Изучение элементов статистики и теории вероятностей начинается в 7 классе. Включение в курс алгебры начальных сведений из статистики и теории вероятностей направлено на формирование у учащихся таких важных в современном обществе умений, как понимание и интерпретация результатов статистических исследований, широко представленных в средствах массовой информации. В современных школьных учебниках понятие вероятности случайного события вводятся с опорой на жизненный опыт и интуицию учащихся.
Хотелось бы заметить, что в 5-6 классах учащиеся уже должны получить представления о случайных событиях и их вероятностях, поэтому в 7-9 классах можно было бы быстрее знакомить с основами теории вероятности, расширить круг сообщаемых им сведений.
Наше образовательное учреждение апробирует программу «Начальная школа 21 века». И я как учитель математики решила продолжить апробацию этого проекта в 5-6 классах. Курс реализован на базе учебно-методического комплекта М.Б.Воловича «Математика. 5-6 классы». В учебнике «Математика. 6 класс» на изучение элементов теории вероятностей отводится 6 часов. Здесь даются самые первые предварительные сведения о таких понятиях, как испытание, вероятность появления случайного события, достоверные и невозможные события. Но самое главное, что ученики должны усвоить, – при небольшом числе испытаний невозможно предсказать результат случайного события. Однако, если испытаний много, то результаты становятся вполне предсказуемыми. Чтобы учащиеся осознали, что вероятность появления события может быть подсчитана, дается формула, позволяющая вычислить вероятность наступления событий в случае, когда все рассматриваемые исходы «одинаковы».
Тема: «Понятие «вероятность». Случайные события».
Цели урока:
- обеспечить знакомство с понятием «испытание», «исход», «случайное событие», «достоверное событие», «невозможное событие», дать начальное представление о том, что такое «вероятность наступления события», сформировать умение подсчитывать вероятность наступления события;
- развивать умение определять достоверность, невозможность событий;
- повышать познавательный интерес.
Оборудование:
- М.Б. Волович Математика, 6 класс, М.: Вентана-Граф, 2006.
- Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк Элементы статистики и теории вероятностей, М.: Просвещение, 2008.
- Монета в 1 рубль, игральная кость.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний учащихся
Решите ребус:
(Вероятность)
III. Объяснение нового материала
Если монету, например рубль, подбросить вверх и
позволить ей упасть на пол, то возможны только
два исхода: «монета упала гербом вверх» и «монета
упала решкой вверх». Случай, когда монета падает
на ребро, подкатывается к стене и упирается в нее,
бывает очень редко и обычно не рассматривается.
Издавна в России играли в «орлянку» –
подбрасывали монету, если надо было решить
спорную проблему, у которой не было очевидно
справедливого решения, или разыгрывали
какой-нибудь приз. В этих ситуациях прибегали к
случаю: одни загадывали выпадение «орла», другие
– «решки».
К подбрасыванию монеты иногда прибегают даже при
решении весьма важных вопросов.
Например, полуфинальный матч на первенство
Европы в 1968 году между командами СССР и Италии
закончился вничью. Не выявился победитель ни в
дополнительное время, ни в серии пенальти. Тогда
было решено, что победителя определит его
величество случай. Бросили монету. Случай был
благосклонен к итальянцам.
В повседневной жизни, в практической и научной
деятельности мы часто наблюдаем те или иные
явления, проводим определенные эксперименты.
Событие, которое может произойти, а может не
произойти в процессе наблюдения или
эксперимента, называют случайным событием.
Закономерности случайных событий изучает
специальный раздел математики, который
называется теорией вероятностей.
Проведем опыт 1: Петя 3 раза
подбросил монету вверх. И все 3 раза выпал «орел»
– монета упала гербом вверх. Догадайтесь,
возможно ли это?
Ответ: Возможно. «Орел» и «решка» выпадают
совершенно случайно.
Опыт 2: (учащиеся работают в парах) Подбросить
монету в 1 рубль 50 раз и подсчитать, сколько раз
выпадет орел. Записать результаты в тетради.
В классе подсчитать, сколько всеми учениками
было проведено опытов и каково общее число
выпадений орла.
Опыт 3: Ту же самую монету подбрасывали
вверх 1000 раз. И все 1000 раз выпал «орел».
Догадайтесь, возможно ли это?
Обсудим этот опыт.
Подбрасывание монеты называют испытанием.
Выпадение «орла» или «решки» – исходом (результатом)
испытания. Если испытание повторяют много раз
при одних и тех же условиях, то сведения об
исходах всех испытаний называют статистикой.
Статистика фиксирует как число m
интересующих нас исходов (результатов), так и
общее число N испытаний.
Определение: Отношение 
называется статистической
частотой появления интересующего нас
результата.
В XVIII веке французский ученый, почетный член
петербургской академии наук Бюффон для проверки
правильности подсчета вероятности выпадения
«орла» подкинул монету 4040 раз. «Орел» у него
выпал 2048 раз.
В XIX веке английский ученый Пирсон подкинул
монету 24 000 раз. «Орел» у него выпал 12 012 раз.
Подставим в формулу , позволяющую подсчитать статистическую
частоту появления интересующего нас
результата, m = 12 012, N = 24 000.
Получим 
=
0,5005.
Рассмотрим пример подбрасывания игрального кубика. Будем считать, что этот кубик имеет правильную форму и сделан из однородного материала и поэтому при его бросании шансы выпадения на его верхней грани любого числа очков от 1 до 6 одинаковы. Говорят, что существует шесть равновозможных исходов этого испытания: выпадение очков 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
Вероятность того или иного события проще всего
подсчитать, если все n возможных исходов
«одинаковы» (ни один из них не имеет преимуществ
перед остальными).
В этом случае вероятность P вычисляется по
формуле Р = 
, где n – число возможных исходов.
В примере подбрасывании монеты есть лишь два
исхода («орел» и «решка»), т.е. п = 2.
Вероятность Р выпадения «орла»
равна 
.
Опыт 4: Какова вероятность того,
что при бросании игральной кости выпадет:
а) 1 очко; б) более 3 очков.
Ответ: а ) 
, б) .
Определение: Если событие при рассматриваемых условиях происходит всегда, то оно называется достоверным. Вероятность появления достоверного события равна 1.
Есть события, которые при рассматриваемых условиях не происходят никогда. Например, Буратино по совету лисы Алисы и кота Базилио решил зарыть свои золотые монеты на поле Чудес, чтобы из них появилось денежное дерево. Какой будет вероятность того, что их посаженных монет вырастет дерево? Вероятность вырастания денежного дерева из монет, «посаженных» Буратино, равна 0.
Определение: Если событие при рассматриваемых условиях не происходит никогда, то оно называется невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.
IV. Физкультминутка
«Волшебный сон»
Все умеют танцевать, бегать, прыгать и играть,
Но не все пока умеют расслабляться, отдыхать.
Есть у них игра такая, очень легкая, простая.
Замедляется движенье, исчезает напряженье,
И становится понятно: расслабление приятно.
Реснички опускаются, глазки закрываются
Мы спокойно oтдыxaeм, сном волшебным засыпаем.
Дышится легко, ровно, глубоко.
Напряженье улетело и расслаблено все тело.
Будто мы лежим на травке ...
На зеленой мягкой травке ...
Греет солнышко сейчас, руки теплые у нас.
Жарче солнышко сейчас, ноги теплые у нас.
Дышится легко, вольно, глубоко.
Губы теплые и вялые, но нисколько не усталые.
Губы чуть приоткрываются, и приятно расслабляются.
И послушный наш язык быть расслабленным привык».
Громче, быстрее, энергичнее:
«Было славно отдыхать, а теперь пора вставать.
Крепко пальцы сжать в кулак,
И к груди прижать – вот так!
Потянуться, улыбнуться, глубоко вдохнуть, проснуться!
Распахнуть глаза по шире – раз, два, три, четыре!»
Дети встают и хором с учителем произносят:
«веселы, бодры мы снова и к занятиям готовы».
V. Закрепление
Задача 1:
Какие из следующих событий являются достоверными, а какие невозможными:
а) Бросили две игральные кости. Выпало 2 очка. (достоверное)
б) Бросили две игральные кости. Выпало 1 очко. (невозможное)
в) Бросили две игральные кости. Выпало 6 очков. (достоверное)
г) Бросили две игральные кости. Выпало число очков, меньше, чем 13. (достоверное)
Задача 2:
В коробке лежит 5 зеленых, 5 красных и 10 черных карандашей. Достали 1 карандаш. Сравните вероятности следующих событий, используя выражения: более вероятное, менее вероятное, равновероятные.
а) Карандаш оказался цветным;
б) карандаш оказался зеленым;
в) карандаш оказался черным.
Ответ:
а) равновероятные;
б) более вероятное, что карандаш оказался черным;
в) равновероятные.
Задача 3: Петя подбросил игральную кость 23 раза. Однако 1 очко выпало 3 раза, 2 очка выпало 5 раз, 3 очка выпало 4 раза, 4 очка выпало 3 раза, 5 очков выпало 6 раз. В остальных случаях выпало 6 очков. Выполняя задание, округлите десятичные дроби до сотых.
- Посчитайте статистическую частоту появления наибольшего числа очков, вероятность того, что выпадет 6 очков, и поясните, почему статистическая частота существенно отличается от вероятности появления 6 очков, найденной по формуле.
- Посчитайте статистическую частоту появления четного числа очков, вероятность того, что выпадет четное число очков, и поясните, почему статистическая частота существенно отличается от вероятности появления четного числа очков, найденной по формуле.
Задача 4: Для украшения елки принесли коробку, в которой находится 10 красных, 7 зеленых, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым; в) красным или золотым?
VI. Домашнее задание
- Из коробки, в которой лежат зеленые и красные шары, достают 1 шар, а потом кладут его обратно в коробку. Можно ли считать, что вынимание шара из коробки – испытание? Что может быть результатом испытания?
- В коробке лежат 2 красных и 8 зеленых шаров.
а) Найдите вероятность того, что вытащенный наугад шар будет красным.
б) Найдите вероятность того, что вытащенный наугад шар будет зеленым.
в) Из коробки вытащили наугад 2 шара. Может ли так оказаться, что оба шара будут красными?
VII. Итог
– Вы узнали самые сведения из теории вероятностей – что такое случайное событие и статистическая частота результата испытания, как вычислить вероятность случайного события при равновозможных исходах. Но надо помнить, что не всегда удается оценить результаты испытаний со случайным исходом и найти вероятность события даже при большом числе испытаний. Например, нельзя найти вероятность заболевания гриппом: слишком много факторов каждый раз влияет на исход этого события.