контрольная работа.

РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами, советуем разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра а=1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра а=1 искомым для данной задачи. Отметим, что подстановка фиксированного значения параметра позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи.
2. При решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Если изобразить графики функций, входящих в левые и правые части рассматриваемых уравнений, то тогда точки пересечения графиков будут соответствовать решениям уравнения, а число точек пересечения- числу решений. Аналогично, при решении систем уравнений или неравенств можно изобразить геометрические места точек плоскости, удовлетворяющих рассматриваемым уравнениям или неравенствам. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный “ключ” к решению.
3. Решение многих задач с параметрами требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным условиям расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.
4. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. Также рекомендуем прежде, чем записывать ответ, еще раз внимательно прочитать условие задачи и четко уяснить, что именно спрашивается.
5. Для того, чтобы освоить приемы решения задач с параметрами, необходимо внимательно разобрать приведенные примеры решения таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для самостоятельного решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ ПЕДАГОГА

1. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9
2. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В., Решение задач, содержащих параметры.- М.: Науч.-пед. об-ние “Перспектива”, 1990.- 4.2- 38 с.
3. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы. Математика в школе.- 1983- № 4.- с. 36-40.
4. Егерман Е. Задачи с параметрами.- Математика. № 2, 2003.
5. Мещерякова Г.П. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. – Математика в школе. № 5, 2001.
6. Неделяева С. Особенности решения задач с параметрами. –Математика.- 1999 г. № 34- с. 20-23.
7. Циганов Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9.
8. Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 10 кл. средней школы.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.
9. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. – М.: ТНД “Русское слово- РС”, 2003.
10. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. - М.: Аркти, 2000.
11. Математика для поступающих в вузы //Сост. А.А.Тырымов. – Волгоград: Учитель, 2005.
12. Математика. Задачи М.И.Сканави. - Минск; В.М.Скакун,1998г.
13. Математика. “Первое сентября”.? 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г
14. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г
15. Материалы по подготовке к экзамену в новой форме 2006-2008 г.г.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ

1. Большой энциклопедический словарь. Математика.- М.: Научное издательство “Большая Российская энциклопедия”, 1998.
2. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика.- 1999. № 5- с. 4-9
3. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы. Математика в школе.- 1983- № 4.- с. 36-40.
4. Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 10 кл. средней школы.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.
5. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. – М.: ТНД “Русское слово- РС”, 2003.
6. Материалы по подготовке к экзамену в новой форме 2006-2008 г.г.