Внеклассное мероприятие по геометрии: "Задачи на построение. Трисекция угла. Окружность Эйлера" (7–9-й классы)

Разделы: Математика, Внеклассная работа

Цель урока:

  1. Актуализация знаний (повторение изученного материала).
  2. Расширение кругозора, возбуждение интереса к геометрии, к истории математики.
  3. Развитие и закрепление теоретических и практических навыков.

Приборы и материалы:

  1. Линейка.
  2. Циркуль.
  3. Карандаш.
  4. Альбомный лист.
  5. Алгоритм построения.
  6. Образцы чертежей.
  7. Портрет Л.Эйлера

 Ход урока:

  1. Повторение (актуализация знаний).
  2. Мотивационный этап
  3. Изучение нового материала (получение исторических знаний, построение трисекции угла, построение окружности Эйлера).
  4. Знакомство с жизнью и деятельностью великого русского математика Леонарда Эйлера.

 На доске - портрет Л.Эйлера

 

I.  Этап актуализации знаний (1мин)

Учитель:

Еще раз давайте вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота треугольника.

Закончите предложения:

Биссектриса-это…
Медиана-это…
Высота-это…

II. Мотивационный этап (3мин)

Учитель:

На предыдущих уроках мы с вами повторяли задачи на построение биссектрис, высот, медиан, построение треугольников, равных данным и.т.д.

Любая ли задача решается с помощью циркуля и линейки? Еще в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению.

1. Задача об удвоении объема куба.

Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше объема данного куба.

2. Задача о трисекции угла.

Требуется произвольный угол разделить на три равные части.

3. Задача о квадратуре круга.

Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы площади данного круга.

Возникновение этих задач связано с целым рядом легенд. Любопытна легенда, связанная с первой задачей.

Царь Минос велел воздвигнуть памятник сыну Главку. Архитекторы придали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал удвоить объем.

Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и те не смогли им помочь. Циркулем и линейкой решить задачу нельзя.

III. Изучение нового материала (12мин*3)

1. Ученик (сообщение, выполнение чертежа)

Большое место задачам на построение отводилось в " Началах Евклида", где существование фигур, доказывается их построением с помощью циркуля и линейки.

Немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс доказал тот факт, что точных методов для деления окружности (дуги) на 7, 9, 11, 13, 14, 18, 21, 22, 23, 25 и еще много других частей нет. А вот на три части мы сейчас попробуем разделить дугу (угол). Это называется трисекцией.

 Проведем трисекцию угла АОВ. Для этого:

  1. Опишем дугу АВ с центром О и радиусом R.
  2. Проведем хорду АВ, т.О1 - середина АВ
  3. Радиусом равным АО1 описываем полуокружность АnВ с центром О1
  4. Строим дугу ВС, стягивающую хорду ВС = АО1, ВС = 1/3 АnВ
  5. Делим отрезок АВ на три равные части .BD=1/3АВ.
  6. Строим серединный перпендикуляр EY к отрезку CD. Точка Y является пересечением этого перпендикуляра с продолжением АВ
  7. Проводим радиусом DY дугу из точки Y.
    Х- пересечение этой дуги с дугой АmB.
    ВХ =1/3 АmB , т.е. ВОХ 1/3 АОВ

 (ученики выполняют практическую работу на построение трисекции угла вместе с докладчиком-консультантом.) < Приложение 1 >

Учитель:

В 1904 году американский математик Ф.Морли доказал, что если у каждой вершины провести две трисектрисы, то точки пересечения смежных трисектрис углов являются вершинами равностороннего треугольника (показать чертеж).

 

2-й Ученик (сообщение, выполнение чертежа)

Первые упоминания о треугольнике мы находим в Египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет появилась теорема Пифагора и теорема Герона. В XV-XVI веках появляется целый раздел, получивший название " Новая геометрия треугольника" Одна из замечательных теорем того времени принадлежит Л.Эйлеру". Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения, лежат на одной окружности. "Эта окружность называется окружностью Эйлера или окружностью 9 точек. Ее называют так же окружностью Фейербаха, который доказал, что эта окружность касается окружности, вписанной в треугольник и всех его не вписанных окружностей (т.е. окружностей, касающихся одной из его сторон и продолжений двух других). Свойства окружности: rэ = 1/2 R опис.окр. Центр окружности лежит на середине отрезка, соединяющего центр описанной окружности с точкой пересечения высот.

Прямая, которой принадлежит этот отрезок, называется прямой Эйлера. Этой прямой принадлежит точка пересечения медиан. Точки, симметричные ортоцентру (пересечение высот) относительно оснований высот и середин сторон лежат на описанной окружности. Известно и множество других свойств треугольника. 

 

(ученики выполняют практическую работу по построению окружности Эйлера вместе с докладчиком-консультантом) < Приложение 1 >

Выше упомянутому Эйлеру принадлежит огромное число открытий. Мы можем с гордостью говорить об этом ученом, т.к. он считался великим русским математиком. Познакомимся с его биографией подробнее.

3-й Ученик (доклад по теме: "Жизнь и деятельность Л.Эйлера") < Приложение 2 >

Используемая литература:

  1. А.П.Савин "Математические миниатюры".
  2. Котек В. В., «Леонард Эйлер», М.: Учпедиз, 1961 г.
  3. Прудников В. Е., «Русские педагоги-математики XVIII—XIX веков», 1956 г.
  4. Юшкевич А. П., «История математики в России», М.: Наука, 1968 г.
  5. «К 150-летию со дня смерти Эйлера» — сборник. Изд-во АН СССР, 1933 г.
  6. «К 250-летию со дня рождения Л. Эйлера» — сборник. Изд-во АН СССР, 1958 г.С. Гиндикин.
  7. Б. Делоне, «Леонард Эйлер», Квант, № 5, 1974
  8. «Леонард Эйлер», Квант, № 10, 1983
  9. «Леонард Эйлер», Квант, № 11, 1983