Цель: ввести понятие аксиомы, рассмотреть аксиому параллельных прямых и ее следствия.
Ход урока
I. Постановка цели урока
II. Проверка домашнего задания по вопросам
1. Дать определение параллельных прямых
2. Назвать все углы при пересечении двух прямых секущей
3.Сформулировать признаки параллельности двух прямых (1 - 3), рассмотреть их применение на примере такой задачи:
Дано: прямая с пересекает а и b, 
1
= 30о, 5 в 5 раз больше.
Доказать: а||b.
Решите задачу тремя способами: через накрест лежащие углы, через соответственные углы и через односторонние углы (устно, по вариантам).
4. Рассказать о практических способах построения параллельных прямых (по пункту 26 учебника).
Физкультминутка
Раз – потянуться
Два – нагнуться
Три – оглянуться
Четыре – присесть
Пять – руки вверх
Шесть – вперед
Семь – опустили
Восемь – сели
Девять – встали
Десять – снова сели
III. Изучение нового материала
Итак, исходя из вышеизложенного, мы можем решить такую задачу: через точку, не лежащую на прямой, провести прямую, параллельную данной. Возникает вопрос: а сколько таких прямых можно провести?
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
А как это доказать?
Может существует еще одна прямая b/, проходящая через т. М и параллельная прямой а?
Оказывается, доказать это невозможно, хотя ученые на протяжении многих веков пытались это сделать. Называли эту проблему проблемой пятого постулата, потому что в геометрии Евклида это утверждение называлось пятым постулатом, а Евклид жил в III веке до нашей эры.
Там, где с морем
сливается Нил,
в древнем жарком краю
пирамид,
математик греческий жил –
многознающий
мудрый Эвклид.
Геометрию он изучал.
Геометрии он обучал.
Написал он великий труд.
Эту книгу
«Начала»
зовут.
И только наш русский ученый Н.И. Лобачевский, впоследствии ставший ректором Казанского университета, обосновал, что это утверждение не может быть доказано.
Значит это аксиома. Оказывается, кроме геометрии, которую изучают в школе, есть и другие геометрии, в которых нет параллельных прямых. Посмотрите на глобус, вот вам пример геометрии кривого пространства: меридианы пересекаются в двух точках, в северном и южном полюсах.
Послушайте об этом стихотворение.
«Да!
Конечно, да!
Доказывать бесцельно!
Параллельные пойдут не параллельно
там,
где звездный мир раскинулся без края!
Аксиома параллелей там –
другая!
Параллельно геометрии Эвклида
есть еще одна – совсем другого вида!»
Смотрел он долго в зимнее окно.
Горели звезды в небе над Казанью –
Вселенная была с ним заодно.
Открылся чистый купол мирозданья
и звезды в вышине огнем горели,
твердя: не параллельны параллели!»
В геометрии слово «аксиома» вы слышите впервые, но в жизни оно часто употребляется. Какое у него значение?
Аксиома – это утверждение, которое принимается без доказательства. На самом деле, с аксиомами мы с вами уже встречались в I главе и во II главе.
Сколько прямых можно провести через 2 точки?
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Это аксиома.
Сколько отрезков, равных данному, можно отложить на данном луче от его начала?
На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. Это тоже аксиома.
Об аксиомах планиметрии вы можете прочитать в конце учебника в приложении 1.
Ребята читают по очереди аксиомы и рассматривают их геометрические интерпретации.
Так как же построена геометрия?
Вводятся основные понятия.
Затем принимаются без доказательства некоторые свойства – аксиомы.
На основании аксиом и ранее доказанных теорем доказываются следующие теоремы.
Пример: при доказательстве 2 и 3 признаков параллельности был использован 1 признак о накрест лежащих углах.
Цель последующих уроков – научиться использовать аксиому параллельных прямых при изучении свойств прямых и при решении задач.
У этой аксиомы есть следствия 1о и 2о.
Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями.
1о. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
2о. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Следствия 1о и 2о доказываются с помощью аксиомы параллельных прямых. Изучите их доказательства самостоятельно по учебнику: 1-ый вариант - 1о, а 2-ой вариант - 2о.
Ребята рассказывают доказательства у доски.
В этих следствиях используется метод доказательства, называемый методом от противного, частично мы его уже использовали, например, при изучении свойства: если две прямые перпендикулярны третьей, то они не пересекаются.
IV. Задание на дом
П. 27, 28, № 196.
V. Итоги урока
Какое утверждение называется аксиомой?
Сформулируйте аксиому параллельных прямых и следствия из нее.
В заключении посмотрите сценку о том, как построена геометрия.
Задача-сказка.
Разговорились как-то аксиомы, теоремы, доказательства и задачи.
– Мы, аксиомы, основа всей геометрии! Без нас бы и геометрии не было! – горделиво заговорили аксиомы. Если человек попадет на необитаемый остров без учебника геометрии и с ним будем все мы, то он, опираясь на нас, создаст всю остальную геометрию. Значит, мы основа основ!
- Хороша бы была геометрия, если бы не было нас, теорем! – возразили мощным хором теоремы. – Любой школьник с грустью улыбнется, представив, что это за геометрия была бы без нас! Ничего, кроме аксиом. Мы, теоремы, царствуем по всему учебнику геометрии!
– Не ссорьтесь, - заговорило с достоинством доказательство.
– Без меня и аксиомы ни к чему. Зачем они тогда? Без меня и вы, теоремы, не
появились бы на свет. Но и меня без вас бы не было. Разве можно считать
доказательством рассуждения, которые опираются не на аксиомы и теоремы, а на
то, что кому-то придет в голову.
– Вы забыли о нас, задачах! – прошумели мощной океанской волной задачи. – Ведь через нас только ученики и начинают вас по-настоящему понимать и ценить. Из-за задач – и в вас нужда, а то бы вас и забыли.
– Все вы правы, дети мои! – прозвучал могучий голос, которым словно говорили тысячелетия и современность. – У каждого из вас свои достоинства и заслуги. Вы о них и говорите. Но существуют они только тогда, когда вы все вместе. Коль не будет в вас единства, не будет и достоинств ваших. Исчезнет один из вас - погибнут все остальные. И я, Геометрия, погибну. Так держитесь вместе, будьте дружны и едины, помогайте друг другу – и ваша мать Геометрия будет жить вечно. Да расскажите об этом тем, кто меня изучает! Если они умны, они все поймут. Все сказанное мной и вами важно прежде всего для изучающих, любящих или желающих познать меня.
Литература
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 7-9, - М.: Просвещение, 2003. – 384с.
2. Ефимовский Е.С. Мудрые науки – без назидания и скуки: След колесницы, - СПб.: ТИТ «Комета», 1994. – 160с.
3. Семенов Е.Е. Изучаем геометрию, - М.: Просвещение, 1987. – 256с