Логарифмические уравнения

Цель: систематизировать знания о способах решения логарифмических уравнений.

Урок включает 5 этапов:

1. Задания с ключом.
2. Решение уравнений.
3. Самостоятельная работа.
4. Проверка самостоятельной работы.
5. Домашнее задание.

1. Задания с ключом.

Раздаются листы самоконтроля (приложение 1) и тест (приложение 2) по теме «Логарифмы» базового уровня сложности. На эту самостоятельную работу отводится 5 минут.

Затем тест выводится на экран, идет фронтальная проверка выполненной работы, постепенно появляется ключ «УРАВНЕНИЯ »

2. Решение уравнений.

Учитель сообщает цель урока. В беседе с учащимися повторяются методы решения логарифмических уравнений.

1. Решение уравнений, используя определение логарифма;
2. Метод потенцирования;
3. Метод введения новой переменной;
4. Метод логарифмирования;
5. Функционально - графический метод;
6. Метод перехода к новому основанию.

После этого на экран выводится слайд (приложение 3). Ученики определяют способы решения каждого уравнения. По мере нахождения правильного ответа появляются стрелки соответствия. Затем учащиеся решают эти уравнения на доске.

1) Решение уравнений по определению:

log₂ ( log₃ (log₄x)) = 0

Решение.

log₂(log₃(log₄x)) = 0. По определению логарифма получаем

log₃(log₄x) =1. Далее еще раз применяем определение логарифма.

log₄x = 3

x = 64

Ответ: x=64.

2) Метод потенцирования: l

gx – lg(2x-5) = 1/3lg8 – 2lg

Решение. О.Д.З: => x>3.

Применяем свойства логарифма. lgx + 2lg = 1/3lg8 + lg(2x-5)

lgx + lg(x-3) = lg2 + lg(2x – 5)

lg(x(x -3)) = lg(2(2x -5))

Так - так справа и слева в равенстве одинаковые логарифмы, значит, и под логарифмами выражения равны. x(x -3) = 2(2x-5)

x² – 7x + 10 =0. Корни уравнения находим по теореме Виета: 2 и 5.

Число 2 не входит в О.Д.З.

Ответ: x = 5.

3) Mетод введения новой переменной:

log₂³x² – log₂²x³ + log₂x = 0

Решение. О.Д.З. x>0. Обозначим log₂x = y, тогда

log₂³x² = (2log₂x)³ = 8log₂³x = 8y³,

log₂²x³ = (3log₂x)² = 9log₂²x = 9y².

Тогда уравнение примет вид: 8y³ – 9y² + y = 0. Решениями этого уравнения являются: 0; 1; 1/8.

Тогда log₂x = 0 => x = 1

log₂x = 1 => x = 2

log₂x = 1/8 => x = 2^1/8

Все три ответа входят в О.Д.З.

Ответ: x {2^1/8; 1; 2}

4) Метод логарифмирования: x^{3logx – 1/ logx} = 10^1/3

Решение. Уравнения такого вида, содержащие неизвестную величину как в основании, так и в показателе степени, решают логарифмируя левую и правую части по некоторому основанию. О.Д.З: x>0

Поскольку левая и правая часть положительные, то логарифмировать можно. Получим равносильное уравнение: lg(x^{3lgx - 1/lgx}) = lg.

(3lgx – 1/lgx)lgx = 1/3

3lg²x – 1 = 1/3

3lg²x = 4/3

lg²x = 4/9

lgx = 2/3 и lgx = - 2/3.

Решив последние уравнения, получим x₁ = 10^2/3; x₂ = 1/10^2/3.

Ответ: x₁ = ; x₂ = 1/.

5)Функционально-графический метод: log₃x = 4-x

Решение. Если одна из функций y =f(x), y = g(x) возрастает, а другая убывает на промежутке X, то уравнение f(x) =g(x) имеет не более одного корня. О.Д.З: x>0 Легко увидеть, что при x =3 уравнение обращается в верное равенство. Значит, x = 3 единственный корень уравнения.

Ответ: x = 3.

6)Метод перехода к новому основанию: log₅x + log_x5 = 2,5

Решение. О.Д.З:

Перейдем к основанию 5: log_x5 = 1/log₅x, обозначим log₅x = t, (t ≠ 0), получим уравнение

t + 1/t = 2,5

2t² + 5t + 2 = 0.

Решая данное уравнение, получаем корни: t = 2 и t = 1/2. Вернемся к замене.

log₅x = 2 и log₅x = 1/2

x₁ = 25 и x₂ =

Ответ: x {; 25}

3. Самостоятельная работа.

На экран выводится слайд (приложение 4) с текстом самостоятельной работы.

Задание для 1 варианта: выбрать и найти корни уравнений, которые решаются: по определению, методом потенциирования, методом перехода к новому основанию.

Задание для 2 варианта: выбрать и найти корни уравнений, которые решаются: методом введения новой переменной; методом логарифмирования; функционально-графическим методом.

Ученики решают работу, используя копировальную бумагу, один из листов сдается учителю.

4. Проверка самостоятельной работы.

Самопроверка самостоятельной работы проходит в 2 этапа:

а) определение методов решения;
б) проверка самих решений.

Определение методов решения проводится с помощью приложения 4, там около каждого уравнения появляется номер варианта.

Проверка самих решений проводится с помощью листов самоконтроля (приложение 5 и приложения 6), которые раздаются каждому ученику. В конце урока учащиеся в листе самоконтроля выставляют себе итоговую оценку.

5. Домашнее задание

Подобрать 6 уравнений, которые решаются различными методами, и решить их.

Приложение 7