Одной из основных тем программы обучения при преподавании информатики в школе является тема "Моделирование и формализация". Трудно переоценить ее значение для учащихся, ибо только в курсе информатики учащийся встречается с понятием "модель", которым пользуется практически с пеленок. Понятие "модель" относится к числу основных понятий информатики. Необходимость изучения этого понятия вытекает из того, что, во-первых, знания об изучаемых объектах, процессах и явлениях представлены моделями. Во-вторых, только строя информационные модели, можно передавать эти знания. В-третьих, автоматизация процессов, связанных с обработкой информации, основана на использовании информационных и компьютерных моделей.
Изучение темы "Моделирование и формализация" учащимися требует от учителя не только знания содержания данной темы, но и переосмысления этого содержания. В настоящее время имеется несколько учебников по информатике для 10-11 классов, авторы которых имеют собственный взгляд на проблему изложения темы "Моделирование и формализация". Часто они предлагают пользоваться нестрогими определениями основных понятий, главным образом опираясь на происхождение этого слова. Возьмем, например, базовое понятие темы - понятие модели. Слово "модель" произошло от латинского слова modelium, которое означает: мера, образ, способ и так далее. Его первоначальное значение было связано со строительным искусством, и во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью. Поэтому все авторы берут за основу определения модели "некий заменитель того объекта (предмета, процесса, явления), с которым человеку приходится иметь дело", а в других аспектах расходятся. Классификации моделей также различны у различных авторов. Кроме того, нельзя назвать устоявшимися и определения понятий "моделирование", "формализация", "система". Нельзя не сказать и о компьютерных моделях, а также компьютерном моделировании. Четкого определения компьютерной модели нет ни в одном из учебников. О компьютерном моделировании можно судить только по алгоритмам, которые традиционно предлагаются для решения некоторого узкого класса задач. Многие такие задачи взяты из вузовских учебников по вычислительным методам.
Фактически после прохождения темы "Моделирование и формализация" учащийся должен четко представлять, что без моделирования невозможно решить ни одну задачу. Для этого учащийся должен на примере решения различных задач представлять процесс моделирования. В учебниках по теме "Моделирование и формализация" дается малое количество задач, понятных учащимся, в которых требуется строить модели в некоторых жизненных ситуациях и определять, какие модели годятся при этом, а какие нет, когда можно обойтись без компьютерного моделирования, а когда нет.
Учащимся достаточно сложно самостоятельно решать задачи с использованием компьютерного моделирования, по сути, необходимо делать выбор в пользу той или иной технологии. Кроме того, построение самой компьютерной модели - сложная работа. Поэтому подбор задач для данной темы - это самая главная задача для учителя.
Первые задачи, решение которых я разбираю с учащимися, это задачи на определение классической вероятности, в которых показывается, как наука, называемая теорией вероятности, позволяет делать прогнозы о наступлении того или события. На таких задачах наглядно просматривается весь процесс моделирования.
Первая задача имеет следующую формулировку:
"строительная фирма занимается отделкой квартир. Для оклейки стен в прихожих строящегося дома менеджером были закуплены обои двух наиболее популярных цветов с одинаковым рисунком в равном количестве. Фирма работала давно в сфере строительных услуг и предоставляла право заказчикам самим выбирать цвет обоев. Могла ли произойти ситуация, когда
заказчики квартир, находящихся на одной лестничной площадке выбрали один и тот же цвет?
бывала ли такая ситуация раньше и насколько часто она, по-вашему, может происходить?"
Имеющаяся формулировка, представляющая словесную (описательную) модель задачи, не позволяет сразу определить параметры, которые помогут перейти к другой модели на формализованном языке. Для этого требуется знание такой науки, как теория вероятности. (Основные понятия этой науки: элементарное событие, пространство элементарных событий, событие, вероятность события. Данная наука строит абстрактные модели "опыта" или "наблюдения". Под вероятностью какого-либо события понимается частота, с которой это событие происходит. Она вычисляется как отношение количества благоприятных элементарных событий (Кб), составляющих это событие, к количеству всех возможных элементарных событий (КВ)). Таким образом, в рамках понятий классической теории вероятности можно сформулировать задачу следующим образом: имеется n квартир, в которых обоями двух цветов - желтыми и зелеными (Ж и З) оклеиваются прихожие. Цвет обоев выбирается случайно, количество обоев ничем не ограничивается. 1). Какова вероятность того, что во всех квартирах прихожие будут оклеены обоями одного цвета?
При решении задачи вначале надо определить пространство элементарных событий. Пусть n=1, то есть, на площадке только одна квартира. Тогда элементарных событий - 2 (обои в прихожей этой квартиры могут быть или желтые, или зеленые) и КВ =2.
Представить эти события можно, например, в виде окрашенных прямоугольников (Рис.1) или с помощью слов "желтый" и "зеленый", а также букв Ж и З:
|
Рис.1
Очевидно, имеются и другие модели для представления события, заключающегося в том, что прихожая в квартире оклеена обоями некоторого цвета. Так как прихожая на площадке одна, то она может быть оклеена обоями одного из двух возможных цветов, но какого конкретно цвета, не имеет значения (это следует из условия задачи), следовательно, подходят оба варианта, то есть Кб = 2, а Р = 2/2 =1.
Теперь пусть n = 2 и квартиры имеют номера: 1 и 2, тогда элементарные события удобнее представить следующим образом:
1 2
- Ж Ж - первое;
- Ж З - второе;
- З Ж - третье;
- З З - четвертое события.
Так как элементарных событий - 4, то КВ = 4.
Благоприятное событие составное, состоит из двух элементарных событий: ЖЖ, ББ, то есть Кб =2. Следовательно, вероятность события, состоящего в том, что прихожие двух квартир будут оклеены обоями одного цвета, равна Р = 2/4 = 1/2.
Для n = 3 элементарных событий будет КВ=8 (ЖЖЖ, ЖЖЗ, ЖЗЖ, ЖЗЗ, ЗЖЖ, ЗЖЗ, ЗЗЖ, ЗЗЗ), а благоприятных, то есть тех элементарных, составляющих нужное событие, будет опять 2: ЖЖЖ, ЗЗЗ. Значит КБ=2. Искомая вероятность Р = 2/8= 1/4.
Для n = 4 пространство элементарных событий составляют следующие события: ЖЖЖЖ, ЖЖЖЗ, ЖЖЗЖ, ЖЖЗЗ, ЖЗЖЖ, ЖЗЖЗ, ЖЗЗЖ, ЖЗЗЗ, ЗЖЖЖ, ЗЖЖЗ, ЗЖЗЖ, ЗЖЗЗ, ЗЗЖЖ, ЗЗЖЗ, ЗЗЗЖ, ЗЗЗЗ, КВ=16, благоприятных - 2: ЖЖЖЖ, ЗЗЗЗ, Кб=2. Искомая вероятность Р = 2/16= 1/8.
Очевидно, что при увеличении значения n на 1 величина КВ увеличивается в два раза, а величина Кб остается постоянной, равной 2. Таким образом, для произвольного n имеем Кб = 2, КВ = 2n, Р= 2/2n.
Самое трудное при нахождении вероятности - это перебор различных вариантов. Представить, как происходит этот перебор, можно на трех таблицах
Рис.2
Во всех таблицах крайний правый столбик меняет цвета в каждой ячейке, соседний столбик - через 2 ячейки, следующий (такого нет в первой таблице) - через 4 ячейки, и, наконец, крайний левый в последней таблице - через 8 ячеек.
Таким образом, если бы нужно было найти, как раскрашивается пространство элементарных событий для n = 5, мы бы построили таблицу из 25 = 32 строк и 5 столбцов и раскрасили соответствующим способом.
Модель пространства элементарных событий представляет собой окрашенную таблицу. По этой таблице можно легко найти те элементарные события и подсчитать их количество, которые необходимы для вычисления вероятности любого другого события. Чтобы найти вероятность события, заключающегося в том, что ровно две прихожие из четырех будут окрашены в один цвет, а две другие в другой, надо отметить в таблице №3 соответствующие строки (это 3,5,6,10,11,13 строки). Их 6, то есть Кб = 6, значит Р = 6/16 = 3/8.
Для больших значений n такой визуальный способ уже не годится. Поэтому лучше всего перейти к цифровой модели пространства элементарных событий, сопоставив цвету Ж - 0, а цвету З - 1. Получим следующие модели
n=2 {00; 01; 10; 11}
n=3 {000; 001; 010; 011; 100; 101; 110; 111}
n=4 {0000; 0001; 0010; 0011; 0100; 0101; 0110; 0111; 1000; 1001; 1010; 1011; 1100; 1101; 1110; 1111}
Отметим, что на таких моделях для нахождения вероятностей нужно подсчитывать количество строк, имеющих то или иное число единиц или нулей.
Удобство работы с такими моделями заключается в том, что они не только легко могут создаваться с помощью имеющихся информационных технологий и вычислительных возможностей компьютера, но и сам процесс решения задачи может быть автоматизирован благодаря использованию систем программирования. При этом каждый, кто будет решать какую либо вероятностную задачу с использованием компьютера, должен будет выбирать и компьютерную технологию. Пусть, например, для решения задачи выбран язык программирования Basic и требуется подсчитать вероятность того, что среди последовательностей длины n, состоящих из нулей и единиц, ровно n/2 единиц. (n - четно). Перебор в программировании осуществляется с помощью вложенного цикла. Если переменными цикла являются переменные i1, i2, :., in, а их значениями числа 0 и 1, то для решения задачи можно воспользоваться следующей программой.
n = 8
m =2*n
k=0
FOR i1 = 0 TO 1
FOR i2 = 0 TO 1
::::::::
FOR in =0 TO n
IF i1+i2+i3+ :.+ in = n/2 then k= k+1
NEXT in
NEXT i2
NEXT i1
P = K/ m
PRINT "P=";P
n - количество вложенных циклов. Чему будет равно значение n, зависит от условия задачи. В приведенной программе оно выбрано наугад, равным 8, только для примера.
Компьютерные модели решения вероятностных задач можно также получать с использованием электронных таблиц, графических и текстовых редакторов.
Использование различных информационных технологий для построения компьютерных моделей показывает учащемуся, что имеются различные инструменты, которые можно выбрать для решения поставленной перед ним задачи. Благодаря этому выбору можно эффективно и с минимальными затратами временных и других ресурсов решать задачи!